2021年中考数学真题分类汇编之图形的对称与平移

2021年中考数学真题分类汇编之图形的对称与平移

一、选择题（共5小题）

1.（2021•通辽）如图，已知A£>//BC,ABVBC,/W=3,点E为射线BC上一个动点，连接小，将AABE

沿AE折叠，点B落在点屈处，过点夕作4）的垂线，分别交A£>,BC于M,N两点，当夕为线段M/V的

三等分点时，3E的长为（）

2.（2021•绥化）已知在RtAACB中，ZC=90°.ZABC=15°,43=5,点E为边AC上的动点，点下为

边他上的动点，则线段庄+£B的最小值是（）

4.（2021•江西）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆

放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）

C.4D.5

5.（2021•丹东）如图，在矩形MC£＞中，连接5。，将ABCD沿对角线比＞折叠得到AfiDE,BE交AD于

点O,3E恰好平分若AB=2上,则点。到区＞的距离为（）

A.6B.2C.-73D.3

2

二、填空题（共5小题）

6.（2021•重庆）如图，AABC中，点。为边8c的中点，连接AD,将A40C沿直线4）翻折至AABC所在

平面内，得AMC,连接CC,分别与边他交于点E,与AD交于点O.若AE=BE,BC'=2,则AD的

长为—.

7.（2021♦宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将点A（-l,2）向右平移2个单位长度得到点8,则点8关于x

轴的对称点C的坐标是

8.（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形。3C的顶点O在坐标原点，顶点A,C分别在x轴，y轴

上，B,。两点坐标分别为8（Y,6）,£）（0,4）,线段EF在边OA上移动，保持£F=3,当四边形83防的

9.（2021•海南）如图，在矩形中，AB=6,A£>=8,将此矩形折叠，使点C与点A重合，点。落

在点。处，折痕为印，则47的长为,的长为.

10.（2021•鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD的边长为6,点F是正方形内一点，连接CF,DF,且

NADR=N£）CF,点E是AD边上一动点，连接£»,EF,则E8+EF长度的最小值为____.

三、解答题（共6小题）

11.（2021•云南）如图，四边形是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与比»的

交点.若将沿直线8。折叠，则点E与点F重合.

（1）求证：四边形3EDF是菱形；

(2)若ED=2AE,ABAD=3y/3,求所包。的值.

12.（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位.

（1）过直线机作四边形A8CD的对称图形；

（2）求四边形的面积.

13.（2021•青海）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要

作60。，30。，15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片/W8,使AZ）与8c重合，得到折痕£F,把纸片展开（如图1）.

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在ER上，并使折痕经过点8,得到折痕同时得到线段8N（如

图2）.

猜想论证：

（1）若延长MN交3c于点P,如图3所示，试判定ABMP的形状，并证明你的结论.

拓展探究：

（2）在图3中，若AB=a,BC=b,当a,〃满足什么关系时;才能在矩形纸片A5CD中剪出符合（1）

中结论的三角形纸片助WP?

图1图2图3

14.（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，AA8c的顶点和线段DE■的端

点均在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中将A4BC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到&VWP（点A的对应点

是点M,点3的对应点是点N,点、C的对应点是点P），请画出AMNP：

（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形D£F（点F在小正方形的顶点上）.连接阳，请直

接写出线段用的长.

16.（2021•大庆）如图，在平行四边形A8C。中，AB=3,点E为线段A3的三等分点（靠近点A）,点尸

为线段C£＞的三等分点（靠近点C）,且将ABCE沿CE对折，BC边与4）边交于点G,且

DC=DG.

（1）证明：四边形板尸为矩形;

（2）求四边形AECG的面积.

Bf

2021年中考数学真题分类汇编之图形的对称与平移

参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题）

1.（2021•通辽）如图，已知AD//3C,AB±BC,45=3,点E为射线3C上一个动点，连接AE,将AABE

沿AE折叠，点8落在点£处，过点月作4）的垂线，分别交45,3c于M,N两点，当£为线段的

三等分点时，BE的长为（）

A.-B.-V2C.。或3夜D.我或衿

2222

【答案】D

【考点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）

【专题】操作型；等腰三角形与直角三角形：应用意识

【分析】分类画出图形，设BE=x,由折叠的性质表示出相关线段，再用勾股定理列方程即可解得座的

长.

