矩阵可乘映照的保秩表示问题

矩阵可乘映照的保秩表示问题

当fp）设置时，mn（f）mn（f）是图像，mn（f）是表示区域f中的n阶矩阵组合的。若ϕ满足:ϕ(AB)=ϕ(A)ϕ(B)对任意A,B∈Mn(F)皆成立,则称ϕ为可乘映照。可乘映照保持性问题的研究是一个十分活跃的研究话题,其中的有些问题,例如关于可乘保谱映照、可乘保谱半径映照、可乘保数值半径映照、可乘保数值域映照及可乘保正规性映照的特征描述等,已经获得了很好的回答。本文的主要目的是:一方面,给出一个判定可乘映照是否为保秩映照的新的便捷方法;另一方面,针对F=R或C,给出Mn(F)上保1-范数、保∞-范数以及保F范数的可乘映照的显形式,从而证明Mn(F)上保1-范数可乘映照必为保F范数映照,而可乘保F范数映照又一定保谱半径、保数值半径、保正规性及保酉性等。设F为数域,ϕ:Mn(F)→Mn(F)为可乘映照。熟知,ϕ称为是保秩k的是指:对秩为k的任意矩阵A均有rankϕ(A)=k;ϕ称为是秩非升的是指:对任意矩阵A均有rankϕ(A)≤rankA;而ϕ称为是保秩的是指:对任意矩阵A有rankϕ(A)=rankA。设‖·‖为Mn(F)上的范数,可乘照映ϕ:Mn(F)→Mn(F)称为是可乘保范映照是指:‖ϕ(A)‖=‖A‖对任意A∈Mn(F)皆成立。注意到,根据矩阵的秩,Mn(F)可分n+1个等价类:秩为0的等价类记为F0,秩为1的等价类记为F1,……,称为n的等价类记为Fn。任取A,B∈Fr,则A能被写成也能被写成,其中Pi,Qj,Wk,Vl皆为初等非奇异阵。因此,可构造下列等式:A=Ρ1⋯Ρs(Ιr000)W-1p⋯W-11W1⋯Wp(Ιr000)V1⋯Vq⋅V-1q⋯V-11(Ιr000)Q1⋯Qt令X=Ρ1⋯Ρs(Ιr000)W-1p⋯W-11‚Y=V-1q⋯V-11(Ιr000)Q1⋯Qt则有ϕ(A)=ϕ(X)ϕ(B)ϕ(Y)从而rankϕ(A)≤rankϕ(B),进而rankϕ(A)=rankϕ(B)。这表明映照rankϕ(-)|Fr为常值函数。因此可引进如下定义:定义1设F为数域,ϕ:Mn(F)→Mn(F)为可乘映照。令T={k|ϕ是保秩k的,k∈{0,1,2,…,n}},称T为ϕ的秩保特征集。通篇中约定,n为大于1的自然数,R表实数集,C表复数域,F表数域。对A∈Mn(F),用AT表示A的转置,A*表示A的共轭转置。环同态均指保持单位元的环同态。1引理2.2及2.5本节主要给出可乘保范映照的一般形式,其基本结果在后文中也将用到。首先,需要如下引理:引理1设D为一个主理想整环,f:Mn(D)→Mn(D)为可乘映照。若有某个A∈Mn(D)使得f(A)≠0且detA=0,则f必具有下列形式之一:(1)f(X)=g(X)+E,其中,X为变元,E为幂等阵,g:Mn(D)→Mn(D)为可乘映照且零化Mn(D)中一切行列式为0的矩阵。(2)f(X)=R(τ(xij))R-1,其中,R为Mn(D)中的某个可逆阵,τ为D上的某个自同态,X=(xij)n×n为变元。(3)f(X)=R(τ(xxj))cR-1,其中,R为Mn(D)中的某可逆阵,τ为D上的某自同态,X=(xij)n×n为变元,(τ(xij))c表矩阵(τ(xij))的余子式矩阵(Cofactor)。利用引理1可给出引理2,其内容与文献中的命题2.2及2.5有着密切的关系。引理2设F为数域,ϕ:Mn(F)→Mn(F)为可乘映照,T表ϕ的秩保特征集,则有以下几条等价:(1)ϕ是保秩的(即T的基数=n+1);(2)ϕ(0)=0及存在某个秩为1的W使得ϕ(W)≠0;(3)存在F上的某单自同态τ及某个可逆阵R,使得ϕ(X)=R(τ(xij))R-1,其中X=(xij)为变元;(4)T的基数≥3。