




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文档简介
第四章三角形
第一节几何初步、相交线与平行线
考点
易错自纠
易错点1因不理解点到直线的距离的定义而致错
1.点P为直线1外一点点A,B,C为直线1上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm测点P到直线1的距离是(D)
A.2cmB.4cmC.5cmD.不超过2cm
易错点2未给出图形求线段长或角度大小时忽略分类讨论致错
2.已知线段AB=8cm.在直线AB上画线段AC=5cm,则BC的长是3cm或13cm.
3.已知ZAOB=35°,以0为顶点作射线0C,若NA0C=2NAOB,贝!)3B0C=35°或105’.
易错点3误认为同位角(或内错角)一定相等
4.如图,与N2一定相等的角是(C)
A.Z1
B.Z3
C.Z4
D.Z5
真题
考法速览
考法1角的度量(10年1考)
考法2垂线(10年1考)
考法3角及角平分线(10年2考)
考法4平行线的判定与性质(10年4考)
考法1角的度量
1.[2017河北,3]用量角器测量NM0N的度数,下列操作正确的是(C)
cn
考法2垂线
2.[2020河北川如图,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有
A.0条B.1条C.2条D.无数条
考法3角及角平分线
3.[2011河北,2]如图,N1+N2等于(B)
A.60°B.90°
C.110°D.180°
考法4平行线的判定与性质
4.[2015河北,8]如图,AB〃EF,CD_LEF,NBAC=50。,则NACD=
A.120°B.130°
C.140°D.150"
5.[2019河北,7]下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.
咒已知:如图,ZBEC=ZB+“
求证:AB〃CD.
证明:延长B皎交于点F.
«UBEC=_fi.+ZC(-:角形的外角等于与它不相邻两个内角之和)
又ZBEC=Z.B+4C,
LB=A,故AB〃CD(旦相等,两直线平行).
则回答正确的是(C)
A.◎代表NFECB.@代表同位角
C.▲代表NEFCD.※代表AB
第二节三角形及其性质
考点
易错自纠
易错点1误认为三角形的高一定在三角形内部
1.已知AD是aABC中BC边上的高,AD=5,CD=4,BD=2,则aABC的面积等于5或15.
易错点2忽略三角形的三边关系致错
2.[2020贵州黔南州]已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为
A.9B.17或22C.17D.22
3.在AABC中,AC=2BC,BC边上的中线AD把4ABC的周长分成60和40两部分,则AC=48.
方法
命题角度1三角形的三边关系
G提分特训
1.[2019石家庄42中一模]如图,长度为10m的木条,从两边各截取长度为xm的木条,若得到的三根木条能组
成三角形,则x可以取的值为(C)
xmxm
10m
A.2mB.-m
2
C.3mD.6m
2.[2020浙江绍兴]长度分别为2,3,3/的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),
得到的三角形的最长边长为(B)
A.4B.5C.6D.7
命题角度2三角形的内角和外角
酶分特训
3.[2020辽宁锦州]如图,在AABC中,NA=30°,NB=50°,CD平分NACB,则NADC的度数是(C)
A.80°B.90°C.100°D.110°
4.[2019内蒙古赤峰]如图,在AABC中,点D在BC的延长线上,过点D作DE1AB于点E,交AC于点F.若
ZA=35°,ND=15°,则NACB的度数为(B)
A.65°B.70°
C.75°D.85°
命题角度:3三角形中的重要线段
0提分特训
5.[2020四川宜匍如图,点分别是4ABC的边AB,AC的中点,若NA=65°,NANM=45°,则NB=(I))
A.20°B.45°C.65°D.70°
6.[2020陕西]如图,在3X3的网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是AABC的高则
BD的长为(I))
噂同
真题
考法速览
考法1三角形的稳定性(10年1考)
考法2三角形的三边关系(10年2考)
考法3三角形的内角与外角(10年2考)
考法4三角形的中位线(10年3考)
考法1三角形的稳定性
1.[2018河北刀下列图形具有稳定性的是(A)
/n8c
ABCD
考法2三角形的三边关系
2.[2013河北15]如图⑴,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC',且NB=30°,NC=100°,如图⑵.则
下列说法正确的是(C)
(:
___________
A__________MDA(D)B
图⑴图⑵
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远
D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远
3.[2011河北,10]已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为(B)
A.2个B.3个C.5个D.13个
考法3三角形的内角与外角
4.[2014河北4]平面上直线a,b分别过线段OK两端点(数据如图),则a,l)相交所成的锐角是(B)
A.20°B.30°
C.70°D.80°
考法4三角形的中位线
5.[2015河北15]如图,点A,B为定点,定直线1〃AB,P是1上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:
①线段MN的长;
②APAB的周长;
③△PMN的面积;
④直线MN,AB之间的距离;
⑤NAPB的大小.
