2021年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合压轴题》培优提升专项训练【含答案】

2021年中考数学一轮复习《与相似三角形相关综合

压轴题》培优提升专项训练

现有两块等腰直角形三角板，如图，把其中一块三角板A'8'C'的一个锐角顶点B'

放在另一块三角板A8C斜边AB的中点处，并使三角板A'B1C绕着点B'旋转.

(D当两块三角板相对位置如图①，即AC与A'B'交于点。，BC与B'C交于点

E时，求证：ZXAB'DS/\BEB'：

②当两块三角板相对位置如图②，即AC边的延长线与A'B'交于点D,BC与

B'C交于点E时，X&B,D与LBEB'还相似吗？(直接给出结论.不需证明)

®在图②中，连结。E,试探究△48'。与是否相似，并说明理由或给出

证明.

④在图①中，若△ABC改为角C等于150°的等腰三角形，那么B'C只要

满足NA'B'C=°时，仍有△AB'DsABEB'.

图1图2

2已知RtzXABC中，AC=BC=2.一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线

段AC,BC于E.尸两点

(1)如图1,当空=上且2£14(7时，求证：居=工；

T"»nCTIT?c

②如图2,当空_=1时(1)的结论是否仍然成立？为什么？

PB

⑶在(2)的条件下，将直角/EP尸绕点尸旋转，设NBPF=a(0°<a<90°).连

结EF,当△CEF的周长等于2+2a时，请直接写出a的度数.

A

图1图2备用图

3如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=6,BC=8,动点P从A点出发，沿AC向点C

移动，速度为每秒2个单位长度，同时，动点。从C点出发，沿CB向点B移动，速

度为每秒1个单位长度，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为

⑵求△CP。的面积5（平方米）关于时间/（秒）的函数解析式；

（2）在p、。移动的过程中，当t为何值时，acp。是等腰三角形?

4如图，在RtZsABC中，ZC=90°,AB^lOcm,AC：8c=4：3,点P从点A出发沿AB

方向向点B运动，速度为\cmJs,同时点Q从点B出发沿C-A方向向点A运动，速

度为2cm/s,当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动.

（D求AC、BC的长；

②当点。在8c上运动时，若△PBQ与△4BC相似，求时间f的值；

③当点Q在CA上运动，使PQLABEI寸，△PBQ与△ABC是否相似，请说明理由.

5如图，在平面直角坐标系xO），中，已知点8的坐标为（2,0）,点C的坐标为（0,8）,

sin/CAB=4,E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作E尸〃AC

交BC于点F,连接CE.

（D求AC和OA的长；

②设4E的长为m,△CEF的面积为S,求S与〃?之间的函数关系式；

⑶在（2）的条件下试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出

此时点E的坐标，判断此时ABCE的形状；若不存在，请说明理由.

6如图1,等腰△ABC中，AC=BC,DE//AB,AD=DE=^EB=5,AB=\\.一个动点P

从点4出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AD-OE-EC方向运动，当点尸到达

点C时，运动结束，过点尸作于点Q,以尸。为斜边向右作等腰直角三角形

PMQ,设点P的运动时间为f秒（;>0）.

（1）当工=时，点M落在线段BQ上；当/=时，点P到达点C；

⑵在整个运动过程中，设△PMQ与△AB。重叠部分的面积为S,请直接写出S与f

的函数关系式和相应的自变量r的取值范围；

③如图2,当点P在线段DE上运动时，线段PQ与对角线BD交于点F,作点P关

于BD的对称点G,连接FG、GQ,得到△尸G。.是否存在这样的3使△尸G。是等腰

三角形？若存在，求出对应的f的值：若不存在，请说明理由.

7如图，已知在等腰RtZ\A8C中，NC=90°,斜边A8=2,若将aABC翻折，折痕EF

分别交边AC,边BC于点、E和点尸(点E不与A点重合，点尸不与B点重合)，且点

C落在48边上，记作点D.过点。作。K_LAB,交射线AC于点K,设y=

cotNCFE,

(1)求证：/XDEKs4DFB；

(2)求y关于x的函数解析式并写出定义域;

图1备用图

8等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合)，连接AP,以AP为

边向两侧作等边△APQ和等边犯分别与边AB、AC交于点M、N(如图1).

