欧氏空间的类空向量

欧氏空间的类空向量

欧洲空间是一个线性空间，用于定义三维欧空间。假设e3是一个向量，和是e3的两个向量，那么和的内积就是：，==p1y1，两点，s3y3，并且，（x1、x1、x1）和（y1、y2、y3）是标准正交基和圆形空间的组件。当在3d线性空间中指定两个向量时，表示三维线性空间中的两个向量和它的内积如下。<α‚β>=x1y1+x2y2-x3y3这样的内积称负指标为一的不定内积,定义了这样内积的线性空间称为三维Minkowski空间,用E31表示,它的度量为ds2=dx21+dx22-dx23.1类时向量不一定是类空平面(1)一个非零向量α∈E31,如果<α,α>>0,称为类空向量;如果<α,α><0,称为类时向量;如果<α,α>=0,称为类光向量.零向量规定为类光向量.(2)任取α,β,γ∈E31,设α={x1,x2,x3},β={y1,y2,y3},γ={z1,z2,z3},定义α,β的外积为则有(α×β)γ=|x1x2x3y1y2y3z1z2z3|说明α×β与α,β所生成的平面中的任一向量λα+μβ(λ,μ是任意实数)都是正交的.(3)直线的方向向量为类时向量,称直线为类时直线.直线的方向向量为类空向量,称直线为类空直线.(4)平面的法向量为类空向量时,称平面为类时平面.平面的法向量为类时向量时,称平面为类空平面.2类空向量的确定引理1E31中不存在两两正交的类时向量.定理1E31中两平行向量对应坐标成比例.由向量线性相关性易证.定理2E31中两平行向量要么都是类时向量,要么都是类空向量.证明假设有类时向量υ1={x1,x2,x3}与类空向量υ2={y1,y2,y3}平行,由预备知识(1)及定理1有x1y1=x2y2=x3y3=t与x21+x22-x32=-a2,故y12+y22-y32=-a2t2＜0与υ2为类空向量矛盾.证毕.定理3空间任一点P1(x1,y1,z1)到平面π:Ax+By+Cz+D=0的距离为d=|Ax1+By1+Cz1+D|ε(A2+B2-C2)ε=±1(1)证明过P1(x1,y1,z1)作平面的垂线,垂足为P0(x0,y0,z0),而平面的法向量为n={A,B,-C},与向量Ρ0Ρ1→平行,则由定理1及平面方程,可得x1-x0=A(Ax1+By1+Cz1+D)A2+B2-C2y1-y0=B(Ax1+By1+Cz1+D)A2+B2-C2z1-z0=C(Ax1+By1+Cz1+D)A2+B2-C2(2)(1)平面π为类时平面时,n为类空向量,由定理2‚Ρ0Ρ1→为类空向量,故d=〈Ρ0Ρ1→,Ρ0Ρ1→〉=(x1-x0)2+(y1-y0)2-(z1-z0)2(3)将式(2)代入式(3),整理可得式(1)(此时ε=1).(2)平面π为类空平面时,n为类时向量,由定理2‚Ρ0Ρ1→为类时向量,故d=-〈Ρ0Ρ1→,Ρ0Ρ1→〉=(z1-z0)2-(x1-x0)2-(y1-y0)2(4)将式(2)代入式(4),整理可得式(1)(此时ε=-1).证毕.定理4空间任一点P1(x1,y1,z1)到直线L:x-x0l=y-y0m=z-z0n的距离为d=ε1(|x1-x0y1-y0lm|2-|y1-y0z1-z0mn|2-|z1-z0x1-x0nl|2)ε2(l2+m2-n2)(5)其中εi=±1,i=1,2.证明过点P1(x1,y1,z1)作直线L的垂线,垂足为P2(x2,y2,z2),直线L的方向向量为υ={l,m,n},故有内积<υ,Ρ1Ρ2→>=0,再由定理1及直线方程L,可得根据定理3的证明,同理可得:(1)直线L为类时直线时,由引理,Ρ1Ρ2→为类空向量,点P1(x1,y1,z1)到直线L的距离为式(5)(此时ε1=-1,ε2=-1).(2)直线L为类空直线时,由引理1‚Ρ1Ρ2→为类空向量或类时向量.①Ρ1Ρ2→为类空向量时,点P1(x1,y1,z1)到直线L的距离为式(5)(此时ε1=1,ε2=1).②Ρ1Ρ2→为类时向量,点P1(x1,y1,z1)到直线L的距离为式(5)(此时ε1=-1,ε2=-1).证毕.定理5空间异面直线L1:x-x1l1=y-y1m1=z-z1n1与直线L2:x-x2l2=y-y2m2=z-z2n2之间的距离为d=ε0|x2-x1y2-y1z2-z1l1m1n1l2m2n2|ε(|m1n1m2n2|2+|n1l1n2l2|2-|l1m1l2m2|2)(7)其中ε=±1,ε0=±1,ε0与行列式|x2-x1y2-y1z2-z1l1m1n1l2m2n2|的符号相同.证明设L1,L2的公垂线分别交直线L1,L2于点P3(x3,y3,z3),P4(x4,y4,z4),则P3P4为异面直线L1,L2的距离.由<Ρ3Ρ4→,υ1>=0与<Ρ3Ρ4→,υ2>=0,可解得<Ρ3Ρ4→‚Ρ3Ρ4→>=|x2-x1y2-y1z2-z1l1m1n1l2m2n2|(|m1n1m2n2|2+|n1l1n2l2|2-|l1m1l2m2|2)(|m1n1m2n2|2+|n1l1n2l2|2-|l1m1l2m2|2)2由预备知识(2)可知,为<υ1×υ2,υ1×υ2>,其中υ1={l1,m1,n1},υ2={l2,m2,n2}分别为直线L1,L2的方向向量,于是根据定理3的证明,同理可得:(1)L1为类时直线,L2为类时直线时,由引理,预备知识(2)及定理2可知,υ1×υ2与Ρ3Ρ4→平行,均为类空向量,直线L1,L2之间的距离为式(7)(此时ε=1).(2)L1为类时直线,L2为类空直线或L1为类空直线,L2为类时直线时,由引理,Ρ3Ρ4→为类空向量,此时,直线L1,L2之间的距离同(1).(3)L1为类空