3维Lorenz空间中的类时Willmore曲面

3维Lorenz空间中的类时Willmore曲面

1类空单位法向量的确定及类空与引发性相关定理的提出位于3维罗登兹空间，配备内部体积。其中设f:是一个类时曲面,H和K分别为曲面f的中曲率和Gauss曲率,则为Willmore泛函,它的Euler-Lagrange方程为其中△是关于度量(df,df)的Laplace算子.满足方程(1.4)的曲面称为中的Willmore曲面.由方程(1.4)知,中的极小曲面必为Willmore曲面.对空间中的Willmore曲面的研究已有丰富的结果,读者可参见文献.文献研究中的类空Willmore曲面,并证明类空Willmore球的唯一性,但没有对导出曲面和Willmore对偶曲面进行研究.本文主要研究中的类时Willmore曲面及其对偶定理.设是一个类时曲面,则的单位法向量.对任意定义其中H(p)为曲面M*在p点处的中曲率,则是中的一个单叶双曲面,它与曲面M*在p点处相切,并有相同的中曲率H(p).曲面族在中有两个不同的包络面,一个是曲面M*本身,另一个记为,称为曲面M*的导出曲面.加上在无穷远光锥C∞上的极限点,我们得到中的曲面x:M→的导出曲面.将是拥有(-+++-)型内积的Lorentz空间,则映射的共形Gauss映射.我们称类时曲面x:为正则曲面,如果它的共形Gauss映射的渐近坐标,则可证明是M上共形不变的4-形式(见第2节).本文的主要结果如下:定理A为正则的Willmore曲面当且仅当它的共形Gauss映射为极小曲面.定理B设是类时曲面x:的导出曲面,则下述的3个命题等价:(ⅰ)x:M→是满足<ξuu,ξuu>=0和<ξvv,ξvv>=0的Willmore曲面;(ⅱ)中的一个点;(ⅲ)x:共形等价于中的一个极小曲面.定理C设x:M→为类时的正则Willmore曲面.如果则它的导出曲面也是中的Willmore曲面,并且2类时曲面的确立设为Lorentz空间,装备有内积设是中的光锥,定义为定义为实射影空间中的二次超曲面则标准投影是一个纤维丛,它的纤维是R\{0}.易知是一个二层覆叠,其中于是,微分同胚.对纤维丛某个开集U上的局部截面所以,的共形类与局部截面Z的选取无关.利用上的一个单位分解,可以得到上整体定义的度量h,它的共形类上标准的共形度量.为了证实h是上一个Lorentz度量,我们取局部截面则有其中分别是上的标准度量.这样,它的共形类[h]定义了上的一个标准的Lorentz共形度量.由Cahen-Kerbrat定理(参见文献)可知,的共形变换群恰为Lorentz群它保持的内积(2.1)不变,且在上的作用为设的共形嵌入,定义为定义无穷远点处的光锥为则有因此,是由Lorentz空间加上无穷远处的光锥C∞构成的.设x:是类时曲面,则h在每个切平面上均不退化.因为在无穷远光锥的每个切平面上退化,故至多是1维的.于是存在中的类时曲面并且由曲面f加上它在上的极限点,我们可以重新得到因此中的类时曲面完全确定.称曲面是Willmore曲面,如果它所对应的中的曲面中的两曲面是共形等价的,如果它们所对应的中的曲面至多相差一个O(3,2)中的变换.设是类时曲面,则是M上的Lorentz度量.对丛的每个局部截面均可找到M的一个开集称为曲面x的一个局部提升.于是,在曲面M的每一点p处均存在一个开集满足以下条件:(ⅰ)存在局部提升(ⅱ)在U上存在渐近坐标系(u,v),使得注意到与x*h共形等价,故在U上有其中ω是U上的一个函数.由此得到由(2.7)式推出这样,在U的每一点处,向量组{y,yuv,yu,yv}张成的一个4维的非退化子空间,它的类型为(-+-+).于是,存在唯一映射,满足显然,映射ξ与局部提升y和渐近坐标系(u,v)的选择无关,它是M上整体定义的一个映射.记并称为曲面x的共形Gauss映射.引进映射,定义为则有利用活动标架的结构方程:其中ψ和φi及Ωi是U上定义的实函数.由恒等式得到其中最后一个方程中的为度量<dy,dy>的曲率.现设为曲面x的另一个局部提升和渐近坐标系,它们定义在的另一个开集V上,则它们定义了中的另一个活动标架以及对应的函数(参见方程(2.11)～(2.14)).我们在U∩V上可以找到一个非零函数λ,使得.因为(u,v)和同为渐近坐标系,故在U∩V上有通过直接计算,在U∩V上有以下的关系式:由方程(2.17)和(2.19)～(2.23)推出以下的方程在U∩V上成立:因此,与局部提升y和渐近坐标系{u,V}的选取无关,它整体定义在曲面M上.