(1)求证：AM=AN；

(2)设①若BM=3,求x的值；

②记四边形AOPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并写出

自变量的取值范围；

③如图2,当x取何值时，ZBAD=\5°?

图1图2

9已知：如图①，△ABC中，A/、8/分别平分N2AC、ZABC.CE是△ABC的外角

NACD的平分线，交B/延长线于E,联结C1.

⑴设NB4C=2a.如果用a表示/8/C和NE,那么NB/C=,NE=

（2）如果AB=1,且△A8C与△/（；£；相似时，求线段AC的长；

⑶如图②，延长A/交EC延长线于尸，如果Na=30°,sin/尸=3,设BC=〃z,

5

图①图②

I）如图，已知aABC是等边三角形，A8=4,。是AC边上一动点（不与A、C点重合）,

E尸垂直平分BD,分别交AB、BC于点E、F,设CD=x,AE=y.

（1）求证：△AEDs/\CDF：

(2)求y关于x的函数解析式.并写出定义域;

11.(1)问题

如图1,在四边形48C。中，点P为AB上一点，/OPC=NA=NB=90°,求证：

AD'BC=AP'BP.

(2)探究

如图2,在四边形ABC。中，点尸为AB上一点，当NOPC=N4=/B=。时，上述结

论是否依然成立？说明理由.

(3)应用

请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图3,在△ABO中，48=6,A£)=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度，由点A

出发，沿边AB向点B运动，且满足/Z)PC=NA,设点P的运动时间为r(秒)，当以

。为圆心，以QC为半径的圆与AB相切时，求，的值.

区2

B

-----------------□RaD6p

ApDr

图1图2图3

2已知△48C中，ZABC=90°，点M为8c上一点，点E、N在AC上，且

EB=EM,NM=NC,

(1)求证：NEMN=/BEC；

(2)探究：AE、EN、CN之间的数量关系，并给出证明；

(3)如图2,过点B作交NM的延长线于“，当时，求理的值.

BMMN

13.(1)操作发现：如图①，D是等边△ABC边8A上一动点(点。与点B不重合)，连

接DC,以DC为边在BC上方作等边△£>(7/,连接AF.直接写出线段AF与BD之间

的数量关系.

9类比猜想：如图②，当△ABC为以BC为斜边的等腰直角三角形，。是△ABC边

BA上一动点(点。与点B不重合)，连接。C,以。C为斜边在BC上方作等腰直角4

FDC,连接AF.请直接写出它们的数量关系.

9深入探究：

I.如图③，当△ABC为以BC为底边的等腰三角形，。是△ABC边8A上一动点(点

D与点B不重合)，连接DC,以DC为底边在BC上方作等腰ZBCA^ZDCF,

且/BAC=a,连接AF.线段A尸与3。之间的有什么数量关系？证明你发现的结论：

II.如图④，当△ABC为任意三角形，。是△ABC边8A上一动点(点。与点B不重

合)，连接QC,以。C为边在BC上方作且幽=%,连接AF.线段

AC

AF与2。之间的有什么数量关系？直接写出你发现的结论.

D,D,

H已知矩形ABC。的一条边AD^Scm,将矩形ABC。折叠，使得顶点B落在CD边上的

尸点处，已知折痕与边8c交于点0,连结AP.OP、0A.

①如图1,若点P恰好是C。边的中点，

①判断△AOP与△AP0是否相似，并说明理由；

②求边A8的长；

②如图2,若△0C尸与的面积比为1：4,动点G从点。出发以每秒1cm的

速度沿DP向终点P运动，同时动点H从点P出发以每秒2cm的速度沿PA向终点A

运动，运动的时间为t(0<f<5),

①求边AB的长；

②问是否存在某一时刻t,使四边形AOGH的面积S有最小值？若存在，求出S的最小

值；若不存在，请说明理由.

①如图1,点。在BC边上，型=工，与BE相交于点尸，则里的值为

BD2PD

②如图2,点。在8c的延长线上，BE的延长线与AD交于点

P,DC：BC：AC=1：2：3.

①求需的值；

②若CQ=2,则BP=.

t)如图所示，E是正方形ABC。的边AB上的动点，正方形的边长为4,EFLDE交BC

于点F.

(1)求证：AADEsABEF；

(2)AE=x,BF^y.当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值；

(3)已知。、C、F、E四点在同一个圆上，连接CE、DF,若sin/CEF=2,求此圆

5

直径.

