2021年中考数学一轮复习精讲精练22 锐角三角函数学案

2021年中考数学一轮专题复习

学案22锐角三角函数

中考命朝聪明

考点课标要求考查角度

通过实例认识锐角三角函数，知道30。45。,

常以选择题、填空题的形式考查锐

锐角三角60。角的三角函数值；会使用计算器由已知

1角三角函数的定义、特殊角的三角

函数锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值

函数值的计算等.

求它对应的锐角.

常以选择题、填空题、解答题的形

①会利用锐角三角函数解直角三角形；

解直角三式考查运用三角函数解决与直角三

2②能运用三角函数解决与直角三角形有关

角形角形有关的实际问题，以应用题为

的简单实际问题.

主.

知识点h就第三角商政

1.锐角三角函数的定义:

在RtZvWC中，ZC=90°,A8=c,BC=a,A(J=b

乙4的邻边b

余弦:cosA=

斜边

NA的对边_a

余切:

NA的邻边一小

2.几个重要公式:

设a是一个锐角，则sina=cos(90°—a),cosa=sin(90°—a),sin2a+cos2a=1.

3.特殊角的三角函数值：

asinacosatana

j_G6

30°

2VV

近县

45°1

22

J_

60°G

2

4.锐角三角函数值的变化规律：

①当0。＜6（＜90。时，sina（tana）随着角度的增大（减小）而增大（减小）.

②当0。＜01＜90。时，cosa随着角度的增大（减小）而减小（增大）.

鸭型肖题

X__________________________/

【例1】（2020•包头20/26）如图，在矩形ABCD中，是对角线，AE1BD,垂足为E,连接CE.若

/月。8=30°,则tanNOEC的值为

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】过点C作CFJ_BO于点尺设CD=2,易证△ABEg/XCOF（AAS）,从而可求出AE=C尸

=6,BE=FD=1,然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

【解答】解：如图，过点C作CFLB。于点尺设CO=2,

在△ABE与△COF中,

4AEB=ZCFD

ZABE=ZCDF,

AB=CD

AAABE^/^CDF(AAS),

：.AE=CFfBE=FD,

■:AE上BD,

：.ZADB=^BAE=30°,

:,AE=CF=6BE=FD=L

♦・•NBAE=NADB=30°,

.\BD=2AB=4f

A£F=4-2X1=2,

AtanZDEC=—=—,

EF2

故答案为：

【点评】本题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30。角直角三角形的性

质是解题的关键.

【例2】(2020•天津2/25)2sin45。的值等于()

A.1B.&C.百D.2

【考点】特殊角的三角函数值

【分析】根据sin45。=自解答即可.

【解答】解：2sin45°=2x型=应.

2

故选：B.

【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,要熟练掌握.

【例3】(2020•北京17/28)计算：(g)+718+1-21-6sin45°.

【考点】实数的运算；负整数指数幕；特殊角的三角函数值.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用负整数指数塞的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案.

【解答】解：原式=3+3夜+2-6x正

2

=3+3夜+2-3收

=5.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

知识点2：解直角三角形

知疚京杭理

1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程,叫做解直角三角形.

2.解直角三角形的常用关系：

在RtZvWC中，ZC=90°,A8=c,BC=a,AC=b,则:

(1)二边关系：a"-\-b"-c".

(2)两锐角关系：NA+NB=90。.

(3)边与角关系：sinA=cosB=—,cosA=sinB=—>tanA=—.

ccb

(4)sin2A+cos2A=l.

3.解直角三角形的应用常用知识：

（1）仰角和俯角：

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.

（2）坡度和坡角

坡度（坡比）：坡面的铅直高度/?与水平宽度/的比白，叫做坡度或坡比，一般用i表示.

/

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,i=tana.

坡度越大，a角越大，坡面越陡.

（3）方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角叫做方向角.

北北偏东30度

典更四叁

4

【例4】（2020•安徽8/23）如图，RtAABC中，Z090。，点。在AC上，NDBC=N4.若A04,cosA=—,

5

A-Ic7D.4

【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形

【分析】在△ABC中，由三角函数求得A8,再由勾股定理求得8C,最后在△8C7）中由三角函数求

得BD.

4

【解答】解：,..NC=90。，AC=4,cosA=-,

5

AB=-^-=5,

cosA

：.BC=>]AB2-AC2=3，

,：ZDBC=ZA.

