2021祁阳高一年级下册期末统考试题

学期综合测评

时间：120分钟憾满分：150分

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设复数z=e(其中i为虚数单位)，则复数Z在复平面内对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

2i2i(l-i)2i(l-i)_

解析-：z=——=―5=l+i,•,.其对应的点(1』)位于第一

象限.故选A.

2.某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数

分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用比例分配的

分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生

的人数为()

A.68B.38

C.32D.30

答案D

解析由题意可得，比例分配的分层随机抽样在各层中的抽样比为揣=春.

则应抽取高二年级学生的人数为300X京=30.故选D.

3.已知。=(2,-3),b=(l,-2),且cla,bc=l,则c的坐标为()

A.(3,-2)B.(3,2)

C.(-3,-2)D.(-3,2)

答案C

2x-3y=0,

解析设c=（x,y）,则由cla,"c=l可得1

x-2y=1.

_3

解得.:‘所以c=（-3,-2）,故选C.

y=-2.

4.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体检

中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要

求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为（）

［频率/组距

1.75.................

L

(7>150

OS.5O

625

°”0：30.50.70.91.1L31.5视力

A.10B.20

C.8D.16

答案B

解析由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为（1.00+0.75+

0.25）X0.2=0.4,人数为0.4X50=20.故选B.

5.已知底面边长为1,侧棱长为也的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则

该球的体积为（）

32TI卜，

AA.-“B.4兀

一4兀

C.2兀D.

答案D

解析因为正四棱柱的各顶点均在同一球面上，所以该正四棱柱的体对角线

即为球的直径.由题意可得该正四棱柱的体对角线长为〃七+12+（/）2=2.所以

4兀

球的半径为L所以该球的体积为m•故选D.

6.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次

游戏两人平局的概率为（）

2

1-

A-33

B,

12

D.-

4-9

答案A

解析甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的结果

列表如下:

锤剪子包袱

锤（锤,锤）（锤,剪子）（锤，包袱）

剪子（剪子，锤）（剪子，剪子）（剪子，包袱）

包袱（包袱，锤）（包袱，剪子）（包袱，包袱）

因为由表格可知，共有9种等可能情况.其中平局的有3种：（锤，锤），（剪

31

子，剪子），（包袱，包袱）.设事件A为“甲和乙平局”，则P（A）=g=f

7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为dc.若△ABC的面积为S,

且a=l,4S=〃+c2-1,则A=（）

答案B

解析由余弦定理，得b2+C2-a2=2bccosA,又a=I,所以b2+c2-\=

2bccosA,又S=1csinA,4s=Z?2+c2-1,所以有4xgbcsirtA=2bccosA,即sinA=

7T

cosA,又OVAVTI,所以A=a.故选B.

8.正方体ABC。-48GOi中，直线AO与平面ABC所成角的正弦值为

（）

A.|B.当

C.坐D.坐

答案C

解析如图所示，正方体中，直线A。与SG平行，则直

线AD与平面A1G所成角的正弦值即为BiC,与平面A1BG所成角的正弦值.因

为△4BG为等边三角形，则Bi在平面A\BC\上的投影即为△AiBG的中心0,

则NBCO为BiCi与平面AiBG所成角.可设正方体边长为1,显然8。=坐X啦

=坐，因此BIO=N1一（半J=坐，则Sin/3|C1O=俳5=坐

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：

9189909294879396918589

93889893

则下列关于这组数据的说法中正确的是（）

A.第60百分位数为92.5

B.第60百分位数为92

C.第90百分位数为95

D.第90百分位数为96

答案AD

解析将这组数据由小到大排列为

85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98.因为15X60%=9,15X90%=13.5,所

92+93

以这组数据的第60百分位数为=92.5,第90百分位数为96.故选AD.

10.下面四个命题中的真命题是（）

A.若复数z满足!€R,则z€R

B.若复数z满足Z2£R,则Z€R

C.若复数z€R,贝IJ56R

D.若复数Zi,Z2满足Z1Z2CR,则Z|=?2

答案AC

11a-bi1

解析对于A,不妨设z=a+"（a"不同时为0）,则==力?=二立若二€

/ClIZ/lCl\U乙

R,贝"8=0且aWO.从而z=a€R,所以A是真命题；对于B,也不妨设2=。+

bi,贝”22=（。+〃）2=4—/+24例.若226口，贝IJ4=0或〃=0.而当4=0,且8#0

时，z=MR,所以B不是真命题；对于C,也不妨设z=a+bi,则5=a-机若

z€R,贝IJ〃=0.从而5€R,所以C是真命题；对于D,不妨设zi=m+加i,z2=

a2+bzi,则zizi=（t?i+。日）（。2+匕2。=ais—"必+（。必2+若ziZ2€R,则a\bi

+aib\=0.满足该等式的不一定有="2且为=-bi,所以zi=z2不一定成立，

所以D不是真命题.故选AC.

