三角函数培优讲义(一)

三角函数培优讲义（一）【知识梳理】：1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说该角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。①第I象限角的集合：；②第II角限角的集合：；③第III象限角的集合：；④第IV象限角的集合：；⑤终边在轴正半轴的角的集合：；终边在轴负半轴的角的集合：；终边在轴上的角的集合：；⑥终边在轴正半轴的角的集合：：终边在轴负半轴的角的集合：；终边在轴上的角的集合：；⑦终边在坐标轴上的角的集合：：⑧终边在直线的角的集合：：⑨终边在直线的角的集合：：3.终边相同的角的表示：①终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)；②终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)；③终边与终边关于轴对称；④终边与终边关于轴对称；⑤终边与终边关于原点对称；⑥终边与终边关于直线对称；注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.弧长公式：①扇形的弧长为,半径为,圆心角为,则:，②扇形面积公式：；1弧度(1rad).任意角的三角函数的定义：①设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么正弦余弦，正切；②了解：余切，正割，余割。注意：三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。③各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”。7.同角三角函数的基本关系式：①平方关系：；②商数关系：；③了解：，；8.三角函数诱导公式：（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。〖基础典例〗Ⅰ►（1）写出与终边相同的角的集合M；（2）把的角写成（）的形式；（3）若角，且求。【变式拓展】1、角α与角β的终边互为反向延长线，则()A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)2、已知角的终边与的终边相同，则在区间内与的终边相同的角有（）个A．１B．２C．３D．４3、设sin＞0,cos＜0,且sin＞cos,则的取值范围是()A．(2k+,2k+),kZB．(+,+),kZ

C．(2k+,2k+),kZD．(2k+,2k+)(2k+,2k+),kZ〖基础典例〗Ⅱ►（1）在已知园内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为多少？（2）扇形的面积是1，它的周长是4，求它的圆心角和弦的长。【变式拓展】1、已知扇形的面积是16，试求当扇形的半径和圆心角各取何值时，扇形的周长最小？2、若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？3、如图，已知长为，宽的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面成的角，问点走过的路程的长以及走过的弧度所在扇形的总面积。〖基础典例〗Ⅲ►已知角θ的终边经过点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．【变式拓展】1、已知，则与的关系是（） A．或 B． C． D．2、若是第二象限角，则0（填>或<）3、已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sinα＋cosα＋eq\f(4,5)tanα=；〖基础典例〗Ⅳ►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：①sinα≥eq\f(\r(3),2)；②cosα≤－eq\f(1,2).③【变式拓展】1、函数的定义域为；2、如果，，那么的取值范围是；3、若（为锐角），则的取值范围。〖基础典例〗Ⅴ►已知，求证：．（2010北约）【变式拓展】1、设，则、与大小关系是；2、已知，则与1的大小关系是（）A．B．C．D．大小与的取值有关3、当时，下列不等式正确的是（）A．B．C．D．〖基础典例〗Ⅵ►已知．①化简；②若是第三象限的角，且，求的值；③若，求的值．【变式拓展】1、设函数，则的值为；2、已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：3、在锐角三角形中，求证：.〖基础典例〗Ⅶ►①化简：.②证明：.③若，求（1）的值；（2）的值．【变式拓展】1、；已知为正数，且，则的值为；3、若是方程的两个实根，则；〖基础典例〗Ⅷ►已知，且，求的值。【变式拓展】1、已知αR，sinα+2cosα=eq\f(\r(10),2)，则tanα=；2、已知，且，则；3、已知，则；选择题：1、已知集合，，，则下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．2、若是第二象限的角，则是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第一、三象限的角D．第二、四象限的角给出下面四个命题：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么是第一或第二象限角；（1）如果是第一或第二象限角，那么。这四个命题中，错误的命题有（）个A．1B．2C．3D．44、设，则的值为（）A、B、C、D、5、的大小关系是（）A．.B．.C．.D．.6、化简三角有理式的值为（）A.1B.C.D.1+7、对任意,下列不等式正确的是（）A．B．C．D．8．设，且，则的大小（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9、已知，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10、设，，，,则的大小关系是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．填空题：1、从3:00到5:40这段时间里，时钟的分针和时针分别转过的弧度数为、；2、已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3)，则x的弧度数为___________；3、适合的角的集合为___________；已知,，函数，则；5、已知是三角形的一个内角，且，则的范围是；6、表示不超过的最大整数，则的值；7、已知，则下面三个数：，，从小到大以此为；8、已知，则的值为；9、设为一个给定的锐角，则关于的方程的实数解共有个。满足的锐角共有个。三、解答题：1、已知sinα＝m(|m|<1且m≠0)，求tanα的值．