备用图

答案

1.证明：(1)由等腰直角三角形的性质可知：NA=NB=NA'B'C=45°,

:/BB'D=NADB'+/A,NBB'D=乙尺B'C+ZEB1B,

:.NADB'=ZBB'D-ZA=ZBB'D-45°,

NEB'B=NBB'。-NA'B'C'=NBB'D-45°.

AZADB'=

ZEB'B.又：NA=

ZB,

.'.△AB'Ds^BEB'.

(2)相似.如图：

理由：由等腰直角三角形的性质可知：N4=NB=NA'B'C=45°,

:NBB'D=NADB'+/A,NBB'D=ZA'B'C+ZEB1B,

：.ZADB'=NBB'D-NA=NBB'力-45°,

ZEB'B=NBB'D-ZA;B'C=/BB'£>-45°.

AZADB'-

ZEB'B.又•.,NA=

ZB,

.♦.△AB'DsABEB'.

(3)由(2)可知

.'.△AB'DsgEB',

.AD_B?D

,,RR，=RE，，

又，；BB'=AB',

.ADByD

-AB，=B，R'

又,.•/A=NA'B'C=45°.

.♦.△AB'DS/\B'ED.

(4)当/A'B'C=15°时，

△AB'0s△BEB'.理由：VZC=150°,AC=BC,

：.ZA=ZB=15°.

:/BB'D^ZADB'+ZA,ZBB'O=NA'B'C+ZEB1B,

:.NADB'=ZBB'D-NA=NBB'D-15°,

NEB'B=NBB'D-ZAZB'C'=ZBB'D-15°.

ZADB

ZEB'B.又；NA=

.'.△AB'Ds/\BEB'.

2.解：(1)如图1,

VPE1AC,

NAEP=NPEC=

90°.又,：NEPF=NACB

=90°,

四边形PECF为矩形，

：.ZPFC=90°,

AZPFB=90°,

NAEP=NPFB.

'：AC=BC,ZC=90°,

.../A=NB=45°,

:.NFPB=NB=45°,AAEP^APFB,

•PE=AP=1.

-，PFPBH

(2)(1)的结论不成立，理由如下:

连接PC,如图2.

.4

.••点P是AB的中点.

又：乙4cB=90°,CA=CB,

：.CP=AP^1AB.ZACP^ZBCP=^-ZACB=45",CP1AB,

9.9.

：.ZAPE+ZCPE=90Q.

VZCPF+ZCPE=90°,

：.NAPE=NCPF.

在和ACP尸中，

，ZA=ZPCF=45°

■PA=PC.

,ZAPE=ZCPF

...△APE9XCPF,

：.AE^CF,PE=PF.

故(1)中的结论购=工不成立；

PFR

(3)当ACE尸的周长等于2+氧再寸，a的度数为75°或15°.

提示：在(2)的条件下，可得AE=CF(已证)，

EC+CF=EC+AE^AC^2.

EC+CF+EF=2+V娓,

:.EF=2瓜

3

设CF=x,则有CE=2-X,

在Rt^CE尸中，根据勾股定理可得?+(2-x)2=(-|V6)2,

整理得：3X2-6x+2=0,

解得：肛=主返，苫2=世反.

33

①若如图3,

3

过点尸作于H,

易得PH=HB=CH=I,FH=1-、—近=返.

RR

在RtZ^PH尸中，tan/FP，=^=返，

PHR

:.NFPH=30°,

，a=/FP8=30+45°=75°；

②若Cf=3班,如图4,

过点尸作PGLAC于G,

同理可得：/APE=75°,

.,.a=ZFPB=180°-AAPE-ZEPF=\5°.

3解：（1）如图1,过点P,作P£>_LBC于D

在Rt"BC中，AB=6米，BC=8米，

由勾股定理得：AAB2+BC2=J62+82=1。米

由题意得：AP=2/,则CQ=t,则PC=\0-2t

：f=2.5秒时，AP=2X2.5=5米，QC=2.5米

.•.PO=_1AB=3米.

.•.S=/QC・PO=3.75平方米；

②如图1过点。，作QEJ_PC于点E,

；NC=NC,NQEC=NABC,

：.RtAgEC^RtAABC.

