2021年中考人教版数学一轮复习 第4章 三角形

第四章三角形

第一节几何初步、相交线与平行线

考点

易错自纠

易错点1因不理解点到直线的距离的定义而致错

1.点P为直线1外一点点A,B,C为直线1上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm测点P到直线1的距离是（D）

A.2cmB.4cmC.5cmD.不超过2cm

易错点2未给出图形求线段长或角度大小时忽略分类讨论致错

2.已知线段AB=8cm.在直线AB上画线段AC=5cm,则BC的长是3cm或13cm.

3.已知ZAOB=35°，以0为顶点作射线0C,若NA0C=2NAOB,贝！）3B0C=35°或105’.

易错点3误认为同位角（或内错角）一定相等

4.如图，与N2一定相等的角是（C）

A.Z1

B.Z3

C.Z4

D.Z5

真题

考法速览

考法1角的度量（10年1考）

考法2垂线（10年1考）

考法3角及角平分线（10年2考）

考法4平行线的判定与性质（10年4考）

考法1角的度量

1.[2017河北,3]用量角器测量NM0N的度数，下列操作正确的是(C)

cn

考法2垂线

2.[2020河北川如图,在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有

A.0条B.1条C.2条D.无数条

考法3角及角平分线

3.[2011河北,2]如图,N1+N2等于(B)

A.60°B.90°

C.110°D.180°

考法4平行线的判定与性质

4.[2015河北,8]如图,AB〃EF,CD_LEF,NBAC=50。，则NACD=

A.120°B.130°

C.140°D.150"

5.[2019河北,7]下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.

咒已知:如图,ZBEC=ZB+“

求证:AB〃CD.

证明:延长B皎交于点F.

«UBEC=_fi.+ZC（-:角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）

又ZBEC=Z.B+4C,

LB=A,故AB〃CD(旦相等,两直线平行).

则回答正确的是(C)

A.◎代表NFECB.@代表同位角

C.▲代表NEFCD.※代表AB

第二节三角形及其性质

考点

易错自纠

易错点1误认为三角形的高一定在三角形内部

1.已知AD是aABC中BC边上的高,AD=5,CD=4,BD=2,则aABC的面积等于5或15.

易错点2忽略三角形的三边关系致错

2.[2020贵州黔南州]已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为

A.9B.17或22C.17D.22

3.在AABC中,AC=2BC,BC边上的中线AD把4ABC的周长分成60和40两部分，则AC=48.

方法

命题角度1三角形的三边关系

G提分特训

1.[2019石家庄42中一模]如图,长度为10m的木条，从两边各截取长度为xm的木条，若得到的三根木条能组

成三角形，则x可以取的值为（C）

xmxm

10m

A.2mB.-m

2

C.3mD.6m

2.[2020浙江绍兴]长度分别为2,3,3/的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），

得到的三角形的最长边长为（B）

A.4B.5C.6D.7

命题角度2三角形的内角和外角

酶分特训

3.[2020辽宁锦州]如图，在AABC中,NA=30°,NB=50°,CD平分NACB,则NADC的度数是（C）

A.80°B.90°C.100°D.110°

4.[2019内蒙古赤峰]如图，在AABC中，点D在BC的延长线上，过点D作DE1AB于点E,交AC于点F.若

ZA=35°,ND=15°,则NACB的度数为(B)

A.65°B.70°

C.75°D.85°

命题角度：3三角形中的重要线段

0提分特训

5.[2020四川宜匍如图，点分别是4ABC的边AB,AC的中点，若NA=65°,NANM=45°,则NB=（I））

A.20°B.45°C.65°D.70°

6.[2020陕西]如图，在3X3的网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是AABC的高则

BD的长为(I))

噂同

真题

考法速览

考法1三角形的稳定性（10年1考）

考法2三角形的三边关系（10年2考）

考法3三角形的内角与外角（10年2考）

考法4三角形的中位线（10年3考）

考法1三角形的稳定性

1.[2018河北刀下列图形具有稳定性的是（A）

/n8c

ABCD

考法2三角形的三边关系

2.[2013河北15]如图⑴,M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC',且NB=30°,NC=100°,如图⑵.则