又由于对任意T∈O(3,2),yT为的局部提升,(u,v)也是它的渐近坐标系.从上述结构方程和(2.27)式得知,g在共形变换下不变,它是一个共形不变量.进一步,从(2.25)和(2.26)式知道,中满足性质的曲面在共形变换下不变.为了用Euclid不变量来表达共形不变度量g和上述共形不变方程,设,其中为中的类时曲面,则是曲面x的局部提升.取x的渐近坐标系(u,v),则有于是存在曲面f的单位法向量场,使得令为曲面f的Hopf形式,为曲面f的中曲率,则有以下的结构方程:为度量(df,df)的曲率.利用渐近坐标系(u,v),我们得到由方程(2.11)～(2.14)和(2.32)～(2.34)直接得到于是,由(2.31)和(2.35)式得到这样,恰好是中类时曲面的Willmore泛函.从(2.35)式我们得到.于是,Willmore泛函的Euler-Lagrange可写成由(2.20)式知道,性质也在共形变换群O(4,2)下不变.我们称中满足Ω1Ω2≠0的曲面为中的正则曲面.从(2.14)式可见,曲面为正则曲面,当且仅当它的共形Gauss映射是非退化的曲面.我们也注意到,中满足的曲面为中的全脐曲面(参见(2.35)式)3推导曲面型的转化设x:为类时定向曲面,为由(2.8)式定义的、曲面x的共形Gauss映射.取x的一个局部提升.称映射为曲面x的导出曲面,如果存在一个映射,满足,使得显然,上述导出曲面的定义与局部提升y和映射的选取无关.对任意p∈M,Gauss映射ξ(p)∈的几何意义为与曲面x在x(p)点相切的、具有相同中曲率的唯一的单叶双曲面.而导出曲面的几何含义已在引言中给出:曲面x和它的导出曲面同时为这些单叶双曲面的包络面.命题3.1设x:M→是一个正则的类时曲面,则它唯一决定一个导出曲面.证设y是曲面x的一个局部提升,(u,v)是曲面x的一个渐近坐标系,它们定义在M的一个开集U上.设{y,η,yu,yv,ξ}是第2节中定义的中的活动标架.定义因为x:是一个正则曲面,故有从(2.14)和(3.2)式我们得到因此满足(3.1)式.现设是满足(3.1)式的另一个映射.令其中{a,b1,b2,μ}为函数,并且μ≠0.由,我们得到从(2.14)式和等式得到这样,我们得到于是有.这样,导出曲面是整体定义的,并由曲面x所唯一决定.证毕.由(2.13)和(2.14)式有从(2.14)式得它恰好是(2.27)式定义的共形度量.x:M→是正则曲面,它的共形Gauss映射是中的类时曲面.从(3.6)式我们知道ξ的Laplace算子为从(2.36)、(3.5)和(3.6)式知:x:M→是一个Willmore曲面当且仅当它的Gauss映射ξ满足即为极小曲面.这样我们就完成了定理A的证明.命题3.2设是一个正则Willmore曲面x:M→的共形Gauss映射,(u,v)为曲面的一个渐近坐标系,则为M上整体定义的4-形式,且满足证从(2.14)式知所以与渐近坐标系的选取无关,它们是M上整体定义的4-形式.由于是Willmore曲面,由(3.5)式知它的共形Gauss映射满足于是存在函数a1,a2和b1,b2,使得由此得到命题3.3设是曲面x:M→的导出曲面,是由(3.2)式给出的曲面的一个局部提升,则有证利用(3.2)～(3.4)式得到于是,我们得到(3.7)式.证毕.现在我们来证明定理B.设x:M→是一个正则的类时曲面,y是x的一个局部提升,(u,v)是曲面x的渐近坐标系.因为Ω1Ω2≠0,从(2.14)和(3.1)式可知是中的一个活动标架.不妨设,由此得到当且仅当也就是说,当且仅当它的导出曲面为常值映射(参见(3.8)式).由此推出定理B中的(i)和(ii)是等价的.则从(2.33)和(2.35)式得到且有由(3.2)式推出于是为常值映射.反之,如果是一个类时曲面,满足为常值,其中我们可以找到从(2.32)式得到于是,由(3.13)式推出即φ1=φ2=0.从(3.13)式获得由此得到H=0,即为极小曲面,因此定理B中的(ii)和(iii)也等价.这就完成了定理B的证明.最后证明定理C.设x:M→是一个正则的Willmore曲面,则有Ω1Ω2≠0,并且由(3.8)式知设是x的导出曲面,其中由(3.2)式给出.由(3.8)、(3.11)和(3.12)式得到由(3.14)、(3.15)和(2.14)式得这样,是一个类时曲面.因为两个曲面x,有相同的共形Gauss映射ξ,并且这个Gauss映射是极小的,故由定理A知也是Willmore曲面.由的