H.为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5

天中14时的气温数据制成统计表如下：

编号

温度（℃）12345

地区

甲2629283131

乙2830312932

从表中能得到的结论有（）

A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温

B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温

C.甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差

D.甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差

答案AD

解析甲地该月5天14时的平均气温为;X(26+28+29+31+31)=29,乙

地该月5天14时的平均气温为3(28+29+30+31+32)=30,故可得甲地该月

14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月5天14时温度的方差

为s帝=]义[(26—29)2+(28-29/+(29—29)2+(31—29)2+(31—29月=3.6；乙地

该月5天14时温度的方差为[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2

+(32-30)2]=2,故可得甲地该月14时气温的方差大于乙地该月14时气温的方

差，所以甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差.

12.如图，正方体ABC。-481cl。的棱长为1,线段BA上有两个动点E,

F,且瓦则下列结论中错误的是()

A.ACA.AF

B.EFIIABCD

C.三棱锥A-8Eb的体积为定值

D.△AEF的面积与△BEF的面积相等

答案AD

解析对于A,因为AC18。，而BDIIBiDi,所以AClBQi,即AC1EF,

若AC1AF,则AC1平面AER即可得AC1AE,由图分析显然不成立，故A不

正确；对于B,因为EFIIBD,ERI平面ABC。，BOU平面ABC。，所以EF//平

^ABCD,故B正确；对于C,V4_BEF=|XSABEFX|AC=|X|X£FXBBIX|AC

=-^XEFXBBIXAC,所以体积是定值，故C正确；对于D,设办出的中点是O,

点A到直线EF的距离是AO,而点B到直线EF的距离是BB.,所以A。＞BB\,

S^EF=^XEFXAO,S^EF=^XEFXBBI,所以△4£：户的面积与的面积不

相等，D不正确.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线

±)

13.已知向量a=(x,2),6=(2,1),c=(3,x),若allb,贝J-+c|=.

答案56

解析因为a/lb,所以x-2X2=0,解得x=4,

则"c=(2,1)+(3,4)=(5,5),所以步+c|=5隹

14.已知三棱锥P—ABC,若如1平面ABC,PA=AB=AC=BC,则异面直

线P8与AC所成角的余弦值为一.

答案申

解析过8作8。//AC,且8D=AC,连接AD,则四边形AOBC为菱形，

如图所示，(或其补角)即为异面直线P3与AC所成角.]^PA=AB=AC

=BC=a,：.AD=a,BD=VI平面ABC,:.PB=PD*+AD?=®,

p

PB1+BD2-PD12a2+a2-2a26

••・cos/PB-2XPBXBD=2X也X“'•异面直线网与以所

成角的余弦值为坐.

15.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为040.5,0.8,若只

有1人击中，则飞机被击落的概率为02,若2人击中，则飞机被击落的概率为

0.6,若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为一.

答案0.492

解析设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A,B,C,依题意，A,B,C相互

独立，故所求事件概率为P=[P(ABC)+P(^BC)+P(^^Q]XQ.2+[P(AB^)

+P(ABC)+尸(ABC)]X0.6+P(ABC)=(0.4X0.5X0.2+0.6X0.5X0.2+

0.6X0.5X0.8)X0.2+(0.4X0.5X0.2+0.6X0.5X0.8+0.4X0.5X0.8)X0.6+

0.4X0.5X0.8=0.492.

16.在△ABC中，AABC=90°,AB=4,BC=3,点。在线段AC上，若/

BDC=45。,贝;cosZABD=.(本题第一空2分，第二空3分)

y12^27A/2

答案母dr

解析在△A8O中，由正弦定理得，

A

K

B1---------乂

ABBD

sin/A。片sinNBA/'

而A8=4,AADB=135°,

AC=\）AB2+BC2=5,

BC3

sin/8AC=恁=5，

cosZBAC=^=1,所以80=^

71717A/2

cosZABD=cos（ZBDC-ZBAC）=cos^cosZBAC+sinjsinZBAC=-j0.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

17.体小题满分10分）已知a,b,c是同一平面的三个向量，其中a=（1,小）.