下列说法正确的是（C）

（：

___________

A__________MDA（D）B

图⑴图⑵

A.点M在AB上

B.点M在BC的中点处

C.点M在BC上,且距点B较近，距点C较远

D.点M在BC上,且距点C较近，距点B较远

3.[2011河北,10]已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数，则这样的三角形个数为（B）

A.2个B.3个C.5个D.13个

考法3三角形的内角与外角

4.[2014河北4]平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,l）相交所成的锐角是（B）

A.20°B.30°

C.70°D.80°

考法4三角形的中位线

5.[2015河北15]如图，点A,B为定点，定直线1〃AB,P是1上一动点，点M,N分别为PA,PB的中点，对于下列各值：

①线段MN的长；

②APAB的周长；

③△PMN的面积；

④直线MN,AB之间的距离；

⑤NAPB的大小.

其中会随点P的移动而变化的是（B）

A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤

AB

6.[2014河北,2]如图,Z\ABC中RE分别是边AB,AC的中点.若DE=2,则BC=（C）

A.2B.3C.4D.5

A

7.[2017河北17]如图,A,B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点C,连接CA,CB,并分别

延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为100m.

高分突破•微专项与角平分线相关的三大模型

口强化训练

1.[2019湖南张家界]如图，在4ABC中,NC=90°,BD平分NABC,AC=8,DCgAD,则点I)到AB的距离等于(C)

A.4B.3C.2D.1

2.[2020贵州贵阳]如图,Rt^ABC中,/C=90°,利用尺规在BC.BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以点D,E为圆

心、以大灵DE的长为半径作弧，两弧在

ZCBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为

A.无法确定B.1

C.1D.2

3.[2019唐山开平区一模]如图，在RtAABC中,NACB=90°,NBAC=30°,NBAC的平分线交BC于点D,过点D作

DE_LAB,垂足为E,连接CE交AD于点I-.有以下结论:①AB=2CE；②AC=4CD；③CE_LAD；④ZXDBE与AABC的面积比是

1：(7+4何

其中正确结论是

A.③④B.②③C.①②D.@@

4.[2019湖南永州]如图,/A0B=60°,OC是/AOB的平分线，点D为0C上一点，过点D作直线DE_LOA,垂足为点E,

且直线DE交0B于点F.若DE=2,则DF=1.

5.[2019石家庄42中三模]如图，在RtAABC中,NACB=90。，AC=4,BC=3.将RtAABC平移到RtAA'B'C'的位置，

使得点C'与aABC的内心重合，则图中阴影部分的面积为（D）

6.如图，直线MN〃PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,

以任意长为半径作弧，交AN于点C,交AB于点D;②分别以点C,D为圆心、大于的长为半径作弧,两弧在

ZNAB内交于点E;③作射线AE,交PQ于点F.若AB=2,NABP=60°,则线段AF的长为

7.[2019湖北荆州]如图，矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在NM0N的边OM,ON上若0A=0C,要求只用无刻度的直尺

作NMON的平分线，小明的作法如下:连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE平分NMON.有以下几条几何性

质:①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据是（C）

A.①②B.①③C.②③D.①©③

8.如图所示,M是AABC的边BC的中点,AN平分NBAC,BN_LAN于点N,连接MN,若AB=8,MN=2,则AC的长是

12.

9.如图,ED是NBEA的平分线,ZB=NEAC,ED_LAD.求证:AD平分NBAC.

A

证明如图，延长AD交BC于点F,

「ED是NBEA的平分线，

AZAED=ZFED.

又NFDE=1800-ZADE=90°=ZADEJ)E=DE,

AAEFD^AEAD,

AZDAE=ZDFE,

ZFAC+ZCAE=ZBAF+ZB.

又/B二NEAC,，ZFAC=ZBAF,

AAD平分NBAC.

10.如图，在AABC中,NABC=3NC,NBAC的平分线AD交BC于点D,BE±AD于点E.求证:AC-AB=2BE.

证明如图，延长BE交AC于点F,易证△ABE峪aAFE,

.,.AF=AB,BE=EF,ZAFB=ZABF,

工ZFBC+ZC=ZABC-ZFBC.

又/ABC=3NC,.\ZFBC+ZC=3ZC-ZFBC,

ZFBC=ZC,AFC=FB=2BE,

?.AC-AB=AC-AF=CF=2BE.

