考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)-试卷5

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）-试卷5(总分：66.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，一2，相应的特征向量依次是α1,α2,α3，若P=(α1，2α3，一α2)，则P一1AP=()

（分数：2.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：解析：由Aα2=3α3，有A(一α2)=3(一α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，一α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=一2的特征向量。当P一1AP=A时，P由A的特征向量构成，A由A的特征值构成，且P与A的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，一2，故对角矩阵A应当由1，3，一2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=一2的特征向量，所以一2在对角矩阵A中应当是第二列，所以应选A。3.已知α1是矩阵A属于特征值A=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是()

（分数：2.00）

A.(α1，一α2，α3)。

B.(α1，α2+α3，α2一2α3)。

C.(α1，α3，α2)。

D.(α1+α2，α1一α2，α3)。

√解析：解析：若P=(α1,α2,α3)，则有AP=PA，即(Aα1,Aα2,Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1,α2,α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值A的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3线性无关，故选项B正确。对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。所以应选D。4.已知α1是矩阵A的属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A的属于特征值λ=6的特征向量，则矩阵P不可能是()

（分数：2.00）

A.(α1，一α2，α3)。

B.(α1，α2+α3，α2一2α3)。

C.(α1，α3，α2)。

D.(α1+α2，α1一α2，α3)。

√解析：解析：由题意可得Aα1=2α1，Aα2=6α2，Aα3=6α3。因α2是属于特征值λ=6的特征向量，所以一α2也是属于特征值λ=6的特征向量，故选项A正确。同理，选项B，C也正确。由于α1，α2是属于不同特征值的特征向量，所以α1+α2，α1一α2均不是矩阵A的特征向量，故选项D一定错误。5.已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3一2A2，则r(B)=()

（分数：2.00）

A.1。

√

B.2。

C.3。

D.不能确定。解析：解析：因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得于是P一1BP=P一1(A3一2A2)P=P一1A3P一2P一1A2P=(P一1AP)3一2(P一1AP)2则矩阵B的三个特征值分别为0，0，一1，故r(B)=1。所以选A。6.设A为n阶实对称矩阵，则()

（分数：2.00）

A.A的n个特征向量两两正交。

B.A的n个特征向量组成单位正交向量组。

C.对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n-k。

√

D.对于A的k重特征值λ0，有r(λ0E—A)=k。解析：解析：实对称矩阵A必可相似对角化，A的属于k重特征值λ0的线性无关的特征向量必有k个，故r(λ0E一A)=n一k。选项C正确。需要注意的是：实对称矩阵A的特征向量不一定两两正交，但属于不同特征值的特征向量一定正交；n个特征向量不一定是单位正交向量组。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.已知有三个线性无关的特征向量，则x=1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：0）解析：解析：由A的特征方程可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E一A)=3—2=1，根据8.已知矩阵和对角矩阵相似，则a=1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：一2）解析：解析：因为所以矩阵A的特征值分别为2，3，3。因为矩阵A和对角矩阵相似，所以对应于特征值3有两个线性无关的特征向量，即(3E一A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E一A的秩为1。可见a=一2。9.设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1,α2,α3，令P=(3α3,α1,α2)，则P一1AP=1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以10.已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，则A=1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值为1，2，3。令11.设A是三阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1，2，1)T，α2=(1，一1，1)T，则特征值2对应的特征向量是1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：t(一1，0，1)T，t≠0）解析：解析：设所求的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有所以对应于特征值2的特征向量是t(一1，0，1)T，t≠0。12.设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设矩阵A的特征值λ1=1和λ2对应的特征向量分别为α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得，而相似矩阵的行列式相等，所以即λ2=一2。又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0.方程组x1一x2=0的基础解系为α2=(1，1)T。令则三、解答题(总题数：14，分数：42.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。__________________________________________________________________________________________解析：某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成向量。（分数：6.00）(1).求的关系式并写成矩阵形式：；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由题意得化成矩阵形式为可见)解析：(2).验证是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：因为行列式所以η1，η2线性无关。又故η1为A的特征向量，且相应的特征值λ1=1。，故η2为A的特征向量，且相应的特征值)解析：(3).当（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：)解析：14.在某国，每年有比例为P的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。(I)求关系式中的矩阵A；(Ⅱ)设目前农村人口与城镇人口相等，即。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由题意，人口迁移的规律不变xn+1=xn+qyn一pxn=(1一p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+(1一q)yn，用矩阵表示为得A的特征值为λ1=1，λ2=r，其中r=1一P—q。当λ1=1时，解方程(A—E)x=0，得特征向量当λ2=r时，解方程(A—rE)x=0，得特征向量令P=(P1，P2)=，则于是)解析：设三阶矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。（分数：4.00）(1).将向量β=(1，1，3)T用α1,α2,α3线性表示；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=一2，x3=1，故β=2α1一2α2+α3。)解析：(2).求Anβ。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：Aβ=2Aα1—2Aα2+Aα3，则由题设条件可得Anβ=2Anα1—2Anα2+Anα3=2α1—2×2nα2+3nα3=)解析：15.已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：设λ是矩阵A的任一特征值，α(α≠0)是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因为特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=O。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(A)=2，所以A的特征值是0，一2，一2。因A—A，则有所以r(A+E)=r(A+E)=3。)解析：设A，B为同阶方阵。（分数：6.00）(1).若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P一1AP=B，则｜λE—B｜=｜λE—P一1AP｜=｜P一1λEP—P一1AP｜=｜P一1(λE一A)P｜=｜P一1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE一A｜。所以A、B的特征多项式相等。)解析：(2).举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不成立；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：令，那么｜λE一A｜=λ2=｜λE一B｜。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P一1AP=B=O，从而A=POP-1=O与已知矛盾。也可从r(A)=1，r(B)=0，知A与B不相似。)解析：(3).当A，B均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有所以存在可逆矩阵P，Q，使因此有(PQ一1)一1A(PQ一1)=B，矩阵A与B相似。)解析：A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且（分数：4.00）(1).求A的所有特征值与特征向量；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由得即特征值λ1=一1，λ2=1对应的特征向量为又由r(A)=2＜3可知，A有一个特征值为0。设λ3=0对应的特征向量为与是特征值0对应的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次对应于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3为任意非零常数。)解析：(2).求矩阵A。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：)解析：设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。（分数：4.00）(1).求A的特征值与特征向量；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0.α1，Aα2=0.α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1，k2是不全为零的常数。)解析：(2).求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：因为A是实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，只需将α1与α2正交化。由施密特正交化法，取)解析：16.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求A。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：设矩阵A的属于特征值λ=1的特征向量为x=(x1，x2，x3)T。实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以ξ1Tx=0，即x2+x3=0。方程组x2+x3=0的基础解系为ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，一1，1)T。)解析：17.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=一1，λ3=0；对应λ1，λ2的特征向量依次为p1=(1，2，2)T，p2=(2，1，一2)T，求A。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：因为A为实对称矩阵，故必存在正交矩阵Q=(q1，q2，q3)，使将对应于特征值λ1、λ2的特征向量单位化，得由正交矩阵的性质，q3可取为的单位解向量，则由可知因此)解析：18.设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值。因为λ1=λ2=6是实对称矩阵的二重特征值，故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个，因此α1,α2,α3必线性相关，显然α1,α2线性无关。设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系α=(一1，1，1)T。根据A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)得A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，0)-1)解析：设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。（分数：4.00）(1).验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A3α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。由关系式B=A5一4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三个特征值为μ1=一2，μ2=1，μ3=1。设α2,α3为B的属于μ2=