其中会随点P的移动而变化的是(B)
A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤
AB
6.[2014河北,2]如图,Z\ABC中RE分别是边AB,AC的中点.若DE=2,则BC=(C)
A.2B.3C.4D.5
A
7.[2017河北17]如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,并分别
延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为100m.
高分突破•微专项与角平分线相关的三大模型
口强化训练
1.[2019湖南张家界]如图,在4ABC中,NC=90°,BD平分NABC,AC=8,DCgAD,则点I)到AB的距离等于(C)
A.4B.3C.2D.1
2.[2020贵州贵阳]如图,Rt^ABC中,/C=90°,利用尺规在BC.BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以点D,E为圆
心、以大灵DE的长为半径作弧,两弧在
ZCBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点,则GP的最小值为
A.无法确定B.1
C.1D.2
3.[2019唐山开平区一模]如图,在RtAABC中,NACB=90°,NBAC=30°,NBAC的平分线交BC于点D,过点D作
DE_LAB,垂足为E,连接CE交AD于点I-.有以下结论:①AB=2CE;②AC=4CD;③CE_LAD;④ZXDBE与AABC的面积比是
1:(7+4何
其中正确结论是
A.③④B.②③C.①②D.@@
4.[2019湖南永州]如图,/A0B=60°,OC是/AOB的平分线,点D为0C上一点,过点D作直线DE_LOA,垂足为点E,
且直线DE交0B于点F.若DE=2,则DF=1.
5.[2019石家庄42中三模]如图,在RtAABC中,NACB=90。,AC=4,BC=3.将RtAABC平移到RtAA'B'C'的位置,
使得点C'与aABC的内心重合,则图中阴影部分的面积为(D)
6.如图,直线MN〃PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,
以任意长为半径作弧,交AN于点C,交AB于点D;②分别以点C,D为圆心、大于的长为半径作弧,两弧在
ZNAB内交于点E;③作射线AE,交PQ于点F.若AB=2,NABP=60°,则线段AF的长为
7.[2019湖北荆州]如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在NM0N的边OM,ON上若0A=0C,要求只用无刻度的直尺
作NMON的平分线,小明的作法如下:连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE平分NMON.有以下几条几何性
质:①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据是(C)
A.①②B.①③C.②③D.①©③
8.如图所示,M是AABC的边BC的中点,AN平分NBAC,BN_LAN于点N,连接MN,若AB=8,MN=2,则AC的长是
12.
9.如图,ED是NBEA的平分线,ZB=NEAC,ED_LAD.求证:AD平分NBAC.
A
证明如图,延长AD交BC于点F,
「ED是NBEA的平分线,
AZAED=ZFED.
又NFDE=1800-ZADE=90°=ZADEJ)E=DE,
AAEFD^AEAD,
AZDAE=ZDFE,
ZFAC+ZCAE=ZBAF+ZB.
又/B二NEAC,,ZFAC=ZBAF,
AAD平分NBAC.
10.如图,在AABC中,NABC=3NC,NBAC的平分线AD交BC于点D,BE±AD于点E.求证:AC-AB=2BE.
证明如图,延长BE交AC于点F,易证△ABE峪aAFE,
.,.AF=AB,BE=EF,ZAFB=ZABF,
工ZFBC+ZC=ZABC-ZFBC.