如图:

RtAAMB'中，AB'=AB=3,MB'=-AB=1,

3

AM=dAB'?-MB'?=2V2,

-.•AD//BC,ABYBC,MNLAD,

四边形AaVM是矩形，

:.BN=AM=20,MN=AB=3,

设BE=x,则8'E=x,EN=2-/2-x,

RtAB'EN中,B'N=MN—MB'=2,EN2+B'N2=B'E2,

(2^-X)2+22=X2,

.〔BE的长为工；

2

②当M5'=!MN时，如图:

3

:.MB=2,

设BE=y,

同①可得丫=乎，

.〔BE的长为05,

5

综上所述，3E的长为逑或地.

25

故选：D.

【点评】本题考查直角三角形的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，用勾股定理列方程解决问题.

2.（2021•绥化）已知在RtAACB中，ZC=90°.ZABC=15°,AB=5,点E为边AC上的动点，点尸为

边43上的动点，则线段FE+EB的最小值是（）

A.—B.-C.75D.&

22

【答案】B

【考点】轴对称-最短路线问题；解直角三角形

【专题】几何变换；推理能力

【分析】作尸关于AC的对称点F',延长AT、BC交于点B',当3、E、尸共线且与A3'垂直时，即求

8。的长即可.

【解答】解：作尸关于AC的对称点F,延长AF、8C交于点B',

ZBAB1=30°,EF=EF',

.-.FE+EB=BE+EF',

.,.当B、E、F共线且与AB'垂直时，BE+EF'长度最小,即求处的长，

即作B£>_LA〃于。，

故选：B.

【点评】本题主要考查轴对称的知识，将8E+£F转化为求线段3。是解题的关键.

3.（2021•陕西）下列图形中，是轴对称图形的是（）

【答案】B

【考点】轴对称图形

【专题】平移、旋转与对称；几何直观

【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.

【解答】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

4.（2021•江西）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆

放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）

下

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【考点】七巧板；利用轴对称设计图案

【专题】平移、旋转与对称；几何直观

【分析】能拼接为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断.

故选：B.

【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型.

5.（2021•丹东）如图，在矩形A38中，连接3£＞,将ABC£＞沿对角线比）折叠得到,BE交AD于

点O,仍恰好平分若AB=2后,则点O到的距离为（）

a

A.73B.2C.-73D.3

2

【答案】B

【考点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称;

运算能力；推理能力

【分析】如图，作O尸于点尸，则OF的长为点O到的距离，由矩形的性质可得NA=NABC=90。，

由折叠的性质可得NE8D=NC8D,由角平分线定义可得NA3O=NE8O,即可得HlNABO=30。，根据角

平分线的性质可得。4=0-，利用Z4BO的正切值求出。4的值即可得到答案.

【解答】解：如图，作“处于点F,则O尸的长为点。到处的距离.

•四边形ABCD为矩形，

:.ZA=ZABC=90°,

将ABCD沿对角线比＞折叠得到ABDE,

;.ZEBD=NCBD,

♦;BE平分ZABD,

ZABO=NEBD,OA=OF,

ZEBD=ZCBD=ZABO,

:.ZABO^30°,

AB=25

，OF=OA=48口1130。=2员J=2,

3

故选：B.

A

BC

【点评】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，

熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

二、填空题（共5小题）

6.（2021•重庆）如图，A4BC中，点。为边的中点，连接AD,将A4£>C沿直线4）翻折至AABC所在

平面内，得A4DC,连接CC,分别与边回交于点E,与AD交于点O.若AE=BE,BC'=2,则AD的

长为3.

【考点】翻折变换（折叠问题）

【专题】图形的全等；应用意识；平移、旋转与对称：三角形；推理能力

【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到8的长，然后根据全等三角形的判定和性质可以得到

AO的长，从而可以求得45的长.