BC4

/.cosZ.DBC=cosZA=——=-

BD5

BD=3x2=—

44

故选：C.

【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形.

【例5】（2020•吉林20/26）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部8相距35m的C处，用

高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角/ED4为36°.求塔的高度（结果精确到1m）.

（参考数据：sin360=0.59,cos36°=0.81,tan36°=0.73）

Dr^L6°

CB

【考点】解直角三角形的应用一仰角俯角问题

【分析】设A8与。£交于点£在RtZXAO尸中，利用三角函数定义求出AF,即可得出答案.

【解答】解：设A5与CE交于点F,如图所示:

由题意得：DFLAB,8E=CO=1.5cm,OF=8C=35cm,

4/7

在RlZ\4O尸中，ZAFD=90°,tanZEDA=------

DF

：.AF=DFXtan36。石35X0.73=25.55(m),

：.AB=AF+BF=25.55+1.5^27(m)；

答：塔AB的高度约27m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键.

[例6]（2020•重庆A卷9/26）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一

个山坡，山坡CZ）的坡度（或坡比）z=l：0.75,山坡坡底C点到坡顶。点的距离C£）=45m,在坡顶

。点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28。，居民楼A8与山坡CO的剖面在同一平面内，则居民楼AB

的高度约为（）（参考数据：sin28°Q0.47,cos28°七0.88,tan28°、0.53）

A.76.9mB.82.1mC.94.8mD.112.6m

【考点】解直角三角形的应用一仰角俯角问题；解直角三角形的应用一坡度坡角问题

【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、

DF、AF,进而求出AB.

【解答】解：如图，由题意得，乙4。尸=28。，CD=45,8c=60,

在RtADEC中,

♦.•山坡CD的坡度i=l：0.75,

•DE1-4

''~EC~OJ5~3,

设£>E=4x,则EC=3x,由勾股定理可得CQ=5X,

又C£>=45,即5x=45,

..x=9,

：.EC=3x=27,DE=4x=36=FB,

：.BE=BC+EC=60+27=87=DF,

在RtAADF中，

4F=tan28°X〃尸=0.53x87-46.11,

：.AB=AF+FB^46.11+36^82.1,

故选：B.

【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前

提.

【例7】（2020•兴安盟•呼伦贝尔20/26）A,B两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100km.某时

发生的地震对地面上以点C为圆心，30km为半径的圆形区域内的建筑物有影响.分别从A,B两地

处测得点C的方位角如图所示，tana=1.776,tan夕=1.224.高速铁路是否会受到地震的影响？请通过

计算说明理由.

【考点】解直角三角形的应用一方向角问题

【分析】首先过C作C£）J_48于D,由题意得AD=CD•lanct,BD=CD•tan^,继而可得

CD•tana+CD•ta叨=A8,则可求得CO的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区.

【解答】解：如图，过C作CCAB于。，

AZACD^a,NBCD=B，

tanZACD=tana=-----,tan/BCD=tanZ?=,

CDCD

：.AD=CD•tana,BD=CD•lan"

由AD+BD=AB,得CD•tana+CD•tan/?=AB=100,

iAB100”

贝ni！ICD=----------------=—>30,

tana+tan夕3

・,•高速公路不会受到地震影响.

【点评】此题考查了三角函数的实际应用，此题难度适中.注意能借助于方向角构造直角三角形，并

利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键.

巩固别练

1.（2020•鄂尔多斯12/24）计算：扃+《）-3tan60°+（k&）°=.

2.（2020•青海21/28）计算：（g）+11-Gtan45°|+（乃-3.14）°-场.

3.（2020•兴安盟•呼伦贝尔18/26）计算：（一1+^8+2cos60°-（^-l）°.

4.（2020•赤峰11/26）如图，OA经过平面直角坐标系的原点O,交x轴于点B（-4,0）,交y轴

于点C（0,3）,点。为第二象限内圆上一点.则的正弦值是（）

5.（2020•包头24/26）如图，A8是。。的直径，半径OCLA8,垂足为O,直线/为。。的切线，A

是切点，。是04上一点，CD的延长线交直线I于点E,F是OB上一点，CF的延长线交。O于点G,

连接AC,AG,已知。。的半径为3,CE=后，5BF-5AD=4.

