2021年中考数学复习满分突破训练：《圆的综合》（一）

备考2021年中考数学复习满分突破训练:

《圆的综合》(一)

1.如图，/540=90°,48=8,动点P在射线AO上，以PA为半径的半圆P交射线AO

于另一点C,交半圆P于另一点。，BE〃A。交射线尸。于点E,EF_LA。于点

F,连结80,设AP=，〃.

(1)求证：ZBDP=90°.

(2)若根=4,求8E的长.

(3)在点P的整个运动过程中，当AF=3CF时，求出所有符合条件的〃?的值.

2.已知0A是。。的半径，04=1,点尸是0A上一动点，过尸作弦8CL0A,连接AB、

AC.

(1)如图1,若P为04中点，则AC=,ZACB=°；

(2)如图2,若移动点P,使A&C。的延长线交于点。.记△AOC的面积为Si，△B。。

的面积为S2.△4。。的面积为S3,且满足£=维，求率的值.

S2S3AP

图1

3.如图，在。0中，A3是直径，C£>是弦，ABJ_C。于点E,BF//OC,连接8c和CF,

CF交AB于点G.

(1)求证：/OCF=/BCD；

(2)若CD=8,tan/OC尸得，求。。半径的长.

4.如图，。。是△ABC的外接圆，AB为直径，NBAC的平分线交。。于点。，过点。作

DELAC分别交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若4c=8,CE=4,求弧的长.(结果保留it)

5.如图，在△ABC中，NABC=45°,它的外接圆的圆心。在其内部，连结OC,过点A

作AO〃OC,交BC的延长线于点£>.

(1)求证：AO是。。的切线；

(2)若/BAO=105°,的半径为2,求劣弧48的长.

6.如图，A2为O。直径，C是。0上一点，COLAB于点。，弦8与AB交于点F,过

点。作/COE,使,NCDE=NDFE,OE交48的延长线于点E.过点A作。。的切线交

ED的延长线于点G.

(1)求证：GE是。。的切线；

(2)若。4=2,NG=50°,求弧菽的长；

(3)若0尸：OB=l：3,BE=4,求08的长.

7.如图，AB为O。的直径，C为。。上一点，与过C点的直线互相垂直，垂足为D,

AC平分ND4B.

(1)求证：DC为。。的切线.

(2)若4£>=3,DC=M，求O。的半径.

8.如图，。为。0上一点，点C在直径8A的延长线上，NCDA=NCBD.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若/C8D=30。，BC=3,求。。半径.

9.如图，与AABC的AC边相切于点C,与BC边交于点、E,。0过AB上一点。，且

DE//AO,CE是。。的直径，

(1)求证：AB是。0的切线；

(2)若80=4,0C=0E=3,求BE和AC的长.

10.如图，8c是。。的直径，点A在。0上，AD1BC,垂足为O,AB=AE，BE分别交

AD,4c于点尸、G.

(1)证明：FA=FB；

(2)若80=00=2,求标的长度.

参考答案

1.解：(1)如图1,・；PA=PC=PD,

：.ZPDC=ZPCDf

•:CD"BP,

:・/BPA=/PCD、4BPD=/PDC,

：・/BPA=/BPD,

,:BP=BP,

(SAS),

：.ZBDP=ZBAP=90°.

(2)VZBAO=90Q,BE//AO,

：.ZABE=ZBAO=90°,

•：EF±AOf

：.ZEFA=90°,

・・・四边形ABEb是矩形，

BE=AF=xf则P尸=X-4,

VZBDP=90°,

:・NBDE=9C=/PFE,

9

：BE//AOf

：.NBED=NEPF,

。：△BAPWXBDP,

：.BD=BA=EF=Sf

・••△BDE*/\EFP,

:.PE=BE=x,

在RtzXPPE中，p产+FE2=PE2,即(x-4)2+82=/,

解得：x=10,

.♦.BE的长为10.

(3)如图1,当点C在AF的左侧时,

VAF=3CF,则AC=2CR

：.CF=AP=PC=mf

:.PF=2m,PE=BE=AF=3m,

在RtZXPEF中，由尸尸十后尸=尸£2可得（2加）2+82=⑶％）2,

解得：,"=45（负值舍去）；

5

如图2,当点C在AF的右侧时，

ApFC

图2

尸=3Cf,

：.AC=4CF,

：.CF=—AP=—PC=—m,

222

13

PF—m--m=—m,PE—i3E=AF=m+—m=—tn,

2222

二PE2可得（A）2+82=（垓加）2,

在RtAPEF中，由PF2+EF2=w■

解得：机=4&（负值舍去）

综上，，〃的值为挛或4J5.

5

_____________E

W

ApcF0

图1

2.解：（1）为0A的中点,OALBC,

：.AC=0A,

；0C=04,

OC=OA=AC,

：.△40C为等边三角形，

：.AC=lfNACO=60°,

・・・PC_LOA,

AZACB=ZBCO=4-ZAOC=30°,

2

故答案为：1；30.