第三节等腰三角形和直角三角形

考点

易错自纠

易错点1已知等腰三角形一个角的度数,求顶角（或底角）的度数时忽略分类讨论

1.若等腰三角形的一个内角为50。厕该三角形顶角的度数是50,或80”.

易错点2解决特殊三角形的存在性问题时忽略分类讨论

2.在AABC中,AB=AC,NBAC=100°,点D在BC边上，连接AD,若AABD为直角三角形，则NADC的度数为90或

130°.

方法

命题角度1等腰三角形的性质与判定

目提分特训

1.[2020湖北黄冈]已知如图在△ABC中，点D在边BC±,AB=AD=DC,ZC=35°，则NBAD=40度.

2.[2019重庆A卷]如图，在AABC中,AB=AC,D是BC边上的中点，连接AD.BE平分/ABC交AC于点E,过点E作

EF〃BC交AB于点F.

⑴若NC=36°,求/BAD的度数;

(2)求证:FB=FE.

⑴解:AB=AC,点I)为BC的中点,

.,.ZABC=ZC=36°,AD±BC,

AZBAD=900-ZABC=90°-36°=54°.

⑵证明:tBE平分NABJEF〃分,

，ZABE=ZEBC,ZFEB=ZEBC,

，ZFEB=ZABE,

AFB=FE.

命题角度2等边三角形的性质与判定

G提分特训

3.如图,Z\ABC是等边三角形J是三角形内任意一点,DEF分别是AC,AB,BC边上的三点，且PF〃AB,PD〃BC,PE〃

AC.若PF+PD+PE=a，则AABC的边长为

A.V2aB.V3a

C.—aD.a

4.[2020江苏常州]如图，在AABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若4AFC是等边三角形，则NB=

30°.

命题角度：；直角三角形的性质与判定

口提分特训

5.[2020浙江宁波]如图，在RtAABC中,ZACB=90°,CD为中线，延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE的中点,

连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为

A.2B.2.5C.3D.4

6.[2019陕西]如图，在4ABC中,NB=30°,NC=45°,AD平分NBAC交BC于点D,DE_LAB,垂足为E.若DE=1,则BC

的长为

A.2+V2B.V2+V3C.2+V3D.3

考法速览

考法1等腰三角形的性质与判定（10年3考）

考法2等边三角形的性质与判定（10年2考）

考法3直角三角形的性质与判定（10年3考）

考法1等腰三角形的性质与判定

1.[2018河北,8]已知:如图，点P在线段AB外，且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,

需添加辅助线，则下列作法不正确的是

A.作NAPB的平分线PC,交AB于点C

B.过点P作PC±AB于点C,且AC=BC

C.取AB中点C,连接PC

D.过点P作PC_LAB,垂足为点C

考法2等边三角形的性质与判定

2.[2016河北,16]如图,NA0B=120°,OP平分NAOB,且0P=2.若点M,N分别在OA,OB上，且△PMN为等边三角形，则

满足上述条件的aPblN有（D）

A.1个B.2个

C.3个D.3个以上

3.[2013河北13]一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示若N3=50。，则Nl+N2=

A.90°

B.100°

C.130"

D.180°

考法3直角三角形的性质与判定

4.[2020河北16]如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸

片，面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块（可重复选取）按如图所示的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大

的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是

A.1,4,5B.2,3,5

C.3,4,5D.2,2,4

5.[2012河北14]如图,AB,CD相交于点O,AC_LCD于点C,若NBOD=38°,则ZA等于52°.

0y8°D

B

6.[2019河北,19]勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A,B,C三地的坐标，数据如图(单位:km).笔

直铁路经过A,B两地.

(1)A,B间的距离为km；

⑵计划修一条从C到铁路AB的最坦公路1,并在1上建一个维修站D,使D到A.C的距离相等，则C,D间的距离

为13km.

•C(0,-17)

高分突破•微专项。与中点相关的五大模型

G强化训练

1.如图,已知在AABC中,/B=25°,点D在边CB上，且NDAB=90°,AC=|BD.则/BAC的度数为105.

A

BDC

2.[2019山东临沂]如图在AABC中,NACB=120。，BC=4,点D为AB的中点DC_LBC,则AABC的面积是一

c

-------------D--------------B

3.如图，在△ABC中,BC=18,BD,CE是高点F,G分别为BC,DE的中点，若ED=10,则FG的长为,g_.