又/ABC=3NC,.\ZFBC+ZC=3ZC-ZFBC,
ZFBC=ZC,AFC=FB=2BE,
?.AC-AB=AC-AF=CF=2BE.
第三节等腰三角形和直角三角形
考点
易错自纠
易错点1已知等腰三角形一个角的度数,求顶角(或底角)的度数时忽略分类讨论
1.若等腰三角形的一个内角为50。厕该三角形顶角的度数是50,或80”.
易错点2解决特殊三角形的存在性问题时忽略分类讨论
2.在AABC中,AB=AC,NBAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若AABD为直角三角形,则NADC的度数为90或
130°.
方法
命题角度1等腰三角形的性质与判定
目提分特训
1.[2020湖北黄冈]已知如图在△ABC中,点D在边BC±,AB=AD=DC,ZC=35°,则NBAD=40度.
2.[2019重庆A卷]如图,在AABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD.BE平分/ABC交AC于点E,过点E作
EF〃BC交AB于点F.
⑴若NC=36°,求/BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
⑴解:AB=AC,点I)为BC的中点,
.,.ZABC=ZC=36°,AD±BC,
AZBAD=900-ZABC=90°-36°=54°.
⑵证明:tBE平分NABJEF〃分,
,ZABE=ZEBC,ZFEB=ZEBC,
,ZFEB=ZABE,
AFB=FE.
命题角度2等边三角形的性质与判定
G提分特训
3.如图,Z\ABC是等边三角形J是三角形内任意一点,DEF分别是AC,AB,BC边上的三点,且PF〃AB,PD〃BC,PE〃
AC.若PF+PD+PE=a,则AABC的边长为
A.V2aB.V3a
C.—aD.a
4.[2020江苏常州]如图,在AABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若4AFC是等边三角形,则NB=
30°.
命题角度:;直角三角形的性质与判定
口提分特训
5.[2020浙江宁波]如图,在RtAABC中,ZACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE的中点,
连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为
A.2B.2.5C.3D.4
6.[2019陕西]如图,在4ABC中,NB=30°,NC=45°,AD平分NBAC交BC于点D,DE_LAB,垂足为E.若DE=1,则BC
的长为
A.2+V2B.V2+V3C.2+V3D.3
考法速览
考法1等腰三角形的性质与判定(10年3考)
考法2等边三角形的性质与判定(10年2考)
考法3直角三角形的性质与判定(10年3考)
考法1等腰三角形的性质与判定
1.[2018河北,8]已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,
需添加辅助线,则下列作法不正确的是
A.作NAPB的平分线PC,交AB于点C
B.过点P作PC±AB于点C,且AC=BC
C.取AB中点C,连接PC
D.过点P作PC_LAB,垂足为点C
考法2等边三角形的性质与判定
2.[2016河北,16]如图,NA0B=120°,OP平分NAOB,且0P=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则
满足上述条件的aPblN有(D)
A.1个B.2个
C.3个D.3个以上
3.[2013河北13]一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示若N3=50。,则Nl+N2=
A.90°
B.100°
C.130"
D.180°
考法3直角三角形的性质与判定
4.[2020河北16]如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸
片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图所示的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大
的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是
A.1,4,5B.2,3,5
C.3,4,5D.2,2,4
5.[2012河北14]如图,AB,CD相交于点O,AC_LCD于点C,若NBOD=38°,则ZA等于52°.
0y8°D
B
6.[2019河北,19]勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位:km).笔
直铁路经过A,B两地.
(1)A,B间的距离为km;
⑵计划修一条从C到铁路AB的最坦公路1,并在1上建一个维修站D,使D到A.C的距离相等,则C,D间的距离
为13km.
•C(0,-17)
高分突破•微专项。与中点相关的五大模型
G强化训练
1.如图,已知在AABC中,/B=25°,点D在边CB上,且NDAB=90°,AC=|BD.则/BAC的度数为105.