.QEAB

-"oc'AC-

解得：QE=31,

5

.•.S=-lpc«e£=—(IO-2力-旦3+3£(0Vf<5)

2255

®①当PC=QC时，PC=10-2r,QC=t,即10-2r=r,解得/=也秒；

R

②当PQ=CQ时，如图1,过点Q作QELAC,则CE=10-2t..=5-t,CQ=t,

2

由(2)可知△CEQS/XCBA,故里<g,即《二L解得f=空秒；

RCACR109

③当PC=PQ时，如图2,过点P作PELBC.

A

,:PQ=PC,PE±QC,

...EC=£QG

：.CE=^-.

9.

'：PE±QC,

；.NPEC=90°.

；./PEC=ZABC.

；/C=/C,NPEC=NABC,

△尸CESAACB.

.•.SL』2,即t=10-2t.解得［=史秒.

BCAC161021

4解：(1)设4c=4x,BC=3x,在RtZVIBC中，AC2+B(^=AB2,

即：(4x)2+(3x)2=102,

解得：x—2,

•\AC=ScmfBC=6cm；

(2)若aPB。与△ABC相似，

由已知条件得：AP^t,BQ=2t,

：.PB=lO-t,

①如图1,NPQB=NC=90°,

.PBBQpnlO-t2t

ABBC10fi

解得：r=30；

15?

②如图2,NQPB=/C=90°,

•PBBQpnlO-t2t

RCABfi10

解得：/=旦＞3.

11

综上所述：当，=尊时，△尸8。与△ABC相似；

(3)如图3,当点。在。上运动，使时，以点8、P、Q为顶点的三角形与

△A8C不相似.理由如下：

"：AP=x,

：.AQ=]4-2x,

；PQ，AB,

XAPQsXACB,

.AP=AQ_PQ

"ACAB=BC)

即：x=14-2x=PQ,

Rmfi

解得：x=区，「。=丝，

1R1R

."8=10-x=2£,

13

42

.PQ=H=21^BC

"PB74而正'

13

，当点。在CA上运动，使PQJ_AB时，以点8、P、。为顶点的三角形与△4BC不相

似.

，。8=2,0c=8,

在RtZ\A0C中，sin/CAB=^=4,

AC5

•.•8=—4.

AC5

：.AC=10,

•*,0A=VAC2-0C2=7102-82=6-

(2)依题意，AE=m,则BE=8-m,

•:EF"AC,

:•丛BEFS/\BAC.

•EF_BEgpEF_8-m

**AC-AR'下-=’

•EF——4。-5m

**-4-，

过点F作FG_LAB,垂足为G,则sinNPEG=sin/CAB=4,

5

•.F•'G—_4—,

KF5

.JG=4X理&1=8-m,

54

111,

•••S=SaBCE-Sa8FE=^(8-m)x8号(8-m)(8-m)=-物一+4%

自变量m的取值范围是0〈机＜8.

(3)S存在最大值.

'♦,S=-/+4w=/nr4)2+8,且一)。,

.•.当机=4时，S有最大值，S最大值=8,

•.加=4,

...点E的坐标为(-2,0),

...△BCE为等腰三角形.

6.解：（1）如图1中，作。兀L4B于7,ENLAB于N,Ca_LAB于”，MKA.PQTK,

则四边形OEN7是矩形,

图1

由△on多AENB,可得DE=NT=PQ=5,AT=BN=3,

'：AD=EB=5,

:.DT=EN=4,

当点M在8。上时，"：PK=KQ,KM//AB,

:.DM=MB,易知KM=PK=KQ=2,DP=2,

.1=7秒时，点M在8。上，

'JEN//CH,

:.丛ENBs/\CHB,

.EB=BN

"CB而，

.5_3

"BC

：.BC=^~,雨=空，

fi6

.•.点P到达点C时间为：5+5+至=里秒.

66

故答案为7秒，里秒.