4.[2020山东德州中考节选]问题探究：

小红遇到这样一个问题:如图⑴,AABC中,AB=6,AC=4,AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是:延长AD到E,使

DE=AD,连接BE,证明ABED峪ACAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：

⑴小红证明ABED附ZXCAD的判定定理是SAS.

(2)AD的取值范围是1〈AD〈5.

方法运用：

⑶如图⑵,AD是AABC的中线，在AD上取一点F,连接BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证:BF=AC.

AA

EB，一方一

图⑴图⑵

(l)SAS

(2)1<AD<5

解法提示:VABED^ACAD,

ABE=AC=4.

在△ABE中，根据三角形的三边关系得.\B-BE<AE<AB+BEf

.\2<2AD<10,

A1<AD<5.

⑶证明:如图，延长AD至A',使DA'二AD,连接BA',

「AD是AABC的中线,

ABD=CD.

又丁NADC=NBDA',AD=DA',

.'.△ADC^AA,DB,

.•.AC=BA\ZCAD=ZA\

VAE=EF;

・,./EAF=NAFE,又/AFE=NBFA'f

?.ZA,=ZBFA\

.'.BF=BA,,

ABF=AC.

5.如图在aABC中,AB=AC,点I)是BC的中点,DELAB于点E,若DE=2,则点D到AC的距离为2.

6.[2020贵州黔西南州中考改编]如图，在RtAABC中,NACB=90"AC=BO4,点D为AB的中点，以点D为圆心作扇

形DEF,且NEDF=90°舒经过点C.将扇形DEF绕点D旋转，使点C始终在京上（不与点E,F重合）,DE,AC交于点

G,DF,BC交于点H,求四边形DGCH周长的最小值.

R

A

解如图，连接CD.

•••/ACB=90°,点D为AB的中点,AC=BC,

；./A=NDCH=45°,AD=CD,CD±AB.

又NEDF=90°,ZADG=ZCDH,AADG^ACDH,

DG=DH,AG=CH,:.CG+CH=CG+AG=AC=4.

故当DH+DG取最小值，即DH±BC时,四边形DGCII的周长最小.

又此时DH-DG=2DU=2X：ACE,，四边形DGCII周长的最小值为1+1=8.

7.如图，在△ABC中点l),E,F分别是AB,AC,BC的中点，已知NADE=45°,则NCFE的度数为

A.40°B.45°C.50°D.55°

8.如图，在四边形ABCD中,AD=BC,点E,F,G分别是AB,CD,AC的中点，连接EF,EG,若NDAC=15°,NACB=87°,则NFEG

的度数为36”.

9.如图，在RtAABC中,NB=90°,AB=2倔BC=3,E是AC的中点，延长BC至点F,使CF=：BC,连接EF,求EF的长.

解如图，取AB的中点D,连接DE.CD,

则DE〃BC,DE)BC,

又V(片BC,/.DE=CF,.•.四边形DCFE是物亍四边形,

.,.EF=CD.

在RtZXBCD中,•.•NB=90。,BD=iAB=V5,BC3,

CD=VBD2+BC2-V14,.,.EF=CD=V14.

10.如图，在RtAABC中,NC=90°,边AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点N,若AC=遍,MB=2MC,则AB的长度

为乐.

11.如图,在菱形ABCD中才安以下步骤作图:以点A,D为圆心、大于*AD的长为半径作弧，两弧交于点P,Q,作直线

PQ.已知直线PQ恰好经过点B,若AB=4,则点B到CD的距离为,、倍_.

第四节全等三角形

考点

易错自纠

易错点1不能灵活运用全等三角形的判定定理解决问题致错

L小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（分别标有①②③④）,若带着其中一块去配与原来一样大

小的三角形玻璃,应该带（D）

A.①B.②C.③D.@

易错点2误用“SSA”判定三角形全等

2.如图,ZBDA=NBDC,现添加以下条件不能判定AABD用ZXCBD的是（C）

A.ZA=ZC

B.ZABD=ZCBD

C.AB=CB

D.AD=CD

易错点3忽略“△，与全等”和的区别

3.如图，在4ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点

运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为vcm/s,则当ABPD与△CQP全等时,v的

值为2或3.