证明(1)⇒(2)显然。(2)⇒(1)。对n分为两种情形:(i)n=2,(ii)n>2。(i)n=2时,设ϕ可表为ϕ(X)=g(X)+E,其中,X=(xij)为变元,E为幂等阵,g为可乘映照且对一切detX=0的X均有g(x)=0。于是由(2)得{0=ϕ(0)=Eϕ(W)=E≠0矛盾。因此ϕ只能有引理1中的(2)或(3)形式。若ϕ具有引理1中的(3)形式,则此时易知ϕ是保秩的。显然引理1的(2)形式总是保秩的,如所需。(ii)n>2时,同样可肯定ϕ具有引理1中的(2)形式或(3)形式。现若ϕ具有引理1中的(3)形式,则得矛盾于ϕ(W)≠0。因此,ϕ只能有引理1中的(2)形式,当然是保秩的。(2)⇒(1)获证。(1)⇔(3)。见文献中的定理1.3。(1)⇔(4)。由T的基数≥3得,∃两个不同的n1,n2(它们均小于n)及相应的两个矩阵A1,A2使得rankϕ(A1)=rankA1=n1,rankϕ(A2)=rankA2=n2。因此适合引理1中的条件。若ϕ具有引理1的形式(1),则有ϕ(A1)=E=ϕ(A2),从而导致rankϕ(A1)=n1=ϕ(A2)=n2,矛盾。故ϕ只能有引理1中的形式(2)或形式(3),ϕ当然是保秩的。注记引理2使得我们判断一个可乘映照ϕ是否保秩变得十分方便。例如n=100,ϕ:Mn(F)→Mn(F)为一个可乘映照。若要判断是否为保秩的,只需任取一个秩为1的矩阵A,通过检验条件{ϕ(0)=0ϕ(A)≠0即可。特别地,只须验证ϕ(0)=0及即可。又比如,若已知对3个秩不同的矩阵A1,A2,A3,有rankϕ(A1)=rankA1,rankϕ(A2)=A2及rankϕ(A3)=A3,则也可立即判定ϕ是保秩的。定理1设F为数域,‖·‖为Mn(F)上的范数,若ϕ保范数‖·‖,则ϕ可表为ϕ(X)=R(τ(xij))R-1,其中,R为一个可逆阵,τ为数F上的一个单自同态,X=(xij)n×n,为变元。证明ϕ保范数‖·‖蕴含ϕ(0)=0。由。因此由引理2可得,ϕ可表为ϕ(X)=R(τ(xij))R-1其中,R为非奇异阵,τ:F→F为单环同态,X=(xij),为变元。2x型保-范数的特征∀A=(aij)n×n∈Mn(C),让‖A‖F,‖A‖1,‖A‖∞分别表A的Frobenius范数,1-范数,及∞-范数。熟知,Frobenius范数简称F范数,1-范数又叫列范数,∞-范数也叫行范数。进一步,‖A‖F和‖A‖1实际上也就是文献中的向量(2,2)范数和向量(∞,1)范数。本节中,利用第1节的结果给出Mn(C)及Mn(R)上的保F范数可乘映照,保1-范数可乘映照及保∞-范数可乘映照的完全表示。进而证明可乘保1-范数映照必是可乘保F范数映照,而可乘保F范数映照又必保持谱半径、数值半径、正规性及酉性等。定理2设ϕ:Mn(F)→Mn(F)为映照。(i)让F=R,则ϕ为可乘保F范数映照当且仅当存在正交阵U∈Mn(R)使得ϕ有形式ϕ(X)=UXUT;(ii)让F=C,则ϕ为可乘保F范数映照当且仅当存在酉阵U∈Mn(C)使得ϕ具有下列形式之一:(a)ϕ(X)=UXU*;(b)ϕ(X)=UˉXU*。证明(i)F=R情形下,若ϕ为可乘保F范数,则由定理1,ϕ可表为ϕ(X)=R(τ(xij))R-1,其中,R可逆,X=(xij)为变元,τ为R的一个单自同态。由于任何一个无理数皆可看成是一个有理数列的极限且此时的τ保绝对值,因此ϕ(X)=RXR-1。让d为R的第1行的Euchid范数,则有ϕ(X)=RdXd-1R-1。记B=dR=(bij),则ϕ(X)=BXB-1且B的第1行向量的模为1。