A
BDC
2.[2019山东临沂]如图在AABC中,NACB=120。,BC=4,点D为AB的中点DC_LBC,则AABC的面积是一
c
-------------D--------------B
3.如图,在△ABC中,BC=18,BD,CE是高点F,G分别为BC,DE的中点,若ED=10,则FG的长为,g_.
4.[2020山东德州中考节选]问题探究:
小红遇到这样一个问题:如图⑴,AABC中,AB=6,AC=4,AD是中线,求AD的取值范围.她的做法是:延长AD到E,使
DE=AD,连接BE,证明ABED峪ACAD,经过推理和计算使问题得到解决.
请回答:
⑴小红证明ABED附ZXCAD的判定定理是SAS.
(2)AD的取值范围是1〈AD〈5.
方法运用:
⑶如图⑵,AD是AABC的中线,在AD上取一点F,连接BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证:BF=AC.
AA
EB,一方一
图⑴图⑵
(l)SAS
(2)1<AD<5
解法提示:VABED^ACAD,
ABE=AC=4.
在△ABE中,根据三角形的三边关系得.\B-BE<AE<AB+BEf
.\2<2AD<10,
A1<AD<5.
⑶证明:如图,延长AD至A',使DA'二AD,连接BA',
「AD是AABC的中线,
ABD=CD.
又丁NADC=NBDA',AD=DA',
.'.△ADC^AA,DB,
.•.AC=BA\ZCAD=ZA\
VAE=EF;
・,./EAF=NAFE,又/AFE=NBFA'f
?.ZA,=ZBFA\
.'.BF=BA,,
ABF=AC.
5.如图在aABC中,AB=AC,点I)是BC的中点,DELAB于点E,若DE=2,则点D到AC的距离为2.
6.[2020贵州黔西南州中考改编]如图,在RtAABC中,NACB=90"AC=BO4,点D为AB的中点,以点D为圆心作扇
形DEF,且NEDF=90°舒经过点C.将扇形DEF绕点D旋转,使点C始终在京上(不与点E,F重合),DE,AC交于点
G,DF,BC交于点H,求四边形DGCH周长的最小值.
R
A
解如图,连接CD.
•••/ACB=90°,点D为AB的中点,AC=BC,
;./A=NDCH=45°,AD=CD,CD±AB.
又NEDF=90°,ZADG=ZCDH,AADG^ACDH,
DG=DH,AG=CH,:.CG+CH=CG+AG=AC=4.
故当DH+DG取最小值,即DH±BC时,四边形DGCII的周长最小.
又此时DH-DG=2DU=2X:ACE,,四边形DGCII周长的最小值为1+1=8.
7.如图,在△ABC中点l),E,F分别是AB,AC,BC的中点,已知NADE=45°,则NCFE的度数为
A.40°B.45°C.50°D.55°
8.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,点E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,连接EF,EG,若NDAC=15°,NACB=87°,则NFEG
的度数为36”.
9.如图,在RtAABC中,NB=90°,AB=2倔BC=3,E是AC的中点,延长BC至点F,使CF=:BC,连接EF,求EF的长.
解如图,取AB的中点D,连接DE.CD,
则DE〃BC,DE)BC,
又V(片BC,/.DE=CF,.•.四边形DCFE是物亍四边形,
.,.EF=CD.
在RtZXBCD中,•.•NB=90。,BD=iAB=V5,BC3,
CD=VBD2+BC2-V14,.,.EF=CD=V14.
10.如图,在RtAABC中,NC=90°,边AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点N,若AC=遍,MB=2MC,则AB的长度
为乐.
11.如图,在菱形ABCD中才安以下步骤作图:以点A,D为圆心、大于*AD的长为半径作弧,两弧交于点P,Q,作直线
PQ.已知直线PQ恰好经过点B,若AB=4,则点B到CD的距离为,、倍_.
