大学物理：第十五章 量子物理基础

第十五章

量子物理基础在本世纪初，发生了三次概念上的革命，它们深刻地改变了人们对物理世界的了解，这就是狭义相对论（1905年）、广义相对论（1916年）和量子力学（1925年）。－杨振宁第2页本章主要内容玻尔氢原子理论德布罗意关系与不确定度关系波函数及其统计解释薛定谔方程氢原子的四个量子数第一节玻尔氢原子理论一、氢原子光谱光谱学是研究物质结构和组分的技术学科之一。处于聚集状态的物质，如灯泡中的灯丝或高压下的气体加热到白炽后其辐射光谱为连续谱。而灼热低压蒸气或气体中的原子或分子相隔甚远，相互作用弱，它们的发射谱是线状谱。观察氢原子光谱的“实验示意图”：在氢放电管内充以压强约为1mmHg的氢气。2~3kV赖曼系巴尔末系帕邢系布拉开系可见光区紫外区红外区第5页HδHαHβHγ656.3nm486.1nm434.1nm410.2nm氢原子光谱(Hydrogenspectrum)巴尔末公式(Balmer’sformula)B=364.598nmn=3,4,5,…氢原子光谱是分立的线状光谱，且具有规律性。氢原子光谱可见光区域内的一组光谱线。氢原子光谱的规律性第6页定义波数巴尔末系可见光区里德伯(Rydberg)常量HδHαHβHγ656.3nm486.1nm434.1nm410.2nm第7页莱曼系在紫外区帕邢系在近红外区布喇开系在红外区普丰特系在红外区里德伯公式第8页

即氢原子光谱各线系的波数为两光谱项之差。而且其它原子光谱也有相同的一些规律。原子发光，一定带有原子结构的信息。而上述光谱规律又如何解释呢，又带有了怎样的原子结构信息？当时关于原子结构的模型是由汤姆逊(J.J.Thomson)的“西瓜模型”发展而来的卢瑟福(EnerstRutherford)的核式模型。但卢瑟福的核式模型有致命缺陷：绕核运动的电子有加速度，根据经典理论它要不断地发射连续谱的能量；同时由于能量的丧失，轨道收缩而落向原子核，最后导致原子崩溃。其寿命不到10-8s，即这样的原子模型不可能是一个稳定系统。里德伯公式第9页第9页1897年汤姆逊发现电子，1904年提出了原子的“西瓜模型”，也可叫做“果冻葡萄干”模型。占原子绝大部分质量的、带正电荷的“果冻”占据了原子的体积，带负电的电子犹如镶嵌其中的“葡萄干”。但这一模型无法解释卢瑟福散射——

粒子的大角散射：(Alphaparticles=He++)原子结构模型第10页1911年卢瑟福提出。原子的中心有一个带正电荷的核，它的质量几乎等于原子的全部质量，电子在它的周围沿着不同的轨道运转，就像行星环绕太阳运转一样。EnerstRutherford卢瑟福核式模型第11页经典理论客观事实原子的核式结构电子在原子中的运动要辐射电磁波，能量会逐渐减少，导致电子会落到原子核上。原子很稳定r↓,T↓,ν↑，辐射电磁波，应为连续光谱。氢原子光谱是分立的经典原子结构遇到的困难第12页二、玻尔(Bohr)的氢原子理论玻尔原子理论的三个基本假设：

1913年，玻尔在卢瑟福的有核模型的基础上，推广了普朗克和爱因斯坦的量子概念，并引用到原子中来。提出了关于原子模型的三个假设。1.定态假设

原子能够，而且只能够，稳定地存在于离散能量（E1，E2，E3，…）相对应的一系列状态中，这些状态称为定态（stationarystate）。在这些定态上，虽然电子在作加速运动，但并不向外发射电磁波。因此，原子的能量要发生任何改变，包括吸收和发射电磁辐射，都只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。Bohr,

Niels

(1885-1962)

第13页2.频率条件原子从能量为En的定态，跃迁到能量为的Em定态时，要发发射或吸收一个频率为n的光子

3.量子化条件

根据对应原理玻尔提出了角动量量子化条件，即电子绕核作圆周运动时，其定态必须满足电子的角动量L等于

（h/2p）的整数倍。第14页基本假设应用于氢原子的第一个推论：(1)轨道半径量子化第一玻尔轨道半径r1的数量级与经典统计所估计的分子半径相符合，初步显示出玻尔理论的正确性。r14r19r116r1mn=4n=3n=2n=1第15页(2)能量量子化和原子能级原子核与轨道电子这一带电系统中：电子在第n个轨道上的总能量＝电子的动能＋电子具有的电势能以电子处于无穷远处电势能为0，结合：