（/）求AE的长；

（2）求cosZCAG的值及CG的长.

E

6.(2020•广东22/25)如图I,在四边形ABC。中，AD〃BC,ZDAB=90°,4?是。O的直径，CO

平分/BCD.

(1)求证：直线CO与。O相切；

(2)如图2,记(1)中的切点为£,尸为优弧汁£上一点，45=1,BC=2.求tanNAPE的值.

7.(2020•上海21/25)如图，在直角梯形A8C。中,AB〃QC,ZDAB=90°,AB=8,CD=5,BC=3卮

(1)求梯形ABC。的面积；

(2)联结求NO8c的正切值.

8.(2020•北京23/28)如图，AB为。。的直径，C为54延长线上一点，C。是。。的切线，。为切

点，0FL4。于点E,交8于点F.

(1)求证：ZADC^ZAOF；

(2)若sinC=1,80=8,求EF的长.

3

9.(2020•呼和浩特19/24)如图，一艘船由A港沿北偏东65。方向航行38k机到8港，然后再沿北偏

西42。方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20。方向.

(1)直接写出NC的度数；

(2)求A、C两港之间的距离.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)

10.(2020•通辽19/26)从A处看一栋楼顶部的仰角为a,看这栋楼底部的俯角为夕，A处与楼的水

平距离AD为90m.若tana=0.27,tan£=2.73,求这栋楼高.

B

11.(2020•包头22/26)如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他

的北偏东45°方向有一电视塔尸.他由A地向正北方向骑行了3&版到达B地，发现电视塔P在

他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了到达C地.

(1)求A地与电视塔尸的距离；

(2)求C地与电视塔尸的距离.

12.(2020•鄂尔多斯20/24)图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形.为使身

高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O,花洒的最高点B与人的头顶

的铅垂距离为15cm,已知龙头手柄0A长为lOcw,花洒直径AB是8cm,龙头手柄与墙面的较小夹

角NCOA=26°,NOAB=146°,则安装时，旋转头的固定点。与地面的距离应为多少？（计算结

果精确到1cm,参考数据：sin精。-0.44,cos26°«=0.90,tan26°20.49）

13.（2020•赤峰16/26）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30。，测得底部8

的俯角是60°,此时无人机与该建筑物的水平距离4。是9米，那么该建筑物的高度BC为米

（结果保留根号）.

□

□

□

□

3

14.（2020•赤峰23/26）如图，是。。的直径，AC是。。的一条弦，点尸是。0上一点，且PA=

PC,PD//AC,与BA的延长线交于点Q.

（1）求证：PO是。。的切线；

（2）若tanNPAC=£,AC=12,求直径A8的长.

3

15.（2020•海南20/22）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工

通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图，隧道钻在水平直线上，

且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点

A的俯角为30。，继续飞行1500米到达点。处，测得点B的俯角为45。.

（1）填空：44=度，ZB=度；

（2）求隧道的长度（结果精确到1米）.

（参考数据：夜a1.414,6a1.732）

16.（2020•山西21/23）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人

身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过.图②是两圆弧翼展

开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，8c和所均垂直于地面，

扇形的圆心角NABC=NOE尸=28。，半径BA=ED=60CTM,点A与点。在同一水平线上，且它们之

间的距离为10。”.

（1）求闸机通道的宽度，即8C与防之间的距离（参考数据：sin28°»0.47,cos280®0.88,

tan28°»0.53）；

（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的

团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过

的人数.

图①

17.（2020•青海24/28）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所

示.小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45。，向前走60

米到达B点测得P点的仰角是60。，测得发射塔底部。点的仰角是30。.请你帮小军计算出信号发射

塔尸。的高度.（结果精确到01米，有“1.732）

18.（2020•天津22/25）如图，A,B两点被池塘隔开，在4?外选一点C,连接AC,BC.测得8c=22bn,

NACB=45。，ZABC=58°.根据测得的数据，求钻的长（结果取整数）.

参考数据：sin58°»0.85,cos58O»0.53,tan58°»1.60.

19.（2020•陕西20/25）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对

面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角N1的度数，由于楼下

植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C

处测得大厦底部M的俯角N2的度数，竟然发现N1与N2恰好相等.已知A,B,C三点共线，

CAIAM,NM1AM,AB=3\m,BC=\Sm,试求商业大厦的高MN.

