2021年自招模拟卷（一）（教师版）

自招模拟卷(一)

1.计算：J14+66-J14-6方的值是.

【答案】26.

【解析】J14+6行-J14-6石=J14+2而-J14-2后=3+6-3+行=2百.

2.己知：x=-2是/+依+2方=0的一个根，求/+匕2的最小值.

【答案】2.

【解析】将x=-2代入方程可得4-2。+»=0,即b=a-2,

a2+Z?2=a2+(a-2)2=2(a-l)2+2>2,即/的最小值为

3.已知p、q、r都是正数，求证:关于x的三个方程：x2-y[px+—=0,x2-yfqx+--0，

88

f一〃x+K=o至少有一个方程有两个不相等的正实数根.

8

【答案】略.

【解析】从反面考虑：假设三个方程都没有不相等的实数根，则：

A,=p--<0

12

■A2=^--^<0,三式相加，得，+；+'40,与p、q、r为正数矛盾，

A,=r--^<0

32

故其中必有一个方程有不等的实数根，

不妨设方程*2-⑴1+幺=0的两根为％,X2，

8

根据韦达定理有百=幺>0,即％,9同号，

8

又飞+x?=6>0,所以%,%均大于0，

综上所述，至少存在有一个方程有两个不等正实数根.

4.若二=4^=旦二1笃，则”二2”的值是______.

3y2x-5yxx-2xy+3y

9

【答案】la=.

2

【解析】v—=^—,/.2x2-5xy-3y2=0,

3y2x-5y

(2x+y)(x-3y)=0,r.x=_；y或x=3y,

又•二=6x-15y,-18母+45y2=0,

3yx

x=3y或x=15y,:.x=3y,

4x2-5jcy+6y2_36y2-15y2+6y2_9

"f_2xy+3y2-9y2-6y2+3/-2'

5.a,b是正数，并且抛物线y=V+ax+2〃和了=9+2区+4都与x轴有公共点，则

T+b?的最小值是.

【答案】20.

【解析】由题意，A]=cr-Sb>0,A,=4b2-4a>0,:.a<b2,

0<a2-8b<b4-8b,:口力都为正数，

：.b>2,:.a2>8/?>16,EPa>4,

:.a2+b2>20,当a=4,6=2取到最小值.

6.求一个一元二次方程，使它的两根分别比方程3x2+2x-3=0的两个根的平方多].

【答案】9/-40y+40=0.

【解析】设31+2》-3=0的两根分别为“，马，所求方程的根为％,y2,

2

由题忌，得F+毛=一§，玉・太2=-1，

x

/.y+%=x；+1++1=(i+/『一2X(x2+2

%丫2=(犬+1)(92+1)=(3)2+犬+^+1=

37

.・.所求方程为y2_?y+m=0,即9y2-40y+40=0.

如图，在梯形ABC。中，AD//BC（BC>AD）,ZD=90°,BC=CD=12,

ZABE=45°,AE=W,求CE的长度.

【答案】4或6.

【解析】作DFL/1D交D4延长线于F,

延长DC至“，使C7/=AF,连BH,

则NF=90°,

又♦.•"=90°,AD//BC,.•.NC=90°,

，四边形ABC。是矩形，H

又•.•BC=8,.•.四边形"CO是正方形,

:.BC=BF,ZCBF=9Q°,

在ABCH和ABFA中，

ZBCH=90°=ZBFA,BC=BF,CH=FA,

ABCH=NBFA,:.BH=BA,ZHBC=ZABF,

ZHBC+NEBC=NFBA+ZEBC=90°-ZEBA=45°,

NEBH=AHBC+ZEBC=45°=NEBA,

在AEB”和AEBA中，

BE=BE,ZEBH=ZEBA,BH=BA,

；.AEBH三AEBA,EC+AF=EC+CH=EH=EA=10,

设CE=x,则A/=C7/=10—x,

又•.•£＞产=8=12,:.DE=\2-x,AD=x+2,

DE2+AD2=AE2,..(12-x)2+(x+2)2=100,

解得CE=4或6.

8.如图，在矩形ABC。中，E、产分别是A8、C。上的点，AE=CF,连接E/、BF,

EF与对角线AC交于点。，且ZBEF=2ZBAC.

(1)求证：OE=OF；

(2)若BC=26，求AB的长.

【答案】(1)略；(2)6.

【解析】(1)•.•四边形ABC。是矩形,

.-.AB//CD,AB=CD,NE4c=90°,

:.ZOA.E=AOCF,Z.OEA=ZOFC,

)L-.-AE=CF,:.AOAE=AOCF,

:.OE=OF；

(2)连OB,

由(1)得=尸，OA=OC,

又•.•四边形4BCD是矩形，.•.Q4=OB,

/."AC=NOBA,

又•.♦ZBEF=2ZBAC,ZBEF=2ZOBA,

又•：BE=BF,OE=OF,:.OEVEF,

90°=ZBEF+ZOBE=3ZOBE,

:.Z.OBE=30°,ABAC=30°,

AB=£BC=6.

