l-预拓扑空间的局部连通性

l-预拓扑空间的局部连通性

1集合coprlxxl-预弯曲空间是指与数学领域（如数学、地理、矩阵理论等）相关的概念。本文主要研究了L-预拓扑空间的相对积空间的局部连通性,文中假设L是有最小元0和最大元1的完备DeMorgan代数(即有逆序对合对应′的完备格)。X是非空集,LX是从X到L的映射(或叫L-子集)的全体。易见LX依点式序也构成完备DeMorgan代数。(X,δ)称为L-预拓扑空间是指0X,1X∈δ(这里0X,1X分别为LX中的最小元和最大元)且δ对任意并关闭,δ的元素称为开集,这时δ′={B′|B∈δ}中的元素为闭集。称a∈L-{0}为L中的余素元,若对L的任意有限子集J,当a≤∨J时,存在j∈J使得a≤j。L中余素元的全体记作Copr(L)。用xα表示在x点处取值α,在其它处取值为0的L-集。[α]是指在X上取常值α的L-集。易证LX中全体余素元构成的集合Copr(LX)={xα|x∈X,α∈Copr(L)}。称a∈L-{1}为L中的素元(resp.,完备素元)是指对于L的满足a≥∧J的任意有限子集(resp.,任意子集)J,都存在j∈J使得a≥j。L中的全体素元(resp.,完备余素元)构成的集合记为Pr(L)(resp.,CPr(L))。设(X,δ)是L-预拓扑空间,A∈LX,xα∈Copr(A)={xα∈Copr(LX)|xα≤A},称[xα|A]=∨{B∈LX|B是(X,δ)中的连通集且xα≤B≤A}为A中由xα决定的连通分支。[xα|A]是A中包含xα的最大的连通集。显然,[xα|A]满足xα≤[xα|A]≤A,且有(1)对任意的xα,yβ∈Copr(A),[xα|A]=[yβ|A]或者[xα|A]∧[yβ|A]=0X;(2)当Copr(LX)是LX的并生成集,A=∨{[xα|A]|xα∈Copr(A)}。每个映射f:X→Y可诱导出一个映射(称为L-值Zadeh型函数)f→L:LX→LY,具体定义为f→L(A)(y)=∨{A(x)|f(x)=y}(∀A∈LX,∀y∈Y)。易见f→L保任意并。若记f→L的右伴随为f←L,则有f←L(B)=∨{A∈LX|f→L(A)≤B}=B。f(∀B∈LY),并且f←L保任意并、任意交和逆合对应。设(X1,δ1)和(X2,δ2)为两个L-预拓扑空间,f:X1→X2是一个映射,如果对任意的B∈δ2有f←L(B)∈δ1(或∀B∈δ′2有f←L(B)∈δ′1),则称f为连续L-值Zadeh型函数。如果对任意B∈δ1有f→L(B)∈δ2,则称f为开映射。称一个L-预拓扑空间(X,δ)是局部连通的是指(δ,≤)有一个由连通L-子集组成的并生成集,即对每个A∈δ,存在AA⊂δ使得A=∨AA且AA的每一个成员在(X,δ)中连通。(亦即对每个B∈δ′,存在BB⊂δ′使得B=∧BB且对任意C∈BB,C′在(X,δ)中连通。)引理1.1若Pr(L)是L的交生成集,则L-预拓扑空间(X,δ)是局部连通的充分必要条件是,对于每个xα∈Copr(LX)以及每个A∈Rδ(xα),存在B∈Rδ(xα)使得A≤B且B′在(X,δ)中连通,其中Rδ(xα)={P∈LX|∃Q∈δ′,xα≤/Q,P≤Q}称为xα的远域系,Rδ(xα)中的成员称为xα的远域。引理1.2设L是完全分配格,则L-预拓扑空间(X,δ)是局部连通的充分必要条件是,对任意的A∈δ和任意xα∈Copr(A),[xα|A]∈δ。2．双诱导重积投影定义2.1设{(Xt,δt)}t∈T是一族L-预拓扑空间,令X=∏t∈ΤXt,对每一个t∈T,用pt:X→Xt表示投影映射,令B={(pt)←L(At)|At∈δt,t∈T},则可证明δ={A∈LX|存在B1⊂B使得A=∨B∈B1B}是X的一个L-预拓扑。