（2）若。。与圆。相交于点E,连接5E,

:.PB=PC,

：.AB=AC,

VOB=CO,04=04,

A/\ABO^AACOCSSS）,

S^ABO=S^ACO=S\,

S[+82=83,

..SlS2

*s2-s3'

S1_S2

$2S[+52

22

.".S1+S1S2-S2=O,

Sin51

（丁）2+7]=。・

>232

A„ZSS1-1±V5

解得：—=---,

>2乙

.S1V5-1

,*S7=_2-，

.AB垂1T

••--=-----，

BD2

.AD_V5+1

■*BD=2

；CE为直径，

：.ZCBE=90°,

J.AO//BE,

：.f\AODs/\BED,

.AOAD.通+1

"BE'BD―，

'：OE=OC,

：.OP=—BE,

2

.AO逃+1

,"2OP"-2-，

.•图哂+1,

OP°》

•而哂’

.OP_V5

••而"V

3.(1)证明：是直径，ABLCD,

••BC=BD,

:.ZBCD=ZBFC9

^BF//OC

：.ZOCF=ZBFC,

：.ZOCF=ZBCD；

(2)解：9：AB.LCD,

：.CE=—CD=4

2f

•：NOCF=NBCD

BE1

AtanZOCF=tanZBCD=器=3，

CE2

•；CE=4,

:・BE=2,

设OC=OB=x,则OE=x-2,

在RtZiOCE中，由勾股定理得：/=(x-2)2+42,

解得：x=5,

即。0半径的长为5.

4.(1)证明：连接00如图1所示：

,：OA=OD,

：.ZOAD=ZODAf

•「AO平分NEAR

：.ZDAE=ZDAO9

：.ZDAE=ZADOf

：.OD//AE,

*：AELEF,

：.OD上EF,

尸是。。的切线；

(2)解：作。G_LAE于点G,连接8。，如图2所示：

则AG=CG=*AC=4,ZOGE=ZE=ZODE=90Q,

・・・四边形ODEG是矩形，

AOA=OB=OD=CG+CE=4+4=S,NQOG=90°,

：.AB=2OA=\6f

,.・AC=8,CE=4,

：.AE=AC+CE=12f

VZDAE=ZBAD9NAED=NA£>B=90°,

・・・△AOES"B。，

.AEAD0n12AD

ADABAD16

AAD2=192,

在Rtz^ABZ)中，fi£>=VAB2-AD2=V162-192=8>

在Rt^ABZ)中，•:AB=2BD,

：.ZBAD=30°,

AZBOD=60°,

则弧BD的长度为处言总=春K.

loOo

图1

5.(1)证明：连接AO,

・・・NABC=45°,

：.ZAOC=2ZB=90°,

■:OC//AD,

：.ZOAD=90°,

・・・AO是。。的切线；

(2)解：连接。8,

VZBAD=105°,NOAO=90°,

：.ZOAB=\5°,

U

\OB=OA9

：.ZABO=\5Q,

AZAOB=\50°,

6.(1)证明：连接O£>,如图,

VZ1=Z2,

而N2=N3,

・・・N3=N1,

,:OC.LABt

AZ3+ZC=90°,

.*.Z1+ZC=9O°,

而OC=OD,

AZC=Z4,

/.Zl+Z4=90°,即NOQE=90°

:.OD±DEf

・・・GE是。。的切线；

(2)解：TAG为切线，

：.AGLABf

：.ZOAG=90°,

而NOQG=90°,

AZAOD=\SO°-50°=130°,

.力n—的匕_130*兀・213

♦・弧AD的长——访一=§田

(3)解：设0尸=工，则。B=3x,

：.BF=2xf

VZ1=Z2,

:.ED=EF=2x+4,

在RtAODE中,*.*OD^DE1=。5

:.(3x)2+(2x+4)2=(4+3x)2,解得x=2,

7.解：(1)如图，连接OC,

D

♦：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

YA。平分ND48,

：.ZDAC=ZOACf

：.ZOCA=ZDACf

：.AD//OC,

VAD±£>C,

：.OC±DC,

又oc是。。的半径,

・・・OC为。。的切线;

（2）过点。作OEJ_AC于点E,

在RtZXAOC中，AD=3,DC=M，

=更=遮

/.tanZDAC

AD3

：.ZDAC=30°,

・・・AC=2OC=2«,

OEA.AC9

根据垂径定理，得

AE=EC=^AC=y/3,

•・・NE4O=NZMC=30°,

•.@=春

=2,

，。。的半径为2.

8.解：（1）证明：如图，连接0£>,

♦：OD=OB=OA,

：./OBD=/ODB,ZODA=ZOAD,

9

：ZCDA=ZCBDt

：.ZCDA=ZODB.

TAB为OO的直径，

AZADB=ZODB+ZODA=90°,

AZCDA+ZODA=ZODC=90°.

:.OD1CD,

・・・CO是OO的切线；

(2)VZCB£>=30°,/OBD=/ODB,

：.ZAOD=ZOBD+ZODB=60°,

・・・NC=30°.

VZODC=90°.

：.OD=OB=^-OCf

2

・・・OB*BC,

VBC=3,

:.08=1,

・・・o。半径为1.

,:OD=OE,

:.ZOED=ZODE9

9：DE//OA,

：.ZODE=ZAODfZDEO=N40C,

・・.ZAOD=ZAOC9

・・・AC是切线，

・・・N