A

(2)①如图2中，作OT_LAB于T,当0<fW5时，重叠部分是△PQM,

；.尸。=生，

5

s=SMQM=含-iz=去2-

zbr>zh

②如图3中，当5<fW7时，重叠部分是四边形QMHK.取8。的中点M',作

M'P'〃PM交DE千P'

"JKQ//DT,

.KQ=BQ

**nfBT'

•••KQ_1-3---t-,

4R

：.KQ=^~l.PK=4-I?-t=文包

222

':P'M'//PH,

.PH=DP

**nM/DP，，

.DH=t-5

h

：.DH=-Js(r-5),•；DK=遥"5),

：.HK=DH-DK=1■爬(r-5),

2

，S=S4PMQ-SAPKH=4-工S.t5，x,t5=_

9.9.2R4R

③如图4中，当7<fW10时，重叠部分是△QHK.GK,M'G'分别是△0HK、△

由△Q”KS^Q'H'M',得到，—®—=—^IL

。’Hy1卜

13~t

・

••2__GK

R2

：.GK=1^~,

R

A._13^+_169^

22R12612

④如图5中，10<f<庄时，重叠部分是△QK”.

fi

图5

由△Q”KS/\Q'HrM',得—的—=F,,可得GK=2{5-

Q，H，/1R

12…

y[5-^-(t-10)]},

.•.S=JL・H0GK=L2{5-115/■(t-10)»2=」一t2-工+上-

223225‘°10011012

工2(0<t<5)

25t

1257

丁T7(5<t<7)

综上所述，s='

步导噌(7<t<10),

亮tT£ag喏)

(3)存在.①如图6中，当/G=FQ时,

图6

•：PF=FG=FQ=2,

二。尸=4,

，/=5+4=9.

②如图7中，当GF=GQ时;作GKLPQ,£W_LAB于N.

图7

由△OANsaGFK,得岖=幽

FGFK

,5,3

畀T)即

.•.FK=W_(r-5),

10

,:GF=GQ,GK1.FQ,

：.FQ=2FK=l(t-5),

5

9

\PF+FQ=4f

.・・_1(r-5)+3(r-5)=4,

25

.・T.

11

作QK_LG产于K.ON_L4B于N.

由△ADNs△尸QK,得到幽=他,

FKFQ

・_1_=5

(Z-5),

12

VPF+FQ=4f

AA(r-5)+且(r-5)=4,

912

.103

11

综上所述，当△尸G0是等腰三角形时，，的值为9s或％或』叫‘.

1111

7.(1)证明：如图1,

图1

由折叠可得：NEDF=NC=90°,ZDFE=ZCFE.

・・・△ABC是等腰直角三角形，ZC=90°,

ZA=ZB=45°.

\*DK.LABf

：.ZADK=ZBDK=90Q,

ZAKD=45°,/EDF=/KDB=90°,

・・・NEKD=/FBD,ZED24FDB,

:•△DEKS/\DFB；

(2)解：VZA=ZAKD=450,

：.DK=DA=x,

*：AB=2f

DB=2-x.

■:/\DFBs/\DEK,

.DF=DB

・•蕨nK，

.*.y=cotZCFE=cotZDFE=^!E_=

DEDK

入.当点尸在点8处时，

Y

DB-BC-AB^inA-2X坐■=«,AD=AB-BD=2-瓜

2

当点E在点A处时，

4£)=AC=A3・cosA=2X堂=6

2

该函数的解析式为y=三,定义域为2-V2<x<V2；

X

(3)取线段EF的中点。，连接OC、0D,

*：ZECF=ZEDF=90°,

OC=OD=LEF.

9.

设EF与CD交点、为H,根据轴对称的性质可得且C”=O”=工CD

2

NHOC=60°

①若点K在线段AC上，如图2,

K,

图2

•；CO=LEF=OF,

2

AZOCF=ZOFC=^ZHOC=3G°,

2

.*.y=cot30°=

:•人=M，

解得：x=V3-1；

②若点K在线段AC的延长线上，如图3,

VOC=OF,//OC=60°,

・•・△OFC是等边三角形,

，NOFC=60°,

.,.y=cot60°=苗3,

R

.2-x-F

••~,

YR

解得：x=3-A/3；

综上所述：x的值为盗-1或3-

8.(1)证明：••'△ABC、△AP。和△APE是等边三角形,

：.AD=APfZDAP=ZBAC=60°,ZADM=ZAPN=60°,

:.NDAM=NPAN.

在△ADM和△APN中,

rZDAM=PAN

«AD=AP，

ZADM=ZAPN

:.XADM9l\APN(ASA),

：.AM=AN.