【解答】解：由题意可得，

ADCA=^DC'A,OC=OC,NCOD=NCOD=90。，

.•.点。为cc的中点，

•.•点。为3C的中点，

.♦.OD是MCC的中位线，

:.OD=-BC',OD//BC.

2

/.ZCOD=ZECB=90°,

•;AE=BE,BC=2,

.-.OD=1,

在△EC8和AEQ4中，

'NEC'B=NEOA

•NC'EB=N0E4,

BE=AE

△EC'B=AEOA(AAS),

:.BC=AO,

"0=2,

:.AD=AO+OD=2+1=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查翻折变换、三角形的中位线、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出和AO

的长，利用数形结合的思想解答.

7.(2021•宜昌)如图，在平面直角坐标系中，将点4-1,2)向右平移2个单位长度得到点3,则点5关于x

轴的对称点C的坐标是

【分析】直接利用平移的性质得出8点坐标，再利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互

为相反数，即可得出答案.

【解答】解：；将点4-1,2)向右平移2个单位长度得到点B,

，8(1,2),

则点8关于x轴的对称点C的坐标是(1,-2).

故答案为:(1,-2).

【点评】此题主要考查了点的平移以及关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键.

8.(2021•聊城)如图，在直角坐标系中，矩形。4BC的顶点O在坐标原点，顶点A,C分别在x轴，y轴

上，B,。两点坐标分别为8(T,6),0(0,4),线段瓦1在边Q4上移动，保持EF=3,当四边形瓦)防的

周长最小时，点E的坐标为

【考点】坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；矩形的性质

【专题】推理能力；平移、旋转与对称；一次函数及其应用；矩形菱形正方形

【分析】在8C上截取8"=3,可证四边形8”E厂是平行四边形，可得BF=EH,由对称性可得=

则四边形双湖的周长=即+印+应)+所，由砂和是定值，则当硝+DE有最小值时，四边形

友死产的周长有最小值，即当点E,点，，点。'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求MD'解

析式，即可求解.

【解答】解：在BC上截取5〃=3,作点。关于x轴的对称点D,连接交AO于点E,

四边形5g■是平行四边形,

；.BF=EH,

•.•点。与点3'关于x轴对称，

.•.DE=OE,点。'坐标为(0,-4),

四边形BDEF的周长=EF+8尸+BD+DE,

四边形8£)£F的周长=m+ED+8D+,

•.•斯和是定值，

当N+DE有最小值时，四边形助D£F的周长有最小值,

:.当点E,点H,点。'共线时，EH+DE有最小值，

点B(T,6),

.,.点//(—1,6)，

设直线D'H的解析式为y=kx+b>

n,[6=-k+b

则，4'

[b=-4

k=70

解得:

b=-4

：.直线OH的解析式为y=-10x-4,

.,.当y=0时，x=——，

5

2

.•.点E(-丁0),

2

故答案为：(-—,0).

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等

知识，确定点后的位置是解题的关键.

9.(2021•海南)如图，在矩形ABCZ)中，AB=6,A0=8,将此矩形折叠，使点。与点A重合，点。落

在点。处，折痕为所，则的长为6，的长为.

5

【考点】矩形的性质；翻折变换(折叠问题)

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力

【分析】根据折叠的性质即可求得47=8=6；连接AC,根据勾股定理求得AC=10,证得

lyAF(AAS),DF=BE,根据勾股定理列出关于线段BE的方程，解方程求得3E的长，即可求得空=工，

AE25

然后通过证得空=工，根据相似三角形的性质即可求得。。.

