2021人教版八年级数学下 勾股定理的实际应用练习含答案

勾股定理的实际应用

1.如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另

一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）

2.如图，在高为3m,斜坡长为5m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要为（D）

3.如图，/ACB=90°,以RtAABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为多,&，S?,

4.（2020河北）如图，从笔直的公路/旁一点P出发，向西走6k机到达/；从P出发向北走6火机也

到达/,下列说法错误的是（D）

A.从点P向北偏西45。走3km到达/

B.公路/的走向是南偏西45。

C.公路/的走向是北偏东45°

D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达/

1

【点拨】如图，。为BP的中点:，C为AB的中点.连接PC,CD由题意可得是腰长为6km

的等腰直角三角形，贝UAB=6V5km,所以PC=3嫄km,则从点P向北偏西45。走km到达

/,选项A错误；公路/的走向是南偏西45。或北偏东45。，选项B,C正确；从点P向北走3km

后到达。点，再向西走3km到达/

上的C点，选项D正确.

5.《九章算术》中的“折竹抵地”问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？

意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹

子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为

（D）

A.X2-6=（10-X）2B.X2-62=（10-A:）2

C.?+6=（10-x）2D.?+62=（10-^）2

6.【2020•广西北部湾经济区】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去向（读

dn,门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①②（图②为图①的平面示意

图），推开双门，双门间隙C,D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），

则AB的长是（C）

A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

【点拨】如图所示.

由题意得OA=OB=AO=BC,DE=1尺=10寸，OE=3cO=l寸.设OA=OB=AO=8c=/•寸，

则AB=2r寸，AE=（r-l）寸.

在RtZXADE中,AE2+DE1=AD2,即（ll-+gM,解得r=50.5".2r=101,，A8=101寸.【答

案】C

7.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.5

米，梯子滑动后停在OE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下移了（B）

2

A.().9米B.1.3米C.1.5米D.2米

8.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方

体的表面从点A爬到点8,需要爬行的最短距离是（B）

A.5729B.25C.10^5+5D.35

A

【点拨】将长方体的表面展开，可得需要爬行的最短距离是42（12+152=25.

本题易考虑不全面，不能准确地找出最短路径而致错.【答案】B

9.（中考•营口）如图，在△ABC中，AC=BC,乙4cB=9（）。，点。在BC上，BD=3,DC=\,点P

是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（B）

【点拨】由题易知NC8A=NA=45。.

如图，过点C作CO1_AB于O,延长C。到C,

使。。=OC,连接OC,交AB于连接C尸，

此时DP'+CP'=OP'+P'C'=OC的值最小.

连接BC,由对称性可知NC8P=NC8P，=45。，

.,.ZCBC'=90°,；.BC」BC,NBCC'=NBC'C=45°.

：.BC=BC'=3+l=4.

根据勾股定理可得DC=yjBC'2+BD2=^42+32=5.

3

【答案】B

10.（中考・安徽）如图，在长方形ABCD中，48=5,AD=3,动点户满足以用8=gs长方形ABCDf则点

P到A,B两点距离之和B4+P8的最小值为（D）

A.729B.取C.5^2D.何

【点拨】设△以B中AB边上的高是/?.VSAMB=15K«4BCO-

.'.^ABh=^ABAD,.,.h=^AD—2.

动点P在与AB平行且与4B的距离是2的直线/上，如图，作点A关于直线/的对称点E,连

接BE,则BE的长就是所求的最短的距离之和.

在RtAABE中，

：AB=5,4E=2+2=4,

二BE=4AB?+AE?+42=何,即PA+PB的最小值为佝.

【答案】D

11.（2019•江苏南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图，将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,

木筷露在杯子外面的部分至少有5_cm.

12.如图，是“赵爽弦图”，△4BH,ABCG,△CDF和△D4E是四个全等的直角三角形，四边

形48CD和EFGH都是正方形，如果EF=4,AH=\2,那么48长为20・

13.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,点A和点8是这

个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点8去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点

4

B的最短路程是___25.dm.

14.（2020秋•金牛区校级月考）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学

校，点A到公路的距离为80m.现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡

车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为24秒.

【点拨】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在RtZVICB中求出CB,继而

得出CD,再由卡车的速度可得出所需时间.设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到。处时

在RtZXABC中，CB=V1002-802=60(m),

：.CD=2CB=120(m),

则该校受影响的时间为：120+5=24（s）.

故答案为：24.

15.【中考•黄冈】如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的

点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外

壁A处到内壁B处的最短距离为—20—cm（杯壁厚度不计）.

Q-------------',B

尸1-------------------\G

【点拨】本题考查最短路径问题.沿过点A的圆柱的高展开圆柱的侧面，得出长方形EFGH,过点

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B作BQ1EF于点Q,作点A关于EH的对称点A',连接A'B交EH于点P,连接AP,如图所示，

则AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.

易知：.AP+PB=A'P+PB=A'B.

