含绝对值的不等式

理解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|6.5含绝对值的不等式1．解绝对值不等式的基本思想 解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方，例如：

(1)若a＞0，则│x│＜a⇔－a＜x＜a⇔x2＜a2；

(2)若a＞0，则│x│＞a⇔x＜－a，或x＞a⇔x2＞a2；

(3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)；

(4)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(无论g(x)是否为正)．2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题

||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|；

并指出等号成立条件．1．对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于[a，b]中的任意x均有|f(x)－g(x)|≤1，那么称f(x)与g(x)在区间[a，b]上是接近的．若函数f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x－3在区间[a，b]上是接近的，则该区间可以是(

) A．[1,4]B．[2,3]C．[2,4]D．[3,4]

解析：本题考查知识的迁移及应用能力． 由已知得|f(x)－g(x)|＝|x2－5x＋7|＝x2－5x＋7，

依次确定其在各选项区间内的最大值，易知当x∈[2,3]时，由于|f(x)－g(x)|＝x2－5x＋7＝(x－)2＋，当x＝2或3时取得最大值，即|f(x)－g(x)|max＝1，故|f(x)－g(x)|≤1在x∈[2,3]上恒成立，从而两函数是接近的．答案：B2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为(

) A．(0,2)B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0)D．(－4，－2)∪(0,2)

解析：解法一：原不等式等价于或

⇒或⇒0＜x＜2或－4＜x＜－2，故选D项． 答案：D3.已知a，b∈R，ab＞0，则下列不等式中不正确的是(

) A．|a＋b|≥a－bB．2≤|a＋b| C．|a＋b|＜|a|＋|b|D．≥2

解析：当ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|.

答案：C4．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________． 解析：解法一：|x＋2|≥|x|，

(1)当x≥0时，易知x＋2≥x成立⇒x≥0；

(2)当x＜0时，|x＋2|≥－x⇒x＋2≥－x或x＋2≤x⇒0＞x≥－1， 综上可得x≥－1. ∴解集为{x|x≥－1}． 解法二：由|x＋2|≥|x|⇔(x＋2)2≥x2⇔x≥－1，∴解集为{x|x≥－1}． 答案：{x|x≥－1}1.解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值．常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方．2．常见绝对值不等式及解法：

(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；

(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；

(3)|x－a1|＋|x－a2|＞(＜)b，用零点分区间法．【例1】解不等式：(1)≤1；(2)|x＋1|＞|2x－3|－2；

(3)|5x－3|＜|2x＋4|＋|3－7|.

解答：(1)≤1⇔2≤1⇔9x2≤(x2－4)2(x≠±2)

⇔x4－17x2＋16≥0⇔x2≤1或x2≥16⇔－1≤x≤1或x≤－4或x≥4.

即不等式的解集为{x|x≤－4或－1≤x≤1或x≥4}．

(2)原不等式等价于 ① 或 ② 或 ③不等式组①解集为∅，不等式组②解集为，不等式组③解集为，因此原不等式解集为(0,6)．(3)∵5x－3＝(2x＋4)＋(3x－7)，∴|(2x＋4)＋(3x－7)|≤|2x＋4|＋|3x－7|，而|(2x＋4)＋(3x－7)|<|2x＋4|＋|3x－7|.∴原不等式可化为(2x＋4)(3x－7)＜0.∴－2＜x＜.即不等式的解集为.1.通过讨论或平方去绝对值进行转化；2．利用含绝对值不等式的性质进行放缩．【例2】已知函数f(x)＝，设a、b∈R，且a≠b，求证：|f(a)－f(b)|＜|a－b|.

证明：证法一：|f(a)－f(b)|＜|a－b|⇔

＜|a－b|⇔

()2＜(a－b)2 ⇔2＋a2＋b2－2＜a2＋b2－2ab⇔1＋ab＜ 当ab≤－1时，式①显然成立； 当ab＞－1时，式①⇔(1＋ab)2＜(1＋a2)(1＋b2) ⇔2ab＜a2＋b2.②

证法二：当a＝－b时，原不等式显然成立；

＝|a－b|，∴原不等式成立． 证法三：设x＝(1，a)，y＝(1，b)，则|x|＝，|y|＝，x－y＝(0，a－b)，|x－y|＝|a－b|而||x|－|y||≤|x－y|， ∴|≤|a－b|，又a≠b，

证法四：设y＝(x∈R)，则y＝表示双曲线y2－x2＝1上支的部分．其渐近线为y＝±x，设A(a，f(a))，B(b，f(b))为曲线y＝上两不同的点．则|kAB|＜1.即＜1.∴|f(a)－f(b)|＜|a－b|.变式2.函数f(x)的定义域为[0,1]且f(0)＝f(1)，当x1、x2∈[0,1]，x1≠x2时都有

|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|，求证：|f(x2)－f(x1)|＜.

证明：不妨设0≤x1＜x2≤1，分以下两种情形讨论：若x2－x1≤，而|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|≤，∴|f(x2)－f(x1)|＜；若x2－x1＞，则∵f(0)＝f(1)，∴|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|

≤|f(x2)－f(1)|＋|f(x1)－f(0)|≤(1－x2)＋(x1－0)＝1－(x2－x1)＜1－＝.

综上所述，|f(x2)－f(x1)|＜.

可通过|a＋b|≤|a|＋|b|证明含绝对值的不等式，求最值等，其中不等式|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件是ab≥0.【例3】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)当a＞0时，求证：对于任意的实数x1，x2，

总有f()≤[f(x1)＋f(x2)]；

(2)设x∈[－1,1]时，|f(x)|≤1，是否存在a，b，c，使得|f(2)|＞成立？

若存在，请写出一组满足条件的a，b，c的值；若不存在，请说明理由．(2)不存在a，b，c满足条件，下面用反证法给出证明．假设存在a，b，c使|f(2)|＞，由已知|f(0)|≤1，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7.此与f(2)＞矛盾．变式3.已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2， 证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|；

(3)|f(x2)－f(x1)|<；(4)|f(x2)－f(x1)|≤.

证明：(1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)．

(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x－x2＋c－x＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|， ∵0≤x1≤1,0≤x2≤1,0<x1＋x2<2(x1≠x2)，∴－1<x1＋x2－1<1， ∴|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|.(3)不妨设x2>x1，由(2)知|f(x2)－f(x1)|<x2－x1.①而由(1)知f(0)＝f(1)，从而|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|<|1－x2|＋|x1|＝1－x2＋x1②①＋②得2|f(x2)－f(x1)|<1，即|f(x2)－f(x1)|<.(4)|f(x2)－f(x1)|≤f(x)最大－f(x)最小＝f(0)－f()＝.1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)，进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|进行放缩．3．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定注意等号成