二次函数知识点总结和典型例题讲解

...wd......wd......wd...二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：〔1〕先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴〔2〕求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比拟准确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：〔1〕一般式：〔2〕顶点式：〔3〕当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y0xy0x性质〔1〕抛物线开口向上，并向上无限延伸；〔2〕对称轴是x=，顶点坐标是〔，〕；〔3〕在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；〔4〕抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，〔1〕抛物线开口向下，并向下无限延伸；〔2〕对称轴是x=，顶点坐标是〔，〕；〔3〕在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；〔4〕抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：>0时，抛物线开口向上<0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：〔0，〕3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。补充：1、两点间距离公式〔当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法〕如图：点A坐标为〔x1，y1〕点B坐标为〔x2，y2〕则AB间的距离，即线段AB的长度为yAxB02、函数平移规律〔中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间〕左加右减、上加下减四、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值〔或最小值〕，即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，假设在此范围内，则当x=时，；假设不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。典型例题1.函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D2.如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则以下关系中正确的选项是A．a＋b=－1B．a－b=－1C．b<2aD．ac<0【答案】B3.二次函数的图象如以下图，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是〔〕.【答案】D4.如图，二次函数的图象经过点〔－1，0〕，〔1，－2〕，当随的增大而增大时，的取值范围是．〔1,〔1,-2〕-1【答案】5.在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式〔〕．A．B．C．D．【答案】B6.二次函数的图像如图，其对称轴，给出以下结果①②③④⑤，则正确的结论是〔〕A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤【答案】D7．抛物线上局部点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…从上表可知，以下说法中正确的选项是．〔填写序号〕①抛物线与轴的一个交点为〔3,0〕；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，随增大而增大．【答案】①③④8.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是〔－2，4〕，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．(1)求△OAB的面积；(2)假设抛物线经过点A．①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部〔不包括△OAB的边界〕，求m的取值范围〔直接写出答案即可〕．解：(1)∵点A的坐标是〔－2，4〕，AB⊥y轴，∴AB=2，OB＝4，∴(2)①把点A的坐标〔－2，4〕代入，得，∴c＝4②∵，∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是〔－1，4〕，OA的中点F的坐标是〔－1，2〕，∴m的取值范围为l<m<3．9．二次函数y=eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x的图像如图．〔1〕求它的对称轴与x轴交点D的坐标；〔2〕将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，假设∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；〔3〕设〔2〕中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．解：〔1〕二次函数y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x的对称轴为x=3，∴D〔3，0〕．〔2〕设抛物线向上平移h个单位〔h＞0〕，则平移后的抛物线解析式为y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+h．∵∠ACB=90°，∴OC2=OA·OB．设点A、B的横坐标分别为x1、x2，则h2=-x1·x2．∵x1、x2是一元二次方程-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+h=0的两个根，∴x1·x2=-4h，∴h2=4h，∴h=4，∴抛物线的解析式为y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4．〔3〕CM与⊙D相切，理由如下：连结CD、CM，过点C作CN⊥DM于点D，如以以下图所示：∵AB是⊙D的直径，∠ACB=90°，∴点C在⊙D上．根据平移后的抛物线的解析式y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4可得：OD=3，OC=4，DM=eq\f(25,4)，CD=5．∴CN=3，MN=eq\f(9,4)，∴CM=eq\f(15,4)．∵CM=eq\f(15,4)，CD=5，DM=eq\f(25,4)，∴△CDM是直角三角形且∠DCM=90°，∴CM与⊙D相切．10.如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以AB为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝，抛物线过A，B，C三点.〔1〕求证：∠CAD＝∠CAB；〔2〕①求抛物线的解析式；②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；〔3〕在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.假设存在，直接写出点P的坐标〔不写求解过程〕；假设不存在，请说明理由.〔1〕证明：连接O′C.∵CD是⊙O′的切线，∴O′C⊥CD．∵AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA＝∠CAD．∵O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB．〔2〕①∵AB是⊙O′的直径，∴∠ACB＝90°∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴即．∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝，∴OA＝2OC又∵AB＝10，∴，∵OC＞0∴OC＝4，OA＝8，OB＝2．∴A〔－8，0〕，B〔2，0〕，C〔0，4〕．∵抛物线过A，B，C三点.∴c＝4由\o"欢送登陆全品高考网!"题意得，解之得，∴．eq\o\ac(○,2)设直线DC交x轴于点F，易证△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8.∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴∴8(BF＋5)＝5(BF＋10)，∴，∴．设直线DC的解析式为，则，即∴．由得顶点E的坐标为．将代入直线DC的解析式中，右边左边.∴抛物线的顶点E在直线CD上．11.如以下图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A〔-1，0〕，B(-1，2)，D(3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，假设抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．〔1〕求抛物线的解析式〔2〕抛物线上是否存在点P．使得PA=PC．假设存在，求出点P的坐标；假设不存在．请说明理由。〔3〕设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什么位置时有最大并求出最大值。ABABCDOENMxy图〔1〕解：由\o"欢送登陆全品高考网!"题意可得M〔0，2〕，N〔-3，2〕∴，解得：∴y=〔2〕∵PA=PC，∴P在AC的垂直平分线上，依\o"欢送登陆全品高考网!"题意，AC的垂直平分线经过B〔-1，2〕，〔1，0〕，这条直线为y=－x+1．解得：，∴P1〔〕，P2〔〕．〔3〕D为E关于对称轴x=1．5对称，CD所在的直线y=－x+3．∴yQ=4．5，∴Q〔-1．5，4．5〕．最大值为CD==．个单位/秒．〔3〕〔〕,．当时，有最大值为，此时．12．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A〔一1，0〕．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．〔1〕∵点A〔-1，0〕在抛物线y=x2+bx-2上，∴×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,∴顶点D的坐标为(,-).〔2〕当x=0时y=-2,∴C〔0，-2〕，OC=2．当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.〔3〕作出点C关于x轴的对称点C′，则C′〔0，2〕，OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．设直线CD的解析式为y=kx+n,则，解得n=2,.∴.∴当y=0时，，.∴13.〔2011浙江金华，10分〕在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.〔1〕当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；〔2〕当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；〔3〕将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，①试求出当n=3时a的值；②直接写出a关于n的关系