∀(x1,…,xn)T∈Rn,让,则∥(x1‚⋯‚xn)Τ∥2=∥(x1‚⋯‚xn)Τ∥2⋅∥(b11‚⋯‚b1n)Τ∥2=∥A∥F=∥ϕ(A)∥F=∥BAB-1∥F=∥BABadjdetB∥F=∥BΚ∥F=∥B(x1‚⋯‚xn)Τ∥2,其中,Badj为B的伴随阵,。结果B为保距变换,即B为正交阵。反之,对一个正交阵U∈Mn(R),由表达式ϕ(X)=UXUT直接知:ϕ为可乘保F范数映照,因此(i)获证。(ii)当F=C时,同样由定理1得ϕ可表为:ϕ(X)=R(τ(xij))R-1,其中,R可逆,τ为C上的一个单自同态。∀c∈C,由∥cΙn∥F=√n|c|得√n|c|=∥ϕ(cΙn)∥F=√n|τ(c)|。因此|τ(c)|=|c|,从而τ还为C到C的连续映照。由此易知τ|R=1R,τ(i)=i或-i。当τ(i)=i时,τ的显形式为:τ:C→C,z→z;当τ(i)=-i时,τ的显形式为:τ:C→C,z→ˉz。所以ϕ必具有下列形式之一:(a)ϕ(X)=RXR-1;(b)ϕ(X)=RˉXR-1。类似于(i)的证明,且注意到酉阵即为酉空间中的保距变换,立得(ii)的完全证明。推论1设ϕ:Mn(F)→Mn(F)为可乘映照,其中F=R或C。若ϕ保F范数,则ϕ必保谱半径、数值半径、正规性、酉性、自伴性和正定性。作为定理1的更多应用,下面给出可乘保1-范数映照和可乘保∞-范数映照的完全表示。首先,引入如下定义:定义2对方阵M,若M的每一行每一列均只有1个元素非0,且该非零元素∈{1,-1},则称M为一个简单阵。定理3设ϕ:Mn(R)→Mn(R)为映照。ϕ为可乘保1-范数映照当且仅当ϕ可表示为ϕ(X)=MXM-1,其中,M为R上的某简单阵,X为变元。证明⇐)简单阵是一系列形如P(i(-1)),P(i,j)的初等矩阵的乘积。显见此时ϕ是可乘的保列范数的映照。⇒)由定理1及R上的单自同态只有恒等同态知,ϕ可表为:ϕ(X)=AXA-1,其中,A为R上某可逆阵。接下来考察A。∀(x1,…,xn)T∈Rn,让A=(aij),则A(x1a11x1a12⋯x1a1nx2a11x2a12⋯x2a1n⋯⋯⋯⋯xna11xna12⋯xna1n)A-1=A(x10⋯0x20⋯0⋯⋯⋯⋯xn0⋯0)上式中,设|a1j1|=max1≤j≤n|a1j|,取(x1,…,xn)T为(0‚⋯‚1j1‚0‚⋯‚0)Τ,然后两边取1-范数,于是由A的可逆性知:|a1j1|≠0,且有|a1j1|=|(00⋯0⋯⋯⋯⋯a11a12⋯a1n⋯⋯⋯⋯00⋯0)|1=|(a1j10⋯0⋮aj1j10⋯0⋮anj10⋯0)|1=|a1j1|+⋯+|anj1|所以a2j1=…=anj1=0。同样地,对A的第2行,让|a2j2|=max1≤j≤n|a2j|,施行前述过程,则可得a1j2=a3j2=…=anj2=0。再次注意到A可逆,于是j1≠j2,由此最终得到1,2,…,n的一个排列j1,j2,…,jn,使得:A中除了a1j1,a2j2,…,anjn外,其余元素皆为0。最后,为确定a1j1,…,anjn的值,让表A的伴随阵,D(A)表A的行列式。在式子ϕ(X)=AXA-1中取X为Eij,于是得|AEijA-1|1=‖Eij‖1=1。注意到AEijA-1=AEijAadjD(A)=1D(A)(a1iA1ja1iA2j⋯a1iAnj⋮⋮⋮aniA1janiA2j⋯aniAnj)于是∥AEijA-1∥1=1|D(A)|(∑k=1n|aki|)⋅max1≤l≤n|Alj|=1固定j,让i=1,…,n,则得∑k=1n|aki|为同一个值,换句话说,|a1j1|=|a2j2|=…=|anjn|。现让Μ=1a1j1A,结果M为简单阵,且ϕ(X)=MXM-1。定理3获证。定理4设ϕ:Mn(R)→Mn(R)为映照,则ϕ为可乘保∞-范数映照当且仅当ϕ有形式X→MXM