20.（2020•江西20/23）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板

上，图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB=120mm,支撑板长C。-80mm,底座长DE-90mm.托

板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40如〃，托板至可绕点C转动，支撑板CO可绕点。转

动.（结果保留小数点后一位）

（1）若NOCB=80。，Z.CDE=60°,求点A到直线的距离；

（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把筋绕点C逆时针旋转10。后，再将C。绕点。顺时针旋

转，使点3落在直线。E上即可，求C。旋转的角度.（参考数据：sin40°»0.643,cos40°»0.766,

tan400»0.839,sin26.6°®0.448,cos26.6°®0.894,tan26.6°«0.500,1.732）

21.（2020•福建21/25）如图，AB与。。相切于点3,A。交。。于点C,A。的延长线交。。于点。,

E是BCO上不与B,。重合的点，sinA=-.

2

（1）求N3ED的大小;

（2）若。0的半径为3,点尸在A5的延长线上，且8尸=36,求证：£）F与。0相切.

22.（2020•重庆B卷9/26）如图，垂直于水平面的5G信号塔建在垂直于水平面的悬崖边6点处,

某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到。点（点A,B,C在同一直线上），再沿斜坡。E

方向前行78米到E点（点A,B,C,D,E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的

仰角为43。，悬崖BC的高为144.5米，斜坡。E的坡度（或坡比）i=1:2.4,则信号塔的高度约

为（）

（参考数据：sin43°=0.68,cos43°«0.73,tan43°«0.93）

A.23米B.24米C.24.5米D.25米

23.（2020•新疆兵团20/23）如图，为测量建筑物C。的高度，在A点测得建筑物顶部。点的仰角为22。,

再向建筑物C。前进30米到达8点，测得建筑物顶部。点的仰角为58。（4,B,C三点在一条直线

上）,求建筑物C。的高度.（结果保留整数.参考数据：sin22。a0.37,cos22。“0.93,tan22°«0.40,

sin58°»0.85,cos58°»0.53,tan58°»1.60）

D

24.（2020•新疆兵团22/23）如图，在。。中，AB为。。的直径，C为上一点，P是8c的中点,

过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点。.

（1）求证：0P是。。的切线；

（2）若AC=5,sinZAPC=—,求AP的长.

13

D

25.（2020•河南18/23）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界

文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面•条水平

步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22。，然后沿MP方向前进16团到

达点N处，测得点A的仰角为45。.测角仪的高度为1.6机.

（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到01，〃.参考数据：sin22°«0.37,cos22°»0.93,

tan22°x0.40,夜=1.41）；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6机.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差

的合理化建议.

26.（2020•安徽18/23）如图，山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=15米，在山脚下点3处

测得塔底C的仰角NCBO=36.9。，塔顶A的仰角NA8O=42.0。，求山高CO（点4,C,。在同一

条竖直线上）.

（参考数据：tan36.9。a0.75,sin36.9。=0.60,tan42.0°=0.90.）

巩固训绘解析

1.（2020•鄂尔多斯12/24）计算：技+（：）-3tan60°+0r-&）°=10.

【考点】实数的运算；零指数塞；负整数指数基；特殊角的三角函数值.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用零指数基的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幕的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=36+9-36+1

=10.

故答案为：10.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

2.(2020•青海21/28)计算：(g)+|l-Gtan45O|+(乃-3.14)°-历.

【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数基；实数的运算：零指数基

【分析】利用负整数指数累，零指数累，特殊角的三角函数，开立方的运算法则运算即可.

【解答】解：原式=3+|1-力|+1-3

=3+73-1+1-3

=6.

【点评】本题主要考查了负整数指数幕，零指数基，特殊角的三角函数，开立方的运算法则，熟练掌

握运算法则是解答此题的关键.

3.(2020•兴安盟•呼伦贝尔18/26)计算：卜+2cos60o-(^-l)0.

【考点】特殊角的三角函数值：负整数指数幕；实数的运算；零指数基

【分析】先化简各项，再作加减法，即可计算.

【解答】解：原式=—2+2+2x)—1

2

=0,

故答案为：0.

【点评】此题考查实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，关键是掌握运算法则和运算顺序.