第四节全等三角形
考点
易错自纠
易错点1不能灵活运用全等三角形的判定定理解决问题致错
L小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块(分别标有①②③④),若带着其中一块去配与原来一样大
小的三角形玻璃,应该带(D)
A.①B.②C.③D.@
易错点2误用“SSA”判定三角形全等
2.如图,ZBDA=NBDC,现添加以下条件不能判定AABD用ZXCBD的是(C)
A.ZA=ZC
B.ZABD=ZCBD
C.AB=CB
D.AD=CD
易错点3忽略“△,与全等”和的区别
3.如图,在4ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点
运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为vcm/s,则当ABPD与△CQP全等时,v的
值为2或3.
方法
命题角度全等三角形的判定与性质
口提分特训I
1.[2019贵州安顺]如图,点B,F,C,E在f直线上,AB〃ED,AC〃FD,那么添力吓列1^条件后,仍无法判定
△ABC^ADEF的是(A)
A.ZA=ZDB.AC=DF
C.AB=EDD.BF=EC
2.[2020辽宁辽阳]如图,在AABC中,M,N分别是AB和AC的中点,连接MN,点E是CN的中点,连接ME并延长,交BC
的延长线于点D,若BC=4,则CD的长为2.
3.[2020江苏常州]已知:如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA〃FB,EA=FB,AB=CD.
⑴求证:NE=NF;
⑵若NA=40°,/D=80°,求NE的度数.
AB
⑴证明:;EA〃FB,
.=/A=/FBD.
•.,AB=CD,
/.AB+BC=CD+BC,gpAC=BD.
(EA=FB,
在AEAC与aiiBD中,=zFBD,
(AC=BD,
.,.△EAC^AFBD,
:.ZE=ZF.
(2)VAEAC^AFBD,
.,.ZECA=ZD=80".
RVZA=4O0,
.,.ZE=180°-40°-80°=60°.
真题
考法全等三角形的性质与判定(必考)
1.[2019河北,23(1)]如图,在AABC和4ADE中小8=人口=6,13。=口£,/13=/口=30°,边AD与边BC交于点P(不与点B,C
重合),点B,E在AD异侧,1为4APC的内心.求证:NBAD=NCAE.
证明:;AB=AD,ZB=ZD,BC=DE,
AAABC^AADE,
ZBAC=ZDAE,
ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,
/.ZBAD=ZCAE.
2.[2016河北21]如图,点B,F,C,E在直线1上(F,C之间不能直接测量),点A,D在1异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
⑴求证:/XABC当ADEF;
⑵指出图中所有平行的线段,并说明理由.
⑴证明:•;BF=EC,
;.BF+FC=EC+CF,即BC=EF.
又AB=DE,AC=DF,
.,.△ABC^ADEF.
⑵AB〃DE,AC〃DF.
理由:「△ABC/ZiDEF,
ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,
AAB//DE,AC//DF.
3.[2018河北23]如图,NA=NB=50。,P为AB中点点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使
MP的延长线交射线BD于点N,设NBPN=a.
⑴求证:△APM名ZXBPN;
⑵当MN=2BN时,求a的值;
⑶若aRPN的外心在该三角形的内部,请直接写出a的取值范围.
⑴证明:为AB中点
.\PA=PB=-iAB.
2
Z.A=Z.B,
在aAPM和△BP\中,PA=PB,
ZAPM=ZBPN,
.'.△APM^ABPN.
⑵由⑴得,△APM丝ABPM
・・・PM=PN&IN.
2
VMN-2BN,
...B\』MN=PN,
2
a=ZB=50°.
⑶40。<a<90°.
解法提示::锐角三角形的外心、在三角形的内部,
...△BPN是锐角三角形,
rO0<a<90°,
"l00<180°-50°-a<90°,
解得40。<a<90".
高分突破•微专项;构造全等三角形中的两大辅助线技巧
技巧一利用旋转构造全等三角形
日强化训练
1.如图,点P为等边三角形ABC内的一点,且点P到4ABC三个顶点A,B,C的距离分别为1,凡福则4ABC的面
2.如图,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,点F为CD上一点,BE+DF=EF,则NEAF的度数为Q.