(2)解：①••'△ABC、ZVID尸是等边三角形，

・・・N8=NC=NZMP=NBAC=60°,

：.ZDAM=ZPAC,

VZADM=ZB.NDMA=NBMP,

A180°-ZADM-ZDMA=180°-/B-/BMP,

：.ZDAM=ZBPM,

：,4BPM=4NAP,

:•丛BPMs^CAP,

・

••-B--M-Z2--B-P-,

CPCA

・.,3M=3,AC=2fCP=2-x,

g

・・・4N-8x+3=0,

解得无尸工，X2=—.

22

②•・•四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△A5C重叠部分的面积，XKDMQX

APN,

•a•SAADM=SAAPN，

，S四边形AMPN=SAAPN=S4AMP+SAADM=

SAADP-过点P作PS_LA3,垂足为S,

在RtZXBPS中，

VZB=60°,BP=x,

.*.PS=BPsin60°=返居BS=BPcos600=L,

92

•・・AB=2,

.9.AS=AB-BS=2-—x,

2

：.AP2=AS2+P^=d^x)2+(2--lr)2=x2-2x+4(0<x<2)；

22

,5=返%2=2^2-(0<x<2).

442

③连接PG,设DE交AP于点0.若/区40=15°,

,:NDAP=60°.AZPAG=45°.

■：△AP£)和△△「后都是等边三角形.

：.AD=DP=AP=PE=EA.

四边形ADPE是菱形.

二。。垂直平分AP.

：.AG=GP.

；./APG=NPAG=45°.

:.NPAG=90°.

设BG=t,在Rt/XBPG中，NB=60°.

:.BP=2t,PG=\f3t.

:.AG=PG=6.

■'•\T3t+t=2.解得t=M-1.

：.BP=2t=2yf3-2.

故，当x=2«-2时，ZBAD=\50.

图1图2

9.解：（1）在△8CE中有：NE=180°-ZBCE-ZCBE,

又：A/、8/分别平分NBAC、ZABC.

；.C/是/ACB的平分线，

是/4C£＞的平分线，

ZECI是平角ABCD的一半，

AZEC/=90°,

Z.ZE=90°-ZBCI-ZCBI,

在△ABC中，-lzBAC=—(180°-AABC-ZACB)=90°-NBCI-NCBE=a,即

22

ZE—a.

在三角形3/C中，由外角性质得到：NB/C=90°+a,

综上所述，ZB/C=90°+a,ZE=a.

故填：90°+a,a；

(2)由题意易证得△"?£'是直角三角形，且NE=a.

当△ABCs/VCE时，可得△ABC是直角三角形，有下列三种情况：

①当NA8C=90°时，'：ZBAC^2a,NE=a；

只能NE=NBCA,可得/BAC=2N8CA.

：.ZBAC=60a,N8CA=30°.

：.AC=2AB.

；.AC=2.

②当NBC4=90°时，

VZBAC=2a,ZE=a；

・・・只能NE=N4BC,可得N34C=2NA8C

：.ZBAC=60Q,ZABC=30Q.

：.AB=2AC.

・"C=』.

2

③当N5AC=90°时，VZBAC=2a,ZE=a；

/.ZE=ZBAI=ZCAI=45Q.

・•・△ABC是等腰直角三角形.即AC=AB.

：.AC=\.

，综上所述，当△ABCs/vcE时，线段AC的长为1或2或工.

2

(3)VZE=ZCA/,由三角形内角和可得NA/E=NACE.

・・・NAIB=

NACF.又・.・N8A/

=ZCAZ,

AAB1=NF.

又/平分NABC,

:.NABI=NF=

NEBC.又是公

共角,

:.△EBCS^EFL

在RtZVCF中，sin/F=g,设/C=3k,那么CF=4k,IF=

5

5k.在RtZX/CE中，/E=30°,设/C=3k,那么(7£：=3扬，IE

=6k.

10.解：（1）证明：如图1,

垂直平分BD,

:.EB=ED,FB=

FD.在ABE尸和

姮邪也

■FB=FD

EF=EF

:ABE厘4DEF(555),

：.ZEBF=ZEDF,

:△ABC是等边三角形,

AZA=ZABC=ZC=60°,

ZEDF=60°,

/.ZADE+ZFDC=\SO0-60°=120°.