AE25

【解答】解：•.•四边形是矩形，

,\CD=AB=6,

•,AD=CD,

/.AZy=6;

连接AC,

・・・A6=6,BC=AD=8,ZABC=90°,

AC=y/AB2+BC2=7624-82=10,

­.•ZBAF=ZZ7AE=90°,

:.ZBAE=ZDAFf

在ABAE1和中

ZBAE=ZDfAF

<NB=ZADT=90°,

AB=AD,

:.^BAE=△LyAF(AAS),

:.DF=BE,ZAEB=ZAFD,

:.ZAEC=ZDFD,

由题意知：AE=EC；

设B£=x,则AE=EC=8—x,

由勾股定理得：

(8-x)2=62+x2,

解得：X」，

4

7725

:.BE=~,AE=8——=——，

444

BE1

一'AE~251

.DfF_7

…TAE-25,

­.­ZAJ7F=ZZ7AF=90°,

；,DF/IAE,

:DF//EC,

D'F7

..-----=—,

AE25

.DP1D(F7

^\C~^\E~25f

714

；.DD'=—xlO=—

故答案为6,

【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似

三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题.

10.（2021•鄂尔多斯）如图，已知正方形MCD的边长为6,点尸是正方形内一点，连接CF,DF,且

Z4D尸=NZQ,点E是4）边上一动点，连接£B,EF,则EB+所长度的最小值为_39-3

【答案】3V13-3.

【考点】正方形的性质；轴对称-最短路线问题

【专题】矩形菱形正方形；应用意识

【分析】根据正方形的性质得到NADC=90。，推出NW「C=90。，得到点尸在以ZX：为直径的半圆上移动,

如图，设。C的中点为O,作正方形关于直线45对称的正方形AB'C'D,则点3的对应点是8',连

接3'。交4）于E,交OO于尸，则线段8N的长即为£8+£尸的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：

•.•四边形A8CD是正方形，

.■.ZADC=90°,

.■.ZADF+ZFDC=90°,

•;ZADF=NFCD,

：.ZFDC+ZFDC=90°,

.-.Z£）FC=90°,

.•.点尸在以DC为直径的半圆上移动，

如图，设DC的中点为O,作正方形ABCD关于直线4）对称的正方形AB'C'。，则点B的对应点是8’,

连接交AD于E,交半圆O于F,则线段夕厂的长即为砥+所的长度最小值，OF=3,

ZC'=90°,ec=C'D=CD=6,

:.OC'=9,

B'O=^B'C'2+OC'2=V62+92=3而，

：.EP=3yf\3-3,

:.FD+FE的长度最小值为3g-3,

故答案为：3瓦-3.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用.凡是涉及最短距离的

问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

三、解答题（共6小题）

11.（2021•云南）如图，四边形AfiCZ）是矩形，E、P分别是线段AD、BC上的点，点O是所与处的

交点.若将AfiEO沿直线折叠，则点E与点尸重合.

(1)求证：四边形阻加是菱形；

(2)若即=2隹，ABAD=3』,求EFQ的值.

【答案】(1)详见解答过程；

(2)EF-BD=46.

【考点】翻折变换(折叠问题)；菱形的判定与性质；矩形的性质

【专题】矩形菱形正方形；推理能力

【分析】(1)证明=得到O/=OE即可得出结论.

(2)由ED=2M，ABAD=3y/3,可得出菱形3EDF的面积，进而可得出防•比)的值.

【解答】解：(1)证明：将沿3,。折叠，使E,F重合，

:.OB=OD,EFA.BD,

•.•四边形ABC。是矩形，

/.ZC=90°,AD//BC,

:.ZODE=ZOBF,

在AOBE和△8E中，

ZOBF=NODE

<OB=OD,

ZBOF=ZDOE

:.^OBF=AODE(ASA),

:.OE=OF,

•;OB=OD,

：.四边形9DE是平行四边形，

.EFYBD,

四边形8ADE是菱形.

(2)如图，ABAD=3>/3,

百,

\ED=2AE,

:.ED=-AD

3f

…Sg［）E*SgBD=2,3，

SmDE=，

.-.菱形BEDF的面积=gEF•80=2sAM=20，

：.EF-BD=A6

【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性

质是解题的关键.

12.（2021•深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位.

（1）过直线机作四边形ABCD的对称图形；

（2）求四边形ABC。的面积.

【答案】（1）见解答过程;

（2）8.