((ⅰ)1X=(pt)←L(1Xt)∈B⊂δ;0X=(pt)←L(0Xt)∈B⊂δ;(ⅱ)设δ1⊂δ,对任意的A∈δ1,由δ的定义知,存在BA⊆B使得A=∨B∈BAB,则∨A∈δ1A=∨A∈δ1∨B∈BAB=∨B∈∨A∈δ1BAB,故∨A∈δ1A∈δ),称(X,δ)为{(Xt,δt)}t∈T的乘积L-预拓扑空间,简称为积空间。对于任意的t∈T,投射pt:(X,δ)→(Xt,δt)连续。引理2.1设(X,δ)是一族L-预拓扑空间的积空间,如果对于某个t0∈T,(Xt0,δt0)是满层的L-预拓扑空间(对任意的α∈L,[α]∈δt0),则投射pt0:LX→LXt0是既开又闭的映射。证明容易得证,略。定义2.2称H=gf:LX11→LX22为双诱导映射,如果f:X1→X2为集上映射,g:L1→L2为格上保并映射,使得对任意的A∈LX11和对任意的x2∈X2,H(A)(x2)=∨{g(A(x1))|x1∈X1,f(x1)=x2},这时称H-1:LX22→LX11为H的逆映射。易证,对任意的B∈LX22,H-1(B)=g-1。B。f,其中g-1:L2→L1,定义为,对任意的λ2∈L2,g-1(λ2)=∨{λ1∈L1|g(λ1)≤λ2}。一族完全分配格{Lt}t∈T的笛卡尔积∏Lt按点式序构成了一个完全分配格,定义∏ˉ(LXtt)=(∏Lt)∏Xt,设pt:∏Xt→Xt,qt:∏Lt→Lt分别是通常的投影(这时qt自然保并),则它们的双诱导映射πt=qtpt:∏¯(LtXt)→LtXt称为双诱导重积投影,简称投影。定义2.3设(LtXt,δt)是L-预拓扑空间,对任意的t∈T,则称∏¯(LtXt)上的一个L-预拓扑为积拓扑,记为∏¯δt,如果它是使所有πt连续的最粗L-预拓扑,这时,称L-预拓扑空间∏¯(LtXt),∏¯δt为{(LtXt,δt)}t∈T的重积空间,(LtXt,δt)(t∈T)为因子空间,这时重积空间的全体余素元之集Copr∏¯(LtXt)={xλ|x∈∏Xt,λ∈Copr(∏Lt)}。定理2.1设{(LtXt,δt)}t∈T是一族L-预拓扑空间,∏¯(LtXt),∏¯δt为它们的重积L-预拓扑空间,πt=qtpt:∏¯(LtXt),∏¯δt→(LtXt,δt)是投影,则对任意的t∈T,有:(1)πt保并,πt-1保并,保交;(2)令Bπ={πt-1(Ct)|Ct∈δt,t∈T},则对任意的A∈∏¯δt,A=∨A,其中A⊂Bπ。定理2.2设At∈LXtt,t∈T,则:(1)πt-1(At)=A˜t,其中A˜t=∏Bt′,当t′=t时,Bt′=At;当t′≠t时,Bt′=1Xt;(2)∏At=∨πt-1(At);(3)πt(∏At)=At。定理2.3任一A∈∏¯(LtXt),有分解式A=∏At,At∈LtXt成立,其实,At=πt(A)。推论2.1设∏¯(LtXt),∏¯δt是{(LtXt,δt)}t∈T的重积空间,则C∈∏¯δt的充要条件是,对每个t∈T,存在Ct∈δt使得C=∏Ct。证明必要性设C∈(∏¯(LtXt),∏¯δt),由定理2.2,对每个t∈T,存在Ct∈δt使得C=∏Ct=∨π-1t(Ct),再由定理2.1(2)知C∈∏¯δt。充分性由定理2.2易知,对任意的t∈T,存在Ct∈δt使得C=∨πt-1(Ct)=∏Ct。推论2.2对任意的t∈T,πt是开映射。证明对任意的A∈∏¯δt⊂∏¯(LtXt),由推论2.1知存在At∈δt使得A=∏At,再由定理2.2,πt(A)=At∈δt,故πt为开映射。3rttt的一个结论定理3.1设0∈CPr(L),L-预拓扑空间(X,δ)是一族L-预拓扑空间{(Xt,δt)}t∈T的乘积空间,若任意的t∈T,(Xt,δt)是局部连通的L-预拓扑空间,而且任意的λ∈L,[λ]Xt是(Xt,δt)中连通的开集,则(X,δ)是局部连通的。证明设xα∈Copr(LX),对任意的A∈Rδ(xα),则存在由B∈δ′使得xα≤/B且A≤B。