又・・・NAE£>+NAZ)E=180°-60°=120°,

:.NAED=/FDC,

：.AAEDsACDF；

(2):△ABC是等边三角形，

：.AC=BC=AB=4.

,:CD=x,AE=yf

•"£>=4-x,ED=EB=4-y.

■:△AEDs^CDF,

・ED=AD=AE

••而CFCD，

.・4-y=4-x=y

""nF-cF工'

2

...OF=4x-xy,CF=4X-X

VV

■:DF+CF=BF+CF=BC=4f

2

...4x-xy+4x-x

vv

整理得：y=@工二工2.(0<x<4)；

4+x

(3)如图2,

①”在线段AE上时，在RtZ\A4O中,

9：AH=AE-EH=y-1,A£)=4-x,ZA=60°,

.*.cosA=AH_yV.1

AD4-x9.

.,.y=3-—x,

2

・8x-x2__1

••----------JQ-xv,

4+Y2

整理得：x2-14x+24=0,

解得：X]=2,X2=12,

V0<x<4,

・'・x=2,

②当4在线段BE上时，同理可求得x=9-J为

即CO的长为2或9-阮.

图1

图1

VZDPC^ZA=ZB=90°,

AZADP+ZAPD=90，>,

NBPC+NAPO=90°,

NADP=/BPC,

：.MADPsABPC,

.AD=AP

"BP而，

：.AD'BC=AP*BP；

②结论AD・BC=AP・BP仍然成

立.理由：如图2,

VZBPD=ZDPC+ZBPC,NBPD=NA+NADP,

・・・NDPC+/BPC=ZA+ZADP.

VZDPC=NA=N8=B,

:./BPC=/ADP,

：.XADPsMBPC,

.AD=AP

,,BPBC，

：.AD9BC=AP^P；

图3

过点。作于点E.

9：AD=BD=5,48=6,

；・AE=BE=3.

由勾股定理可得DE=4.

・・•以点。为圆心，OC为半径的圆与AB相切,

：・DC=DE=4,

・・・BC=5-4=1.

又・；AD=BD,

：.NA=NB,

:・/DPC=NA=N&

由(1)、(2)的经验可知AO・8C=AP・BP,

/.5Xi=r(6-r),

解得：h=l,亥=5,

.1的值为1秒或5

秒.12.解：(1)・：EB=EM,NM

=NC,

：.ZEBM=ZEMB,4NMC=/NCM,

：./EMB+NNCM+NEMN=180°,

VZEBM+ZNCM+ZBEC=180°,

:・/EMN=/BEC；

②如图1,作OELLBC,NF_LBC分别交3。于。，凡作GM_L3C,交AC于点G,

图1

■:EB=EM,ZABC=90Q,

:・BD=MD,

•••DE为梯形4BMG的中位线，

；・AE=EG,

同理可得CN=NG,

：・EG+GN=AE+CN,即EN=AE+CN；

⑶如图2,作GMLBC,交AC于点G,作NF//EM,

H图2

U：GM//AB,

・

•CG_—CM_—Mfl，

AGBM

"：AE=EG,CN=NG,

.•段=〃，即NG=CN=nEG,

EG

'：NF//EM,

.•.史=里即CF=nEG

•,而丽''MC(2n+l)EG'

2n+1

：.MF=MC--^—MC=-^-MC,

2n+12n+1

NF//EM,

：.BH//NF,

•理=现

"MNMF'

•••史=〃，即8M=』CM,

BMn

1CH

..网=_2____=2n+l

MNn+1「Mn(n+l)

2n+lCM

13.解：(1)•.•等边△ABC,等边△OCF,

:.FC=DC,AC=BC,ZFCA+ZACD^ZBCD+ZACD^60°,

：.ZFCA=ZDCB,

在△FC4和△OCB中，

'CF=CD

■NFCA=/DCB，

,CA=CB

/.△FC4^ADCB,

：.BD=AF；

(2)V(1)•••△4SC是等腰直角三角形，△DCF是等腰直角三角形,

.FC=V2AC=V2

**cnCB

.FC=AC

♦•而CB"

ZFCA+ZACD^ZBCD+ZACD^45°,

；.NFCA=NDCB,

:.缸FCAS^DCB,

•.•-A--F-_-V--2-;

BD2

(3)I.「△ABC为以BC为底边的等腰三角形，△FDC为以OC为底边的等腰三角

形，