【考点】作图-轴对称变换

【专题】平移、旋转与对称；作图题；几何直观

【分析】（1）依据轴对称的性质得出四边形A8CD各顶点的对称点，再顺次连接各顶点即可:

（2）依据四边形ABCD的面积=5凶即+548c。进行计算，即可得到四边形ABCZ）的面积.

【解答】解：（1）如图所示，四边形AB'CD即为所求;

m

【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是利用轴对称的性质得到对称点的位置.

13.（2021•青海）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要

作60。，30。，15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片ABCD,使与3c重合，得到折痕£尸，把纸片展开（如图1）.

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在所上，并使折痕经过点3,得到折痕8M,同时得到线段（如

图2）.

猜想论证:

（1）若延长交3c于点P,如图3所示,试判定ABMP的形状，并证明你的结论.

拓展探究:

（2）在图3中，若=BC=b,当a,人满足什么关系时，才能在矩形纸片A8CD中剪出符合（1）

中结论的三角形纸片BMP?

【答案】（1）ABMP是等边三角形,理由见解析过程;

（2）b..-.-----a.

3

【考点】剪纸问题；翻折变换（折叠问题）

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力

【分析】（1）由折叠的性质可得EFA.AB,AB=BN,ZABM=ZNBM,ZBAM=ZBNM=骄，

可证AABN是等边三角形，可求ZABM=ZNBM=3U="BN,可得NBMN=ZBPM=60。,可得结论;

（2）由锐角三角函数可求BP=BM=2®a,由题意可得8c..8P,即可求解.

3

【解答】解：（1）AftV沪是等边三角形，

理由如下：如图3,连接4V,

图3

由折叠的性质可得AE=BE,EFLAB,AB=BN,ZABM=ZNBM,ZBAM=ZBNM=90°,

：.AN=BN,

:.AN=BN=AB,

/SABN是等边三角形，

.♦.ZABN=60。，

ZABM=ZNBM=30°=ZPBN,

/.ZBMN=ZBPM=60°，

;.MMP是等边三角形;

（2）-.AB=a,ZABM=30°,

.,AB

/.BnM=---------=------a,

cos3003

•.•MMP是等边三角形,

：.BP=BM=—a,

3

•.•在矩形纸片/WCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP,

..2小

..b...-----CL.

3

【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出

ZABM=ZFBM=30°=NP8F是解题的关键.

14.（2021•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，AABC的顶点和线段DE的端

点均在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中将AABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到&VWP（点A的对应点

是点用，点8的对应点是点N,点C的对应点是点P）,请画出AMVP;

（2）在方格纸中画出以。E为斜边的等腰直角三角形DEF（点尸在小正方形的顶点上）.连接fP,请直

接写出线段尸尸的长.

(2)FP=45.

【考点】勾股定理；作图-平移变换；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形

【专题】作图题：几何直观

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、3、C的对应点即可；

（2）先把DE绕E点逆时针旋转90。得到EQ,则tsDEQ为等腰直角三角形，然后取。。的中点尸，则ADEF

满足条件，最后利用勾股定理计算PF.

【解答】解：（1）如图，为所作；

（2）如图，ADEF为所作;

FP=jF+2'=6.

【点评】本题考查了作图-平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方

向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.也考查了等腰直角三角形的性质.

15.（2021•广东）如图，边长为1的正方形舫8中，点E为4）的中点.连接BE,将AABE沿BE折叠

得到AF3E,BF交AC于点G,求CG的长.

【答案】

7

【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）

【专题】矩形菱形正方形；推理能力

【分析】延长所交8于H,连接&7.证明推出空=里=J.,推出。〃=_L,CH=',

ABEA244

由C”//AB,推出空=里=3,可得结论.

GAAB4

【解答】解：延长即交CO于〃，连接由.