由B∈δ′的定义知B=∧t∈T1(pt)←L(Bt),其中Bt∈δ′t,T1⊂T。由xα≤/B知存在t∈T1使得xα≤/(pt)←L(Bt),从而有Bt∈Rδt((pt)→L(xα))(否则有(pt)→L(xα)≤Bt,从而xα≤(pt)←L(pt)→L(xα)≤(pt)←L(Bt)与(pt)←L(Bt)∈Rδ(xα)矛盾)。由(Xt,δt)局部连通知存在C∈Rδt((pt)→L(xα))使得Bt≤C且C′在(Xt,δt)中连通。令C^=(pt)L←(C),则有C^∈Rδ(xα),(显然由C^∈Rδ(xα)知xα≤/C^,否则有xα≤C^,从而(pt)L→(xα)≤(pt)L→(C^)=(pt)L→(pt)L←(C)≤C与C∈Rδt((pt)→L(xα))矛盾。)且A≤B≤(pt)L←(Bt)≤(pt)L←(C)=C^。下证C^′在(X,δ)中连通。假设C^′在(X,δ)中不连通,则存在μ,ν∈δ′-{0X}使得C^′∧μ≠0X,C^′∧ν≠0X,C^′≤μ∧ν,C^′∧μ∧ν=0X。根据积空间的定义知对任意的t∈T,存在μt,νt∈δ′t-{0Xt},使得μ=∧t∈T(pt)←L(μt),ν=∧t∈T(pt)←L(νt)。任意的s∈Τ,s≠t,(ps)L→(C^′)=(ps)L→(pt)L←(C′)=[∧x∈XtC′(x)]Xs,(pt)L→(C^′)=C′。因此(ps)→L(C^′)在(Xs,δs)中连通(∀s∈T)。μs∧νs≥(ps)L→(ps)L←(μs∧νs)≥(ps)L→(μ∨ν)≥(ps)L→(C^′)。另外,由0X=μ∧ν∧C^′=(∧t∈Τ(pt)L←(μt))∧(∧t∈Τ(pt)L←(νt))∧(∧t∈Τ(pt)L←(Ct))=∧t∈Τ(pt)L←(μt∧νt∧Ct)知存在r∈T使得μr∧νr∧Cr=0Xr,其中当s=t时,Cs=C′;当s≠t时,Cs=1Xs。否则,如果对于任意t∈T,都有μt∧νt∧Ct≠0Xt,即存在xt∈Xt使得(μt∧νt∧Ct)(xt)≠0。令x={xt}t∈T,就有(μ∧ν∧C^′)(x)=∧t∈Τ(pt)L←(μt∧νt∧Ct)(x)=∧t∈Τ(μt∧νt∧Ct)(pt(x))=∧t∈Τ(μt∧νt∧Ct)(xt)≠0,最后的不等号用到了0∈CPr(L),这与μ∧ν∧C^′=0X矛盾。至此,找到了r∈T满足μr,νr∈δr-{0Xr},μr∨νr≥(pr)L→(C^′)且μr∧νr∧(pr)L→(C^′)=0Xr。若r=t时,则由前面结论Cr=C′=(pr)L→(C^′),故μr∧νr∧(pr)L→(C^′)=μr∧νr∧Cr=0Xr;若r≠t时,则Cr=1Xr,故μr∧νr∧(pr)L→(C^′)≤μr∧νr∧Cr=0Xr。下证(pr)L→(C^′)∧μr≠0Xr,(pr)L→(C^′)∧νr≠0Xr。假设(pr)L→(C^′)∧μr=0Xr,C^′∧μ≤(pr)L←(pr)L→(C^′)∧(∧r∈Τ(pr)L←(μr))≤(pr)L←(pr)L→(C^′)∧(pr)L←(μr)=(pr)L←((pr)L→(C^′)∧μr)=(pr)L←(0Xr)=0X,与C^′∧μ≠0X矛盾。所以(pr)L→(C^′)∧μr≠0Xr。同理可说明(pr)L→(C^′)∧νr≠0Xr,由此可得(pr)→L(C^′)是不连通的,这与(pr)L→(C^′)在(Xr,δr)中连通矛盾。所以最初的假设不成立,即C^′在(X,δ)中连通,从而(X,δ)是局部连通的。定理3.2设(L1X1,δ1)和(L2X2,δ2)是两个L-预拓扑空间,H=gf:(L1X1,δ1)→(L2X2,δ2)是连续映射,且H-1保并,保交。若A是(L1X1,δ1)中的连通集,则H(A)是(L2X2,δ2)中的连通集。证明若H(A)不是(L2X2,δ2)中的连通集,则存在μ1,μ2∈δ′2使得H(A)∧μ1≠0X2,H(A)∧μ2≠0X2,H(A)≤μ1∨μ2且H(A)∧μ1∧μ2=0X2。