3.如图,在AABC中,NC=90°,点D,E,F分别在边CA,AB,BC上,且四边形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,则
△BFE和AAED的面积之和为4.51.
4.如图,0A=0D,0A_L0D,0B=0C,0B_L0C,经过点0的直线1分别交AB,CD于点E,F.
(1)求证:S.AOAB二SzsOG);
⑵若直线1平分CD,求证:0F=抑
⑴证明:Y0A=0D,
...可将△A0B以点0为旋转中心旋转至△DOG的位置如图所示测aAOB名△DOG,
SzkOAH=SZMMJG,NA0B=ND0GQB=0G.
・・・OA_LOD,OB=OC,OB_LOC,
・•・ZCOD+ZAOB=ZCOD+ZDOG=1800,0C=0G,
・,.CQG三点共线,0D为ACDG中CG边上的中线,
SAOI^SAOCD,•0•SAOAR=SZXOCD.
⑵证明:,・,直线1平分CD,
ACF=DF.
由⑴可知,OC=OG,
.,.OF为△CDG的中位线,...OFWOG,
由旋转性质可得DG=AB,
.\OF4AB.
技巧二利用截长补短法构造全等三角形
G强化训练
5.如图,在AABC中,NCAB=NCBA=45°,点E为BC的中点,CN_LAE.
⑴求证:N1=N2;
⑵求证:AE=CN+EN.
⑴证明::NCAB=NCBA=45。,
...NACB=90°,:.NACN+N1=9O°.
•.•AE±CN,AZ2+ZACN=90°,AZ1=Z2.
⑵证明:
方法一(截长法):如图⑴,在线段AE上截取AM=CN,连接CM.
图⑴
易知AC=BC,又N1=N2,AM=CN,
.,.△ACM^ACBN,
.,.CM=BN,ZACM=ZB=45°,
ZMCE=45°,AZB=ZMCE.
(CM=BN,
在△》口;和△NBE中,/MCE=zB,
CE=BE,
.,.△MCE<△NBE,;.EM=EN,
.\AE=AM+EM=CN+EN.
方法二(补短法):如图⑵,延长CN到点M,使CM=AE,连接BM.
图⑵
易知CB=CA,又N1二N2£M=AE,
.,.△ACE^ACBM,
・・・CE二BM二BE,NCBM二NACE=90°,
.,.ZMBN=45°=NNBE.
(BN=BN,
在△NBV和ANBE中,4NBM=ZNBE,
(BM=BE,
.,.△NBM^ANBEfANM=EN,
.'.AE=CM=CN+NM=CN+EN.
6.如图,在AABC中,AB=AC,点D是边BC下方一点.
(1)如图(1),若NBAC=60°,/BDC=120°,求证:AD=BD+CD;
⑵如图⑵,若NBAC=90°,NBDO900,求证:AD邛(BD+CD).
图⑴图⑵
⑴证明如图⑴,延长DC到点E,使CE二BD,连接AE.
图⑴
VZBAC=60°fZBDC=120°,
.,.ZABD+ZACD=180°.
5Z.VZACE+ZACD=180°,
AZABD=ZACE.
又TAB=AC£E=BD,
AAABD^AACE,
・・・AD=AE,NBAD=NCAE,
.,.ZDAE=ZBAC=60°,
••.△ADE是等边三角形,
AAD=DE=CE+CD=BD+CD.
⑵证明:如图⑵,延长DC到点E,使CE二BD,连接AE.
图⑵
VZBAC=90°,ZBDC=90°f
.\ZABD+ZACD=180",
XVZACE+ZACD=180°,
・•・/ABD二NACE.
XVAB=AC,CE=BDr
.'.△ABD^AACE,
・・.AD=AR/BAD=/CAE,
AZDAE=ZBAC=90°,
.*.Al)-yI)l:-y((-E+CD)-y(BD+CD).
第五节相似三角形(含位似)
考点
易错自纠
易错点1求两条线段的比时因长度单位不统一而致错
L一幅地图中甲、乙两地的图上距离3cm表示实际距离150km,这幅地图的比例尺是1:5000000.