・••四边形ABCO是正方形，

:.AB//CD,ZD=ZDAB=90°，AD=CD=AB=1,

/.AC=yjAD2+CD2=V12+12=72,

由翻折的性质可知，AE=EF,/EAB=/EFB=90°,ZAEB=/FEB,

・・•点七是4）的中点，

;.AE=DE=EF,

•・・ZD=NEFH=90。,

在RtAEHD和RtAEHF中，

[EH=EH

[ED=EF'

/.RtAEHD=RtAEHF（HL）,

:.ZDEH=ZFEH,

:.ZHEB=90°,

・・•NDEF+ZAEF=180。,

・•.2ZDEH+2ZAEB=180°,

../DEH+ZAEB=90。，

ZAEB+ZABE=90°,

:.ZDEH=ZABE,

EDDH1

..--------——，

ABEA2

13

:,DH=-,CH=—，

44

•;CH//AB,

CGCH3

二.---=---=—，

GAAB4

.”_330

77

【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是求出CH,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

16.（2021•大庆）如图，在平行四边形ABC。中，AB=3,点E为线段他的三等分点（靠近点A）,点F

为线段Q的三等分点（靠近点C）,且CELA8.将ABCE沿CE对折，8c边与AD边交于点G,且

DC=DG.

（1）证明：四边形板产为矩形;

（2）求四边形AECG的面积.

【考点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质：翻折变换（折叠问题）

【专题】矩形菱形正方形；几何直观

【分析】（1）由已知可得,CF=-CD,能得到AEUCF,再由CE_LA8,即可证

33

明四边形A£CF为矩形；

（2）由折叠可知？E=5E=2,求得A9=l,先证明NB'=NB'G4,能得到AE=AG=1,再由AB'//C£>,

得到四=任即一些一=」，得到3'G=1,能得到A4G?是等边三角形，所求四边形A£CG的面积等于

CGDG4-B'G3

直角三角形於C与等边三角形AG8'的和.

【解答】（1）证明：•.•/WCD是平行四边形，

:.AB//CD,AB=CD,

•.•点E为线段AB的三等分点（靠近点A）,

:.AE=-AB,

3

•.•点产为线段8的三等分点（靠近点C）,

.-.CF=-CD,

3

:.AE=CF,

又,：AEiICF,

：.四边形AECF为平行四边形，

•.CEA.AB,

四边形AECF为矩形；

（2）-.-AB=3,

:.AE=CF=l,BE=2,

将ABCE沿CE对折得到AECF,

:.BE=BE=2,

-.-DC=DG=3,

:.ZDGC=ZDCG,

•.•BB7/CD,

..ZDCG=N3',

ZB1=ZB'GA,

/.AB'=AG=\,

:.DA=BC=B'C=4,

.AB'//CD,

,B'G_AG

~CG~^G'

,B'G1

"4-B'G^3，

BG=1,

是等边三角形，

在RtABCE中，BC=4,BE=2,

r.EC=26,

・<c

,,»四边形AECC=S_AEB'C_J_gxc/xr/yAj—5Ix1、.x邪J#4

【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定；利用平行线的性质，确定A4GU是等边三角形是解本

题的关键.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵坐标有关，到y

轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符

号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题

的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.

2.七巧板

（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块

中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形.

（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体

的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号.

（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格.②再从左上角到右下角

画一条线.③在上面的中间连一条线到右面的中间.④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可

以停了.⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可

停.⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了.

3.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

4.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，VC

在/A08的平分线上，CDLOA,CE±OB：.CD=CE

5.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是mb,斜边长为c,那么次+必=°2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式。2+必=,2的变形有：a=J2卜2,b=j2/及,=\//=2.

vc-bvc-ava+b

(4)由于/+廿=°2>/,所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

6.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长mb,c满足/+必=J,那么这个三角形就是直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的

和等于最大边的平方才能做出判断.

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来

解决问题.

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和

与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

7.等腰直角三角形

(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所

有性质.即：两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边

上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂直

于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径/?=扬1,所以r：R=l：V2+1.

8.平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

9.菱形的判定与性质

（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形

的形状始终是平行四边形.

（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的

中点四边形定为菱形.）―（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特

殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的

判定方法.

（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形.

10.矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

中心是两条对角线的交点.

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

11.矩形的判定与性质

（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研

究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有.

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.

（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△0A8、△OBC都是等腰三角形；②/。45=/。区4,NOCB=

NOBC；③点。到三个顶点的距离都相等.

12.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正