4.(2020•赤峰11/26)如图，经过平面直角坐标系的原点。，交x轴于点8(-4,0),交y轴

于点C(0,3),点。为第二象限内圆上一点.则NCDO的正弦值是()

【考点】坐标与图形性质：圆周角定理；解直角三角形.

【答案】A

【分析】连接BC,如图，先利用勾股定理计算出BC=5,再根据正弦的定义得到sinNOBC=3，再

5

根据圆周角定理得到NOOC=NOBC,从而得到sinNCOO的值.

【解答】解：连接BC,如图，

■:B(-4,0),C(0,3),

：.OB=4,OC=3,

J32+42=5,

OC3

：.sinZOBC=-=-

BC59

NODC=NOBC,

3

・・・sinZCDO=sinNOBC=

5

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

5.（2020•包头24/26）如图，A3是。。的直径，半径OCLA9垂足为0,直线，为。。的切线，A

是切点，。是。4上一点，CO的延长线交直线,于点E,尸是。8上一点，C尸的延长线交。。于点

G,连接AC,AG,已知。。的半径为3,CE=N/34,5BF-5AD=4.

(/)求AE的长；

(2)求cosNCAG的值及CG的长.

【考点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)延长CO交。。于7,过点E作EH_LCT于，.首先证明四边形4E/7O是矩形，利用

勾股定理求出CH,。”即可.

(2)利用勾股定理求出C凡利用相似三角形的性质求出尸G,证明NCAG=NCTG,求出cos/CTG

即可解决问题.

【解答】解：(1)延长CO交。。于T,过点E作E//LCT于”.

•••直线/是。。的切线，

：.AE1OD,

'：OC±AB,

.../E4O=N4OH=NEHO=90°,

二四边形AEH。是矩形，

：.EH=OA=3,AE=OH,

•:CH=y/EC2-EH2-J(后)-32=5,

：.AE=OH=CH-CO=5-3=2.

(2)".,AE//OC,

.AE_AD_2

*'OC~DO~3,

'.AD——OA——,

55

"：5BF-5AD=4,

：.BF=2,

：.OF=OB-BF=1,AF=AO+OF=4,CF=^OC2+OF2=>/32+12-V10,

ZFAC=ZFGB,/AFC=ZGFB,

:.丛AFCs^GFB,

.AF_CF

••--------,

FGBF

.4_Vio

••-----，

FG2

••・咫=晅

5

：.CG=FG+CF=^^-,

5

；CT是直径，

；.NCGT=90°,

：.GT=4TC2-CG-=卜，

3汨

./TG_二__Vio

**cos/CTG--------------------------,

TC610

'：ZCAG^ZCTG,

cosZ.CAG=，.

【点评】本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型.

6.（2020•广东22/25）如图1,在四边形ABCO中，AZ）〃BC,ZDAB=90°,4?是。。的直径，CO

平分ZBCD.

(1)求证：直线C。与。O相切;

(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧外E上一点，4)=1,BC=2.求tanNAPE的值.

【考点】解直角三角形；切线的判定与性质；圆周角定理：直角梯形

【分析】(1)证明：作0EJ.CO于E,证△0CEg/\0C8(AAS),得出OE=OB,即可得出结论;

(2)作)，BC于尸，连接8E,则四边形是矩形，得A5=£＞尸，BF=AD=l,则CF=1,

证AD、BC是。的切线，由切线长定理得田=4)=1,EC=BC=2,则CQ=。+EC=3,由

勾股定理得。尸=2右，则08=夜，iiEZA13E=ZHCt,由圆周角定理得=则

ZAPE=ZBCf,由三角函数定义即可得出答案.

【解答】(1)证明：作OE_LCO于E,如图1所示:

则NOEC=90°,

：AD//BC,ZDAB=90°,

ZOBC=1800-NDAB=90°,

NOEC=ZOBC,

CO平分NBC。,

ZOCE=ZOCB,

ZOEC=NOBC

在△OCE和AOCB中，＜NOCE=NOCB,

OC=OC

」.△OCE丝△OCB(AAS),

/.OE=OB,

又OE工CD,

直线co与。。相切；

(2)解：作。尸，BC于尸，连接8E,如图2所示:

图2

则四边形是矩形,

・,.AB=DF,BF=AD=l,

:.CF=BC-BF=2-\=l,

AD//BC,Z.DAB=90°,

.\AD±ABfBCLAB,

：.AD.是。O的切线，

由(1)得：C。是。。的切线，

,,ED=AD=\,EC=BC=2f

:.CD=ED+EC=3,

:.DF=^CDT-CF1=^32-l2=2>/2,

/.AB=DF=2近,

OB—V2,

CO平分ZBCD,

/.COLBE9

Z.BCH+Z.CBH=4CBH+ZABE=90°,

/./ABE=NBCH,

ZAPE=ZABE,

ZAPE=ZBCH,

CR5

tanNAPE=tanZBCH=—=—.