易错点2弄错相似三角形的面积比与相似比的关系
2.[2020四川内江]如图,在4ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,S四翊.产15,则SAABC=(D)
A
/A
BC
A.30B.25C.22.5D.20
易错点3未找准对应线段
3.如图,在△ABC中,DE〃BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE:BC的值为
易错点4忽略“△1与相似”和“△口△」的区别
4.在AABC中,AB=4,AC=5,点D是AB的中点,点E在AC上,连接DE,若4ADE和AABC相似,则AE的长为_:或
8
5—.
易错点5求位似变换后点的坐标时易漏解
5.在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(-6,-4),以原点0为位似中心,相似比为右把△ABO缩小,则点A的对应点
A'的坐标是(D)
A.(-2,1)B.(-8,4)
C(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)
方法
命题角度1相似三角形的判定与性质
目提分特训
1.[2020贵州铜仁]已知△FHBsaEAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为(A)
A.3B.2C.4D.5
2.[2020石家庄新华区一模]如图,在AABC中,点D在AB上,AD=5,CE是△!«:[)的角平分线,且CE=6.当NBCD=2NA
时,DE的长为(B)
A.3B.4C.5D.6
A
3.[2020石家庄一模]如图,Rt^ABC是一块铁板余料,已知NA=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成f形状为
平行四边形("DEFG)的工件,使GF在边BC上,D,E两点分别在边AB,AC上,且DE=5cm,则,DEFG的面积为(B)
A.24cm'B.12cm'C.9cm2D.6cm2
4.[2020四川遂宁]如图,在平行四边形ABCD中,NABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,
若AF=2FD狈嚷的值为(C)
5.[2020江苏苏州]如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DFJ_AE,垂足为F.
⑴求证:△ABES/XDFA;
⑵若AB=6,BC=4,求DF的长.
⑴证明二,四边形ABCD是矩形,
.•.ZB=90",AD〃BC,
/.ZAEB=ZDAF,
VDF±AE,.,.ZDFA=90<>,
;./B=/DFA,
.".△ABE^ADFA.
⑵解:,••△ABES^DFA,..提隽
•;BC=4,E是BC的中点,.'BE二BC』X4=2,
RtAABEcp/AE-VAB2+BE2V62+222匹.
又•••AD=BC=4,.*=字,
...DF等
命题角度2图形的位似
口提分特训
6.[2020唐山路北区二模]如图,以点0为位似中心,把AABC放大为原图形的2倍得到AA'B'C',以下说法中错
误的是(C)
A.AABC^AA'B'C
B.点C,O,C'三点在同一直线上
C.AO:AA'=1:2
D.AB〃A'B'
7.方格纸中每个小正方形的边长都是单位I,^OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示.
⑴请按要求对aOAB作变换:以点0为位似中心,位似比为2:1,将△OAB在位似中心的异侧进行放大得到
△OA'B'(点A,B的对应点分别为点A',B').
⑵写出点A'的坐标.
⑶求△OA'B'的面积.
%
解:(1)如图所示,△(),''B'即为所求.
⑵点A'的坐标为(6,-2).
⑶△OA'B'的面积为6X4-1X2X4^X2X4-|X2X6=1O.
真题
考法速览
考法1相似三角形的性质与判定(10年4考)
考法2图形的位似(10年3考)
考法1相似三角形的性质与判定
1.[2017河北,7]若AABC的每条边长增加各自的10胞导B'C',则NB'的度数与其对应角的度数相比(D)
A.增加了10%B.减少了10%
C.增加了(1+10%)D.没有改变
2.[2016河北15]如图,4ABC中,NA=78°,AB=4,AC=6.将AABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三
角形下相似的是(C)
3.[2014河北13]在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
对于两人的观点,下列说法正确的是
甲:将边长为345的三角形按图(1)的方式向
外姓张,得到新三角影,它们的对应边问
距均为1*1新三角形与原三角影相似
乙:将邻边为3/5的矩影按图(2)的方式向外
姓张,得到新矩形,它仍的对应边间距均
为1,则新矩形与原矩形不相似.