令D=H-1(μ1),E=H-1(μ2),则由H是连续映射知D,E∈δ′1。而且A≤H-1(H(A))≤H-1(μ1∨μ2)=H-1(μ1)∨H-1(μ2)=D∨E。A∧D∧E≤H-1(H(A))∧H-1(μ1)∧H-1(μ2)=H-1(H(A)∧μ1∧μ2)=H-1(0X2)=0X1,这表明A∧D∧E=0X1。下面证明A∧D≠0X1,假设A∧D=0X1,那么有A=A∧(D∨E)=(A∧D)∨(A∧E)=A∧E≤E,从而H(A)≤H(E)=H。(H-1(μ2))≤μ2,于是0X2=H(A)∧μ1∧μ2=H(A)∧μ1≠0X2,矛盾。同理可证A∧E≠0X1。综上所述,D,E的存在与A是(L1X1,δ1)中的连通集矛盾,所以假设不成立,从而H(A)是(L2X2,δ2)中的连通集。定理3.3设((∏¯(LtXt),∏¯δt))是L-预拓扑空间族{(LtXt,δt)}t∈T的重积空间,则(∏¯(LtXt),∏¯δt)是连通的充分必要条件是,存在t∈T,(LtXt,δt)是连通的。(或充分必要条件是,对任意的t∈T,(LtXt,δt)是连通的。)证明首先由πt:(∏¯(LtXt),∏¯δt)→(LtXt,δt)(t∈Τ)且πt是保并,保交连续的映射,则由(∏¯(LtXt),∏¯δt)是连通的知(LtXt,δt)也是连通的。另一方面,设存在t∈T,(LtXt,δt)是连通的,假设(∏¯(LtXt),∏¯δt)不连通,那么由定义知存在A,B∈∏¯δt-0∏¯LtXt使得A∨B=1∏¯(LtXt),A∧B=0∏¯(LtXt)。根据重积空间的定义知对任意t∈T,存在At,Bt∈δ′t-{0Xt}使得A=∧t∈Tπt-1(At),B=∧t∈Tπt-1(Bt)。由于对任意t∈T,有1∏¯(LtXt)=A∨B≤πt-1(At)∨πt-1(Bt)=πt-1(At∨Bt),所以At∨Bt≥πt˚πt-1(At∨Bt)≥πt(1∏¯(LtXt))=1Xt。另外,由0∏¯(LtXt)=A∧B=(∧t∈Τπt-1(At))∧(∧t∈Τπt-1(Bt))=∧t∈Τπt-1(At∧Bt)知对任意的t∈T,At∧Bt=0Xt。否则,如果存在t∈T使得At∧Bt≠0Xt,即存在xt∈Xt使得(At∧Bt)(xt)≠0,则对任意的x∈∏Xt,满足pt(x)=xt,有(A∧B)(x)=∧t∈Tπt-1(At∧Bt)(x)=∧t∈Tqt-1(At∧Bt)pt(x)=∧t∈Tqt-1(At∧Bt)(xt)=(λt)t∈T≠0∏Lt,其中λt=(At∧Bt)(xt)。这与A∧B=0∏¯LtXt矛盾。至此,对任意的t∈T,At,Bt,满足At,Bt∈δt-{0Xt},At∨Bt=1Xt且At∧Bt=0Xt,这与(LtXt,δt)是连通的L-预拓扑空间矛盾,所以最初的假设不成立,故(∏¯(LtXt),∏¯δt)是连通的。定理3.4设(∏¯(LtXt),∏¯δt)是(LtXt,δt)(t∈T)的重积空间,若每个因子空间(LtXt,δt)(t∈T)局部连通,则∏¯(LtXt),∏¯δt)是局部连通的。证明设xα∈Copr∏¯(LtXt),A∈∏¯Rδ(xα),则有πt(xα)∈Copr(LtXt)(∀t∈T)。事实上,对任意的t∈Τ,y∈Xt,πt(xα)(y)=∨{qt(xα(x))|x∈∏Xt,pt(x)=y}=qt(α)。当y=xt时,πt(xα)(y)=αt;当y≠xt时,πt(xα)(y)=0,因此πt(xα)=(xt)αt。对任意的a,b∈Lt,αt≤a∨b,令λ=(λs)s∈T,当s=t时,λs=a,否则λs=αs;令μ=(μs)s∈T,其中当s=t时,μs=b,否则μs=αs。则有α≤λ∨μ,由α∈Copr(∏Lt)知α≤λ或α≤μ,因此有αt≤a或αt≤b,即αt∈Copr(Lt),所以(xt)αt=πt(xα)∈Copr(LtXt)。