E1E2

E3

E4rvm基本假设应用于氢原子的第二个推论：第16页基态能级激发态能级氢原子的电离能把电子从氢原子的第一个玻尔轨道上移到无穷远处所需要的能量在正常情况下，氢原子处于最低能级n＝1，即电子处于第一能级上，这个最低能级对应的状态称为基态。电子受到外界刺激时，可以从基态跃迁到较高的能级，这些能级对应的状态称为激发态。r14r19r116r1n=1n=2n=3n=4

E1E2E3E4rvm电子轨道是量子化的轨道半径与量子数n

的平方成正比波尔半径氢原子的能量是量子化的基态能级激发态：第18页(3)氢原子光谱氢原子发光机制是能级间的跃迁R理论=1.097373×107m-1R实验=1.096776×107m-1基本假设应用于氢原子的第三个推论：里德伯常数以上理论和实验的一致性表示玻尔理论在解释氢光谱时取得了巨大的成功。但它也有缺陷，玻尔理论无法解释多电子原子光谱，对谱线宽度、强度、偏振等问题也无法处理，但玻尔理论为建立更完善的原子结构提供了线索。第19页氢原子光谱中的不同谱线6562.794861.334340.474101.741215.681025.83972.5418.7540.50赖曼系巴耳末系帕邢系布喇开系连续区第20页第21页例1:试计算氢原子中巴耳末系的最短波长和最长波长各是多少？解：根据巴耳末系的波长公式，其最长波长应是n=3n=2跃迁的光子，即最短波长应是n=n=2跃迁的光子，即第22页例2:（1）将一个氢原子从基态激发到n=4的激发态需要多少能量？（2）处于n=4的激发态的氢原子可发出多少条谱线？其中多少条可见光谱线，其光波波长各多少？解：（2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以发出的谱线跃迁如图所示，共有6条谱线。（1）第23页由图可知，可见光的谱线属于巴尔末系，为n=4和n=3跃迁到n=2的两条例题若用能量为12.6eV的电子轰击基态氢原子，求可能产生的谱线的波长。……n=1-13.6eVn=2-3.39eVn=3-1.51eVn=4-0.85eV可能的跃迁：31，32，21解例题

氢原子中主量子数n=2的电子至少需要吸收多少能量才能成为自由电子？解第26页第二节德布罗意物质波一、物质波

整个世纪以来，在辐射理论上，相对于波动的研究方法，我们过于忽视了粒子的研究方法；而在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子的图象想得太多，而忽略了波的图象呢？

L.V.deBroglie1924年博士论文《量子理论研究》，1929年诺贝尔奖第27页犹如下图，图本身只是白纸上的一些黑色的分布，而我们的认识会有所侧重，但就不够全面了…第28页回顾光的波粒二象性：1923年，法国青年物理学家德布罗意分析对比了经典物理中力学和光学的对应关系，并试图在物理学的这两个领域内同时建立一种适应两者的理论。他考虑到，（1）自然界在许多方面是显著对称的；（2）可以观察到宇宙完全是由光和物质构成的；（3）如果光具有波粒二象性，物体或许具有波粒二象性。第29页1924年，青年博士研究生德布罗意提出，不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子（如电子、原子、分子等）也都具有波粒二象性;具有确定动量

p

和确定能量E

的实物粒子相当于频率为n和波长为l的波，

二者之间的关系如同光子和光波的关系一样，

满足：德布罗意假设这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。德布罗意公式例题计算：25℃时的慢中子的德布罗意波长。解第31页1、求电子的德布罗意波长电子经加速电势差

V加速后获得能量，自由粒子速度较小，v<<c：电子的德布罗意波长为X射线范围几种实物的德布罗意波长第32页2、

石块3、

地球显然上述两种情况波动性可忽略。宏观物体的波长小得实验难以测量，

“宏观物体只表现出粒子性”第33页电子驻波

德布罗意还指出：氢原子中电子的圆轨道运动，它所对应的物质波形成驻波，圆周长应等于波长的整数倍。再根据德布罗意关系得出角动量量子化条件德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c是个“大”常数；普朗克常数h是个“小”常数。第34页二、物质波的实验证明1、戴维孙—革末电子衍射实验（1927年）355475