⑴若|c|=4,且c//%求c的坐标；

（2）若网=1,且（a+5）—求a与方的夹角a

解（1）因为c//a,所以存在实数"AWR）,

使得c=〃=（%,小入）,

又期=4,即由2+3*=4,解得丸=±2.

所以c=(2,2#)或c=(-2,-2®

(2)因为(a+5)1

所以（。+

即a2-3ib-=0,

351

所以4一gX2X1Xcos。-2=0,所以COS8=2，

7T

因为。€[0,7i],所以。=不

18.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

C=l，a=2,△ABC的面积为小，F为边AC上一点.

⑴求c；

(2)BCF=yflBF,求sin/B/C.

I1兀

解⑴因为=加inC=]X2Z?Xsinx=，5,所以b=2小.由余弦定理可

得c2=6F2+/?2-2ahcosC=4+12-2X2X2\[3Xcos^=4,所以c=2.

7T2兀

(2)由(1)得a=c=2,所以4=0=不Z^BC=7r-A-C=y.

CFBF

在△BCb中，由正弦定理，得sinNC5F=sinN8b'

sin6CF

所以sinNCBF=F7

又因为CF=^BF,所以sinNCBF=*,

2兀7C

又因为NCBbW不，所以NCB/=不

71兀)啦+加

所以sin/BFC=sin(ZCBF+ZBCF)=sin[j+=

-4~

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，平面出81平面ABCD,

BC”平面FAD,ZABC=90°,PA=PB=^AB.

求证：（1）AO//平面PBC；

⑵平面P8CJ_平面PAD.

证明（1）；8。//平面出。，而3CU平面ABC。,

平面ABCDA平面PAD=AD,

：.BCIIAD.

••・AOQ平面PBC,3CU平面PBC,

：.ADII平面PBC.

（,2）­：PA=PB=当AB,满足%2+PB2=AB2,

：.PA]_PB.

由/ABC=90。知BCLAB.

又,平面平面ABC。，

平面也BA平面ABC。=AB,BCU平面ABC。，

••.BC1平面PAB.

又,.,7%u平面RLB,「.BCl巩.

又丫PBCBC=B,PBU平面PBC,BCU平面PBC,

.•.抬，平面PBC

又,:/%U平面PAD,

平面PBC,平面PAD.

20.（本小题满分12分）某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑

在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处

罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：

处罚金额以单位：元）50100150200

迟到的人数y5040200

若用表中数据所得频率代替概率.

(I)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少?

(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A,B两类：A类员工在罚金不超过

100元时就会改正行为：8类是其他员工.现对A类与3类员工按比例分配的分

层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是

多少？

401

解⑴设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A,贝1]2(4)=丽=彳

8()2

不处罚时，某员工迟到的概率为而=亍

当罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低土

(2)由题意知，A类员工和8类员工各有40人，分别从A类员工和8类员工

各抽出两人，

设从A类员工抽出的两人分别为4,A2,从3类员工抽出的两人分别为囱，

良,

设“从A类与B类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行

深度问卷”为事件M,

则事件M中首先抽出Ai的基本事件有(Ai,A2,BI,&),(Ai,A2,&,B,),

(Ai,Bi,Ai,Bi),(Ai,B\,B2,A2),(Ai,B2,Ai,Bi),(4,B2,B\,A2),共

6种，

同理，首先抽出A2,BI,反的事件也各有6种，故事件M共有4义6=24(种)

基本事件，

设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N,则事件N有(8,&,4,

4),(Bi,&,4,Ai),(&,Bi,Ai,Ai),(&,B\,A2,A,),共4种基本事件,

-41

抽取4人中前两位均为B类员工的概率是今

21.(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务

宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组［20,25),

第2组［25,30),第3组［30,35),第4组［35,40),第5组［40,45］,得到的频率分布

直方图如图所示.

(1)若从第3,4,5组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参

加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？

(2)在⑴的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传

经验，求第5组志愿者被抽中的概率.

解⑴第3组的人数为0.3X100=30,

第4组的人数为0.2X100=20,第5组的人数为0.1X100