A.两人都对B.两人都不对
C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对
4.[2011河北9]如图,在AABC中,NC=90。,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将AABC沿DE折叠,使点A落在点A'处若
A'为CE的中点,则折痕DE的长为
A.-B.2C.3D.4
考法2图形的位似
5.[2020河北,8]在如图所示的网格中,以点0为位似中心,四边形ABCI)的位似图形是
H
N
A.四边形NPMQB.四边形NPMR
C.四边形NHMQD.四边形NHMR
6.[2011河北20]如图,在6X8的网格图中,每个小正方形的边长均为1,点0和AABC的顶点均为小正方形的顶
点
⑴以0为位似中心,在网格图中作4A'B'C',使4A'B'C'和aABC位似,且位似比为1:2;
⑵连接⑴中的AA',求四边形AA'CC的周长(结果保留根号).
解:⑴如图:
(2)由(1)可知,AA'=CC'=2.
在RtAOA'C中,0A,=0C'=2彳导A'C'=22,
故AC=2A'C=1V2,
,四边形AA'CC的周长=AA'+A'C'+C'C+AC=2+2V2+2+4V2=4+6V2.
7.[2012河北23]如图⑴,点E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的aEABffiAEDC均是等腰直角三角形,
且在BC的同侧.
⑴AE和ED的数量关系为A4ED;
AE和ED的位置关系为AHED.
⑵在图⑴中,以点E为位似中心,作aEGF与AEAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD,分别得到了图
⑵和图⑶.
①在图⑵中,点F在BE±,AEGF与AEAB的相似比是1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GHJLHD.
②在图⑶中,点F在BE的延长线上,4EGF与AEAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时,恰
好使得GH=HD且GHJ_HD(用含k的代数式表示).
(1)AE=EDAE1ED
⑵①证明:由题意,知NB=NC=90°,AB=BE=EC=DC.
•.•△EGF与aEAB位似且相似比是1:2,
ZGFE=ZB=90°,GF=iAB,EF=|EB.
又H是EC的中点,
.,.EH=HC=1EC,
GF=HC,NGFH=/HCD,FH=CD,
.,.△HGF^ADHC,
.*.GH=HD,ZGHF=ZHDC.
XVZHDC+ZDHC=90°ZGHF+ZDHC=90°,
.•.ZGHD=90°,.'.GH±HD.
@Cli的长为k.
高分突破•微专项8“一线三等角”模型、“手拉手”模型、
“半角”模型和“对角互补”模型
模型一“一线三等角”模型
口强化训练
1.如图,在四边形ABCD中,NBAD=NACB=90°,AB=AD,AC=4BC,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为10.
2.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形0AB的一个顶点在原点处,NAB0=90°,OB=AB,已知点A⑵4),则点
B的坐标为(3,1).
3.⑴探索发现
如图⑴,在△ABC中,点D在边BC±,AABD与4ADC的面积分别记为Si与试判断金与黑的数量关系,并说明理
由;
⑵阅读分析
小东遇至U这样T问题如图⑵在RtAABC中,AB=AC,NBAC=90°,射线AM交BC于点D,点E,F在AM上,目
ZCEM=NBFM=90°,试判断BF,CE,E1-三条线段之间的数量关系.
小东利用一对全等三角形,经过推理使问题得以解决.
填空:①图⑵中的一对全等三角形为△AEMZkBFA;
②BF,CE,EF三条线段之间的数量关系为CE卜丁烟:.
⑶类比探究
如图⑶,在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点0,点E,F在射线AC上,且NBCF=NDEF=NBAD.
①判断BC,DE,CE三条线段之间的数量关系,并说明理由;
②若0D=30B,Z\AED的面积为2,直接写出四边形ABCD的面积.
图(1)图(2)图(3)
解:⑴£联
理由如下:
过点A作AE_LBC于点E.
VS,抑AE.S,处AE
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