当散射角时电流与加速电压曲线检测器电子束散射线电子被镍晶体衍射实验MK电子枪估算电子的波长:设电子动能由U伏电压加速产生－X射线波段U=150V

=0.1nm假如电子具有波动性，应满足布喇格公式

真空电子枪掠射角INi单晶U第36页电子衍射实验多晶铝箔

电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象2、汤姆逊（1927）3、约恩逊（1960）单缝衍射双缝衍射三缝衍射四缝衍射第37页第38页第三节不确定度关系一、动量坐标的不准定关系在经典力学中，只要知道初始条件，即知道了粒子在某时刻的确切位置和动量，我们就可以求解方程，给出粒子在任意时刻的位置和动量。这就是经典物理的决定性观念或者严格的因果律。它在宏观世界，例如天体物理，对人造卫星的运动规律的描述都取得了巨大的成果。当由宏观转向微观世界时，经典物理学家很自然就把熟悉的一套成功方法搬过来，希望通过观察能精密地确定某一微观粒子，例如电子的动量与位置。第39页海森堡和玻尔的观点与此截然不同：

虽然在经典力学中，质点（宏观物体或粒子）在任何时刻都有完全确定的位置、动量、能量等。由于微观粒子具有明显的波动性，以致于它的某些成对物理量（如位置坐标和动量、时间和能量等）不可能同时具有确定的量值。

对微观粒子，在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量，因而我们不能同时确定物质的位置和动量，不能比海森堡的不确定关系所允许的更准确。第40页海森伯(Heisenberg)不确定关系第41页下面以电子单缝衍射为例说明:位置的不确定量：动量px的不确定量：中央明纹中心中央明纹边缘1、只考虑一级衍射k＝1:2、若考虑次级衍射k>1:一般有:通常做简单的数量级估算只要

用即可dp

x第42页例3：

原子线度为10-10m,假定电子可以在此范围内运动，计算原子中电子速度的不确定度。解：

动量的不确定度

px

=m

vx按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度vx

~106

ms-1

。速度的不确定度如此之大，以致无法确切说明在原子线度内运动的电子具有多大的速度！物理量与其不确定度一样数量级，物理量没有意义了！由题意可知坐标不确定度为第43页例4：m=10-2kg的乒乓球，

vx=200m·s-1，若Dx=10-6m，可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？解：对宏观物体引起的动量不确定性小得完全可以被忽略，它目前没有被任何精确的实验方法所觉察。所以坐标及动量可以同时确定。第44页二、时间能量的不准定度关系物质的总能量是动能、势能和固有能量的总和。动能是速度的函数，而势能是坐标的函数。由于微观粒子的坐标和动量都具有不确定性，因此粒子的能量也具有不确定性。原子发光的谱线不是几何线而具有一定的宽度就证明了这一点。而且，被激发电子能量的不确定性与电子在该能量状态停留的时间有关。以一维情形为例，粒子的相对论总能量为第45页海森伯(Heisenberg)不确定关系它表明微观现象具有根本区别于宏观现象的特殊性，而量子力学是阐述微观现象的普遍理论，反映了微观世界的规律。从不确定原理，我们可以应该明确以下几点认识：1.对于微观粒子，坐标的不确定度与该方向动量的不确定度相互制约。轨道概念失去意义。用经典概念描述微观粒子是不准确的。第46页3.不同的实验装置决定不同的可测量量，显示客体某方面的性质，而抑制其它方面的性质。经典描述是互补的。4.作用量子

h

给出了宏观与微观的界限。——微观粒子的“波粒二象”性的具体体现2.不确定性不是实验误差，而是量子系统的内禀性质。它通过与实验装置的相互作用而表现出来。第47页设原子在某激发态能级的能量不确定量为

E，则对从该能级跃迁时发出的光谱线相对频宽为：对可见光，

1015Hz，原子在激发态停留的平均时间一般为108s，于是得到：因此，光谱线的宽度不小于频率的千万分之一。有些原子存在长寿命的激发态，叫做亚稳态。激光就是处于亚稳态的原子受激辐射的光，所以激光的单色性好。并且，也说明了在原子中。除基态外，激发态平均寿命越长，能级宽度就越小。光谱线的相对频宽第48页第四节波函数薛定谔方程一、波函数及其统计解释先回顾以下基本概念：经典粒子：不被分割的整体，有确定位置和运动轨道；经典的波：某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波具有相干叠加性；波粒二象性：要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一客体上；或者，一客体同时具有这样两种属性。第49页再看看电子在经过双缝时表现的行为：由此可见，实验揭示的电子波动性质，是许多电子在同一实验中的统计结果，具有统计意义。再看光的衍射图样，各处的强度不同。从波动观点看，衍射图样最明亮处光的振幅最大。从粒子观点看，光的强度最大处，光子的密度（单位体积里的光子数）也最大。发现：空间某点光子的密度与该点光波振幅平方或强度成正比。第50页波函数（wavefunction）正是为了描写粒子的这种波动行为而引入的，也就是说用波函数来描写粒子的运动状态，通常波函数用Ψ(r,t)来表示，一般情况下，波函数是复数。★1926年玻恩提出：德布罗意波是概率波。统计解释：在某处德布罗意波的强度与粒子在该处出现的概率成正比的。德布罗意波（物质波）既不是机械波，也不是电磁波，而是具有统计分布规律的概率波（probabilitywave）。