对任意的A∈∏¯Rδ(xα),存在Q∈δ′使得xα≤/Q且A≤Q,由Q∈δ′知对任意的t∈T,存在Qt∈δ′t使得Q=∏Qt。则对任意的x∈X,Q(x)=∧t∈Τπt-1(Qt)(x)=∧t∈Τqt-1(Qt(pt(x)))=∧t∈Τqt-1(Qt(xt))=∧t∈Τ(∨{λ∈∏¯Lt|qt(λ)≤Qt(xt)})={Qt(xt)}t∈Τ,因此,一定存在t∈T使得πt(Q)∈Rδt(πt(xα))。(由πt(A)≤πt(Q),及πt(xα)≤/πt(A),得πt(xα)≤/πt(Q)。)因为因子空间(LtXt,δt)局部连通,故存在Bt∈δt(xα),Qt≤Bt且B′t是连通的。令B=(∏Ct′)′,当t′=t时,Ct′=(Bt)′;当t′≠t时,Ct′=1Xt。又因为Q=∏Qt≤(∏Ct′)′=B,B′=∏Ct′。由定理3.3知B′是连通的,再由引理1.1知(∏¯(LtXt),∏¯δt)是局部连通的。4局部连通定义4.1设(X,J)是分明的预拓扑空间,L是完全分配格,A:X→L是映射。如果对任意的a∈L,{x∈X|A(x)≤a}∈J′,这里J′表示(X,J)中的全体闭集之族,则称A为X上的L值下半连续函数。以wL(J)表示X上的全体下半连续函数之集,则(ⅰ)X上每个L中取常值的函数属于wL(J);(ⅱ)若A∈wL(J),则∨A⊂wL(J);(ⅲ)J⊂wL(J)。由此可见wL(J)是X上的L-预拓扑,叫做J在LX生成(或诱导)的拓扑,称(X,wL(J))为(X,J)拓扑生成(或诱导)的L-预拓扑空间。引理4.1设1∈J(L),A是(X,wL(J))中的L-集,则A连通的充分必要条件是A0={x∈X|A(x)>0}连通。证明略。定理4.1设(X,J)是分明预拓扑空间,(X,wL(J))是其诱导空间,且1∈J(L),A是(X,J)的分明子集,则A在(LX,wL(J))中连通的充分必要条件是A在(X,J)中连通。证明必要性因为J⊂wL(J),由A在(X,wL(J))中连通,所以A在(X,J)中连通。充分性假设A在(X,wL(J))中不连通,则存在E,F∈wL(J)′使得A∧E≠0X,A∧F≠0X,A∧E∧F=0X。由χA=A=A0,若x∈A0,则A(x)>0有E(x)∨F(x)≥A(x)>0,则必有E(x)>0或F(x)>0。即x∈E0或x∈F0,则x∈E0∪F0,从而A0⊂E0∪F0。由A∧E≠0X,则存在x∈X使得(A∧D)(x)=A(x)∧D(x)≠0,即A(x)≠0且E(x)≠0,从而x∉A0且x∉E0,所以A0∩E0≠∅。同理可证A0∩F0≠∅。下证A0∩E0∩F0=∅。假设A0∩E0∩F0≠∅,则存在x∈X有A(x)>0,D(x)>0,E(x)>0。且由A∧D∧E=0X,即A(x)∧D(x)∧E(x)=0,又由0∈Pr(L),则必有A(x)=0或D(x)=0或E(x)=0与A(x)>0,D(x)>0,E(x)>0矛盾,所以A在(X,J)不连通。定理4.21∈J(L),(X,wL(J))是局部连通的L-预拓扑空间的充分必要条件是(X,J)是局部连通的。证明必要性(X,wL(J))是局部连通的,则wL(J)有一个连通的并生成集B,令S={A0|A∈B},其中A0={x∈X|A(x)>0}。下面证明S为J的一个并生成集。由wL(J)有一个连通的并生成集B,对任意的A∈J,就有χA∈wL(J),则χA=∨U1(U1⊂B),需证A=∪U∈U1U0,其中U0={x∈X|U(x)>0}。设x∈∪U0,则存在U∈U1使得U(x)>0,则∨U1(x)≥U(x)>0,从而χA(x)=∨U1(x)=1,即x∈A。同样设x∈A,假设x∉∪U0,则对任意的U∈U1有x∉U0,即U(x)=0,则∨U1(x)=0,即χA(x)=0,从而x∉A与x∈A矛盾。所以A=∪U∈U1U0,