BC2

【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆

周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键.

7.(2020•上海21/25)如图，在直角梯形A8C0中，A5〃OC,NDAB=90°,AB=8,CD=5,BC=3亚.

(1)求梯形ABC。的面积；

(2)联结BD,求NQBC的正切值.

【考点】直角梯形；解直角三角形

【分析】（1）过C作CEJ.AB于E,推出四边形AOCE是矩形，得到4。=CE,AE=CD=5,根据

勾股定理得到CE=4BC2-BE2=6，于是得到梯形ABCD的面积=▲x(5+8)x6=39；

2

(2)过C作于"，根据相似三角形的性质得到空=空，根据勾股定理得到

ADBD

BD=y/AB2+AD2=782+62=10,BH=JBC?-CH?=«3舟-3?=6,于是得到结论.

【解答】解：(1)过C作CEJ-A8于E,

DC

:AB//D3ZDAI3=90°,

ND=90°,

:.ZA=ZD=ZAEC=90°,

四边形AOCE是矩形，

/.AD=CEtAE=CD=5,

BE=AB-AE=3,

BC=3后,

：.CE=\lBC2-BE2=6,

梯形A5CQ的面积=；x(5+8)x6=39；

(2)过C作CH上BD于H,

DC

：CD//AB,

/CDB=/ABD，

ZCHD二NA=90°,

/.△CDH^ADBA,

CHCD

AD~BD

BD=y/AB2+AD2=782+62=10,

CH_5

---=—,

6--10

CH=3,

BH=y/BC2-CH2=V（3A/5）2-32=6,

.,./。8。的正切值="=3=」.

BH62

【点评】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确

的作出辅助线是解题的关键.

8.（2020•北京23/28）如图，4B为。。的直径，C为氏4延长线上一点，CD是。。的切线，。为切

点，0尸_1_4。于点E,交CD于点F.

（1）求证：ZADC=ZAOF；

（2）若sinC=1,80=8,求E尸的长.

3

【考点】勾股定理：垂径定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）连接OD,根据圆周角定理得到/AOB=90°,根据平行线的性质得到NAOF=NB,

根据切线的性质得到NCDO=90°,等量代换即可得到结论；

（2）根据三角形中位线定理得到OE=180=1x8=4,设OO=x,OC=3x,根据相似三角形的性

22

质即可得到结论.

【解答】解：（1）连接O。，

为。。的直径,

AZADB=90a,

：.AD1.BD,

'：OFLAD,

：.OF//BD,

，/AOF=/B,

・・,CQ是。。的切线，。为切点，

：.ZCDO=90Q,

・•・ZCDA+ZADO=NADO+N8OO=90°,

：.ZCDA=ZBDO,

,:OD=OB,

：・/ODB=/B,

：.ZAOF=ZADC；

(2)VOF//BD,AO=OB,

：.AE=DE,

：.OE=-BD=-X8=4,

22

•sinC------------,

OC3

I.设。£)=JGOC=3x,

/.OB=x,

CB=4x,

*：OF〃BD,

:.△COFs/\CBD,

.OCOF

••--=-----，

BCBD

.3xOF

••—=--，

4x8

AOF=6,

：.EF=OF-OE=6-4^2.

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和

性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

9.(2020•呼和浩特19/24)如图，一艘船由A港沿北偏东65。方向航行38h〃到B港，然后再沿北偏

西42。方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20。方向.

(1)直接写出NC的度数；

(2)求A、C两港之间的距离.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)

南

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【分析】（1）根据两宜线平行，内错角相等即可得出答案;

(2)由题意得，ZCAB=65°-20°=45°,NACB=420+20°=,A3=38,过8作8E_LAC于E,

解直角三角形即可得到答案.