概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能结果的出现概率。第51页单位体积内粒子出现的概率概率密度：

波函数本身无直观物理意义，波函数的平方是某一时刻粒子在空间某点附近出现的概率密度。在这一点上不同于机械波，电磁波。玻恩（M.Born)的波函数统计解释:

t

时刻粒子出现在空间某点r

附近体积元dV

中的概率，与波函数平方及dV

成正比。dV=dxdydz粒子出现概率：概率(振)幅：第52页波函数的标准化及归一化条件1、单值：在一个地方出现只有一种可能性；2、连续：概率不会在某处发生突变；3、有限4、粒子在整个空间出现的总概率等于1即：波函数归一化条件波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一第53页二、薛定谔方程（Schrodinger’sequation)先考虑一维自由运动的粒子情况德布罗意波的波长和频率不变，故可用平面简谐波的波函数来描述利用欧拉公式，将其表达成复数形式第54页欧拉公式第55页对上式时间t取一阶偏导数和坐标x取二阶偏导数，可得如果一个一维运动粒子在一势场U(x,t)中运动，可得这就是一维势场中运动粒子的薛定谔方程粒子是在三维势场中运动的，那么第56页这就是薛定谔方程的一般形式引入拉普拉斯算符

2：如果势能只是空间坐标函数时，与时间无关，即U(r)，那么薛定谔方程的特解最终可以写成：第57页E就是这个波函数所描写的状态时的能量。当体系能够用上式这样的波函数来描述状态时，能量具有确定值，所以这种状态称为定态(stationarystate)，这样的波函数就做定态波函数。在定态中，概率密度与时间无关满足方程：这个方程称为定态薛定谔方程第58页只是坐标函数，与时间无关，它与微观粒子在空间定态分布概率直接相关，也称波函数。一维定态薛定谔方程★注意，此处介绍的是方程建立的思路，非严格推导。薛定谔方程是量子力学的基本方程，其正确性只能由实验检验。第59页薛定谔(1887–1961)

，奥地利人，是量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖。薛定谔(E.Schrödinger)第60页三、一维无限深势阱中的粒子其势能函数：一维无限深势阱第61页令：注意到U(x)=，即

，而波函数必须有界，所以上式中的C、D必须为零。因此粒子在势阱外的波函数为：1、势阱外：x0

和x

a，U(x)=第62页此时定态薛定谔方程为：同样令：，方程变为：该方程解的形式为：

(x)=Asinkx+Bcoskx，其中有两个须待定的系数A和B。同样注意到波函数要满足在边界处的连续条件，即：

(0)=0和

(a)=0。在x=0处：

(0)=Bcos0=0，可得：B=0在x=a处：

(a)=Asinka=0，可得：ka=n,

n=1,2,3

或：

k=n/an=1,2,32、势阱内：0x

a，U(x)=0第63页由k=n/a求粒子能量的E波函数必须满足归一化条件，注意到其中的k=n/a：得到定态波函数为：求波函数

(x)=Asinkx中的AI、III两区U(x)＝

，

区U(x)=0波函数:

=0;

=

0因为n称为量子数)(E称为能量本征值,能量归一化常数n=1,2,3,4,5,6,…第65页对解的讨论由于波函数标准条件和边界条件的约束，E

只取能某些特定值，即无限深势阱中粒子的能量是量子化的。存在零点能量，并且：★粒子能量量子化第66页势阱中不同位置粒子出现的概率不相同，概率密度为：★粒子的概率分布第67页四、一维方势垒的穿透方势垒U(x)U0EoaxⅠⅡⅢ入射反射透射当入射粒子的能量E>U0时，无论是经典还是量子理论，粒子都可以穿过区域Ⅱ到达Ⅲ。当粒子的能量E<U0时，从经典理论看，粒子不可能进入Ⅱ区。但量子力学分析计算表明，粒子仍有一定的概率穿过Ⅱ区到达Ⅲ区：