9.如图，矩形A8C。中，AL>=6,DC=7,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别

在矩形ABCC的边48、CD.ADk,AH=2,连接CF.当AFCG的面积最小时,

求。G的长.

【答案】用.

【解析】作FM_LC£>交C。延长线于M,

延长GH、BA交于点K,设£>G=x,

•.•四边形ABCO是矩形,

:.AB//CD,ZD=ZHAE=900=ZFMG,

:.ZDGH=AHKA,

又•.・四边形EFGH是菱形，

：.HE=GF=HG,GH//EF,ZHGF=ZHEF,

..ZBEF=AHKA,:.ZHEA=ZFGM,

.-.RtM1AE=Rt^FMG,:.MF=HA=2,

%CG=gFMCG=gx2x（7-x）=7-x,

DG2+DH2=HG2=HE2=HA2+AE2,S.AE<1,

.-.x2+42<22+72,

/.x<>/37,

SMCG=7—x>7--\/37,

.•.AFCG面积最小为7-同，此时£>G=后.

10.已知ABC。是一个半径为R的圆的内接四边形，AB=\2,8=6,分别延长A8

和。C,它们相交于尸且8尸=8,ZAPD=6O°,则R等于.\/

PX

【答案】2后.

【解析】由割线定理得，PAPB=PCPD,

A

20x8=PC（PC+6）,.-.PC=10,

由NAPD=60°,AP=20,PC=10,

得4CP=90。，，血为直径，

由勾股定理得4。=J4c2+CD，=A/^=4A历,;.R=2屈.

11.设P（〃）为两个骰子顶面上的数字之和为〃的概率，

求：尸⑴+P（2）+P（3）+P（4）+尸⑸=.

【答案】

18

【解析】分别计算每个P（〃）的概率，

•.-P（l）=0,P（2）=^,P（3）=A（p（4）=A=1,F（5）=±=l

••・P（l）+*2）+W3）+P（4）+P（5）=2・

1o

12.一个正三角形的外接圆的半径为1,向该圆内随机投一点尸，求点P恰好落在正三

角形外的概率.

［答案］4万-3、.

44

【解析】利用正弦定理，这个正三角形的边长为2RsinA=2sin60o=有，

・••这个正三角形的面积是：且（6丫=空，

•••点•恰好落在正三角形外的概率是4.-3c.

4万

nnn

13.正整数〃小于100,并满足等式++=n,其中H表示不超过x的最大

236

整数，这样的正整数〃有个.

【答案】16.

,n

【解析】

6

nnnnnn

<—I--1—=n

236236

乙均为整数，即〃为6的倍数，因此共有16个.

236

14.甲乙两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去,

试求这两人能会面的概率.

【答案】30.

【解析】设7点为第0分钟，8点为第60分钟，

另设甲乙到达的时间分别为羽y,如图建立直角坐标系,

v|x-y|<20-20<x-y<20,

■,[j<20+x，

4n2

二.阴影部分的面积为：602-2x—=2000,

2

这两人能会面的概率是谧q.

15.若前2017个正整数的乘积lx2x…x2017能被2010人整除,

则正整数k的最大值为.

【答案】30.

【解析】v2010=2x3x5x67,

20171

又----=30,2017<672>

.67.

2017!质因数分解中67的幕指数等于30,

:.k的最大值为30.

【课后作业】

1.（15分）已知〃b=2正-娓,c=>/6-V2,

那么〃、b、c的大小关系是（）.

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B.

［解析］a=42-\=-j=-^f

b=26-瓜=「21

2A/2+X/6&+西'

2

C=屈-亚=L4___1_

V6+V2五+限,

>/NH------

4

:.b<a<c.

2.(15分)若加2=〃+2,n2=m+2(加工〃)，贝!］AT?一2〃?〃+/的值为().

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D.

【解析】由题意毋一"J"一加，:.m+n^-\,

机3-2mn+=〃？(〃+2)-2mn+n^m+2)=2m+2n=-2.

3.（15分）反比例函数y=--的图象与直线y=-后+人交于A（-1,m）,8（九/）两点,

x

则AO钻的面积为（）

A.—B.4C.—D.—

222

【答案】C.

【解析】•・,丹=-4.4（一1,加），代入得，加=4,

同理，〃=-4..-.A（-1,4）,B（-4,1）.

915

利用面积公式得，S/>MC=16-2x2--.

4.（15分）从编号1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编

号都大于2