【解答】解：（1）如图，由题意得:

NACB=200+42°=62°；

(2)由题意得，ZCAB=65°-20°=45°,NACB=42°+20°=：°,AB=38,

在RtAABE中，NEAB=45°,

.•.△A3E是等腰直角三角形,

A8=38,

AE=BE=~AB=19^2,

2

Rf?

在RtACBE中，ZACB=62°,tanZACB=—

CE

zBE190

,(卜,-----------------------------

tan62°tan62°

19夜

AC=AE+CE=]9y/2+

tan620

C两港之间的距离为（190+0也-）如z.

tan62°

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练

掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

10.（2020•通辽19/26）从A处看一栋楼顶部的仰角为a,看这栋楼底部的俯角为4，A处与楼的水

平距离为90机.若tana=0.27,tan/?=2.73,求这栋楼高.

B

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【分析】在两个直角三角形中，利用边角关系求出如、C。的长，即可求楼高BC.

【解答】解：在RtZVU?。中，BD=tanaAD=0.27x90=24.3（米），

在中，CD=ADtanft=90x2.73=245.7（米），

BC=BD+CD=24.3+245.7=270（米）.

答：这栋楼高8C约为270米.

【点评】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

11.（2020•包头22/26）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由4地出发时，发现他

的北偏东45。方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3亚w”到达5地，发现电视塔尸在

他北偏东75°方向，然后他由8地向北偏东15°方向骑行了6A机到达C地.

（1）求A地与电视塔尸的距离；

（2）求C地与电视塔尸的距离.

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）过8作于点£>,在直角△A8O中利用三角函数求得A。、8。的长，然后在直

角△n?£）中利用三角函数求得BP、PD的长；

（2）过C作CE上BP于点E,利用三角函数求得BE的长，即可得到PE=BE,然后根据线段垂直平

分线的性质定理求得PC=BC=6.

【解答】解：（1）过B作BDA.AP于D.

A

依题意NBA£>=45°,则NAB£>=45°,

；NPBN=75°,

：.NAPB=/PBN-NPAB=30°,

：.PD=cot30°•BD=g,BD=3币,尸8=280=6,

：.AP=AD+PD^3+3y/3t

；.A地与电视塔P的距离为(3+3百)km；

(2)过C作CELBP于点E,

■:NPBN=15°,NCBN=15°,

AZCBE=60°,

：.BE=cos60°•BC=-x6=3,

；PB=6,

：.PE=PB-BE=3,

：.PE=BE,

'：CELPB,

：.PC=BC=6.

，C地与电视塔P的距离6km.

【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形

的知识，利用三角函数的知识求解.

12.（2020•鄂尔多斯20/24）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形.为使身

高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O,花洒的最高点B与人的头顶

的铅垂距离为15cm,已知龙头手柄OA长为10”〃，花洒直径AB是Scm,龙头手柄与墙面的较小夹

角NCQ4=26°,NOA5=146°,则安装时，旋转头的固定点。与地面的距离应为多少？（计算结

果精确到1cm,参考数据:sin26°40.44,cos26°=0.90,tan26°40.49）

【考点】解直角三角形的应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt^AB尸和在Rt^AOE中，根据锐角三角函数求出

OE、BF,而点8到地面的高度为175+15=190〃〃，进而求出OG即可.

【解答】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为过点A作地面GD的平行线，交OC于点E,

交BD于点F,

在RtZXAOE中，ZAOE=26°,OA=10,

则OE=OA.cosNAOE«=dOX0.90=9cvn,

在尸中，NBA尸=146°-90°-26°=30°,A8=8,

则8尸=AB・sin/BOF=8X-=4cm,

2

：.OG=BD-BF-OE=（175+15）-4-9=177的，

答：旋转头的固定点。与地面的距离应为177c〃?.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三

角形是解决问题的关键.

13.（2020•赤峰16/26）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°,测得底部8

的俯角是60°,此时无人机与该建筑物的水平距离4。是9米，那么该建筑物的高度8c为12柩

米（结果保留根号）.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意可得在Rtz^AOC中，/C4D=30°,AD=9,在中，ZBXD=60°,AD

=9,再根据特殊角三角函数即可分别求出CD和BD的长，进而可得该建筑物的高度BC.

【解答】解：根据题意可知:

在RtZ\AZ)C中，NC4£>=30°,AD=9,

：.CD=AD-tan30c,=9X2=3出,