：BQ=；X32=16(cm),A，Q=14-5+3=12(cm),

...在Rt/\A'QB中，由勾股定理得\62+\22=20(cm).

16.有一辆装满货物的卡车，高5%,宽3.2皿货物的顶部是水平的)，要通过如图所示的截面的上

半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4机，长方形竖直的一条边长是4.6

tn.

(1)这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由：

(2)为了减少交通拥堵，交通部门想把该隧道改为双向隧道，这时这辆卡车能通过这条隧道吗？

(1)解：能通过.理由如下：

如图，设。为半圆的圆心，为半圆的直径，在0B上截取OE=3.2+2=1.6(a),过点E作EF_L

AB交半圆于点F,连接OF.

在Rt2\OE尸中,OF2=OE2+EF2,即22=1.62+EF2,所以E尸=1.2加,因为1.2+4.6=5.8(机)>5机，

所以这辆卡车能通过此隧道.

(2)：当把该隧道改为双向隧道时，4+2=2(相)<3.2机，

所以这时这辆卡车不能通过这条隧道.

17.在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm(如图).突然一阵大风吹

过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm,请问水深多少？

【点拨】本题利用了方程思想，解题的关键是根据题意画出图形，再利用勾股定理列方程求解.

解：设水深”cm.

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如图，在RtAABC中，AB=hcm,AC=(/z+30)cm,8c=60cm.

由勾股定理得AC^A^+BC2,即(A+30)2=后+60\解得/J=45.

答：水深45cm.

18.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图①，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如

图②中的四边形A8C。）来求岛屿的面积，其中ZB=N£>=90。,AB=8C=15千米，C£>=36千米，

请求出四边形AB。的面积（结果保留根号）.

解：如图，连接AC.

：AB=BC=15千米，ZB=90°,；.AC=15陋千米.

又•.•N£>=90°,...A£>=d^二Z"=12小千米.

=（等+18班）平方千米.

•'•'S四边彩ABCD=SAABC+$4ADC

19.如图，为了美化校园，学校准备在三边长分别是13m,13m,10m和7m,8m,9m的两块

三角形空地上种植花草，你能分别计算出这两块空地的面积吗？如果能，请写出你的计算过程.

①

【点拨】求三角形的面积，必须知道底和高，本题中高未知，故需过点A作BC边上的高，利用勾

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股定理求高.

解：能.

如图①，过点A作AD_LBC,垂足为D

'：AB=AC=}3m,BC=l()m,：.BD=CD=5m.

.•.44=汽4中一8£)2=#132-52=12(m).

；♦SAABC=K，BCAO=1X10X12=60(m)

如图②，过点A作AE1BC,垂足为E.设BE=xm,则CE=(9-x)m.在Rt/XABE与RtAACE中，

A^=ABL-BEL=AC2-CE2,即64―/=49一(9一劝2,解得广竽，

LAEKAB2-Bf2=764-(号)=^^(m).

5AABC=|X9X芈=12小(n?).即图①中空地的面积为

60m2,图②中空地的面积为12小n?.

20.(202().青海)某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示.小

军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端点P的仰角是45°,向前走60米

到达点B测得点P的仰角是6()。，测得发射塔底部点Q的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发

射塔PQ的高度.(结果精确到0.1米,小0.732)

解：4c=45°,NPCA=9()°,：.AC=PC,

VZPBC=60°,NQBC=3Q°,ZPCA=9()0,

NBPQ=NP8Q=30°,：.BQ=PQ,CQ=\BQ,

设BQ=PQ=x,则CQ=^SQ=^x,

根据勾股定理可得BCKBQ1-cC丹x,

所以AB+BC=PQ+QC即60+率x=x+；x,

解得x=60+2M=«60+20X1.732=94.64=94.6,

答：PQ的高度为94.6米.

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21.（2020秋•海勃湾区期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载.某

中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验.如图，先在笔直的公路1旁选取一

点P,在公路/上确定点0、B,使得PO_U,P0=100米，ZPBO=45°.这时，一辆轿车在公路

/上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得NAPO=60°.此

路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：V2=1.41,V3=1.73）.

【点拨】解直角三角形得到AB=OA-08^73米，求得此车的速度七86千米/小时〉80千米/

小时，于是得到结论.

【解析】此车超速，

理由：'：ZPOB=90a,NPBO=45°,

.•.△PO8是等腰直角三角形，

AOB=OP=100米，

；ZAPO=60°,

/.OA=V30P=100A/37173米，

：.AB=OA-。8=73米，

：.-®24米/秒七86千米/小时＞80千米/小时，

此车超速.

22.（2020秋•郸都区期中）如图，长方体的长为20cm,宽为10cm,高为15cm，点B与点C之间

的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点8去吃一滴蜜糖.

（1）求出点A到点8的距离；

（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？

【点拨】（1）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB,如图1；把右侧面展开到

正面上，连结AB,如图2；把向上的面展开到正面上，连结