粒子可能穿透比其动能更高的势垒，称为隧道效应。第68页当时，T可以近似表示为a(nm)1050100200T0.7770.0231.41×10－45.03×10－９

第69页1982年，宾尼希（G．Binnig）和罗雷尔（M．Rohrer）等人利用电子的隧道效应研制成功扫描隧道显微镜（STM）。金属的表面处存在着势垒，阻止内部的电子向外逸出，但由于隧道效应，电子仍有一定的概率穿过势垒到达金属的外表面，并形成一层电子云。电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm。将极细的探针与被研究样品表面的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。若在两者之间加微小电压U。，电子就会穿过其间的势垒，形成隧道电流。隧道电流对针尖与表面间的距离极其敏感，当间距改变一个原子距离时，隧道电流可以有上千倍的变化。如果保持控制隧道电流恒定，控制针尖在样品上的扫描，则探针在垂直于样品方向上的高低变化，就反映出样品表面的起伏。利用扫描隧道显微镜可直接绘出表面的三维图象。目前其横向分辨率已达0.1nm,纵向分辨率达0.01nm。而电子显微镜为0.3~0.5nm。量子隧道效应的应用第70页扫描隧道显微镜原理图第71页石墨样品表面：原子的规则排列最小的人形图案：5nm(IBM,1991)

STM照片——原子的“面貌”第72页STM搬动48个Fe原子到Cu表面上构成的量子围栏，围栏中电子形成驻波。第73页从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子甚至原子出发组装制造物品的可能性……如果有一天可以按人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？

——《在底部还有很大的空间》费曼1959第74页第五节氢原子一、氢原子的薛定谔方程应用薛定谔方程可以精确求解氢原子及类氢原子（离子）等简单体系中的电子运动的能级和波函数。对于较为复杂的体系则必须用近似方法求解。在求解过程中，可以自然地得到氢原子的一些量子化条件，而不是做一些人为的假设。氢原子核的质量远大于电子质量，可以近似将核看作不动而电子绕核运动，电子的势能函数为：它代入到定态薛定谔方程可得第75页由于势能的球对称性，采用球坐标求解更为方便，这样可以把定态薛定谔方程化为：得到r、

、

各自满足的三个微分方程。根据波函数标准条件就自然地得出分立的能级和一些量子化条件。具体求解过程不做更高的要求。然后我们会用分离变量法，设第76页1.能量量子化和主量子数——主量子数n二、量子化与量子数氢原子的总能量只能取一系列分立值——量子化：其中n为主量子数，n越大电子离核越远，能量越高。第77页2.角动量量子化和角量子数——角量子数l氢原子的电子轨道角动量只能取一系列分立值——角动量量子化：其中l

为角量子数，它决定了角动量的数值大小。角动量数值不同，电子就处于不同的运动状态。同一能级（主量子数相同）的l=0，1，2，3运动状态分别称为s，p，d，f

状态。第78页3.角动量空间量子化和磁量子数——磁量子数

m电子角动量在空间某一特殊方向（例如外磁场方向）的分量Lx只能取一系列分立值——角动量空间量子化：其中ml

为磁量子数。ml不同，电子就处于不同的运动状态。l相同时，电子的角动量相同，但可以有2l+1个不同的空间取向，因此有2l+1个运动状态。第79页三、电子云在量子力学中轨道的概念已经被抛弃，取而代之的是空间的概率分布概念。那么在氢原子中，玻尔理论中的轨道半经与量子力学中的概率分布有什么样的关系呢？第80页在量子力学中，电子在原子中的状态我们用波函数来描写，它只是描写了电子在各种不同的态时在空间出现的概率。为了形象的表示电子概率密度在空间分布规律，通常将概率大的区域用浓影、将概率小的区域用淡影表示出来，称为电子云（electroncloud）第81页第82页第六节电子自旋一、施特恩-格拉赫实验20世纪30年代，人们发现许多现象不能仅用n，l，ml

三个量子数描述原子中的量子态，例如光谱的精细结构。由此提出了电子自旋及其量子化的假设，并得到了实验的直接验证从而丰富了量子力学关于原子结构的理论，为建立原子的电子壳层理论奠定了基础。第83页1921年，施特恩和格拉赫设计了直接观察原子磁矩的实验。其实验思想是：如果原子磁矩在空间的取向是连续的，那么原于束经过不均匀磁场发生偏转，将在照相底板上得到连成一片的原子沉积；如果原子磁矩在空间取向是分立的，那么原子束经过不均匀偏转后，在底板上得到分立的原子沉积。按照空间量子化理论，当l

一定时，