方法

命题角度全等三角形的判定与性质

口提分特训I

1.[2019贵州安顺]如图，点B,F,C,E在f直线上,AB〃ED,AC〃FD,那么添力吓列1^条件后,仍无法判定

△ABC^ADEF的是（A）

A.ZA=ZDB.AC=DF

C.AB=EDD.BF=EC

2.[2020辽宁辽阳]如图，在AABC中,M,N分别是AB和AC的中点，连接MN,点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC

的延长线于点D,若BC=4,则CD的长为2.

3.[2020江苏常州]已知:如图，点A,B,C,D在一条直线上,EA〃FB,EA=FB,AB=CD.

⑴求证:NE=NF;

⑵若NA=40°,/D=80°,求NE的度数.

AB

⑴证明：；EA〃FB,

.=/A=/FBD.

•.,AB=CD,

/.AB+BC=CD+BC,gpAC=BD.

(EA=FB,

在AEAC与aiiBD中,=zFBD,

(AC=BD,

.,.△EAC^AFBD,

:.ZE=ZF.

(2)VAEAC^AFBD,

.,.ZECA=ZD=80".

RVZA=4O0,

.,.ZE=180°-40°-80°=60°.

真题

考法全等三角形的性质与判定（必考）

1.[2019河北,23（1）]如图，在AABC和4ADE中小8=人口=6,13。=口£,/13=/口=30°,边AD与边BC交于点P（不与点B,C

重合），点B,E在AD异侧,1为4APC的内心.求证:NBAD=NCAE.

证明：；AB=AD,ZB=ZD,BC=DE,

AAABC^AADE,

ZBAC=ZDAE,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

/.ZBAD=ZCAE.

2.[2016河北21]如图，点B,F,C,E在直线1上（F,C之间不能直接测量），点A,D在1异侧，测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

⑴求证:/XABC当ADEF;

⑵指出图中所有平行的线段，并说明理由.

⑴证明:•；BF=EC,

；.BF+FC=EC+CF,即BC=EF.

又AB=DE,AC=DF,

.,.△ABC^ADEF.

⑵AB〃DE,AC〃DF.

理由:「△ABC/ZiDEF,

ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,

AAB//DE,AC//DF.

3.[2018河北23]如图,NA=NB=50。，P为AB中点点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP,并使

MP的延长线交射线BD于点N,设NBPN=a.

⑴求证:△APM名ZXBPN;

⑵当MN=2BN时，求a的值；

⑶若aRPN的外心在该三角形的内部，请直接写出a的取值范围.

⑴证明:为AB中点

.\PA=PB=-iAB.

2

Z.A=Z.B,

在aAPM和△BP\中，PA=PB,

ZAPM=ZBPN,

.'.△APM^ABPN.

⑵由⑴得,△APM丝ABPM

・・・PM=PN&IN.

2

VMN-2BN,

...B\』MN=PN,

2

a=ZB=50°.

⑶40。<a<90°.

解法提示:：锐角三角形的外心、在三角形的内部,

...△BPN是锐角三角形，

rO0<a<90°,

"l00<180°-50°-a<90°,

解得40。<a<90".

高分突破•微专项；构造全等三角形中的两大辅助线技巧

技巧一利用旋转构造全等三角形

日强化训练

1.如图，点P为等边三角形ABC内的一点，且点P到4ABC三个顶点A,B,C的距离分别为1,凡福则4ABC的面

2.如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，点F为CD上一点,BE+DF=EF,则NEAF的度数为Q.

3.如图，在AABC中,NC=90°,点D,E,F分别在边CA,AB,BC上，且四边形CDEF是正方形，已知BE=2.2,EA=4.1,则

△BFE和AAED的面积之和为4.51.

4.如图,0A=0D,0A_L0D,0B=0C,0B_L0C,经过点0的直线1分别交AB,CD于点E,F.

(1)求证:S.AOAB二SzsOG)；

⑵若直线1平分CD,求证：0F=抑

⑴证明：Y0A=0D,

...可将△A0B以点0为旋转中心旋转至△DOG的位置如图所示测aAOB名△DOG,

SzkOAH=SZMMJG,NA0B=ND0GQB=0G.

・・・OA_LOD,OB=OC,OB_LOC,

・•・ZCOD+ZAOB=ZCOD+ZDOG=1800,0C=0G,

・,.CQG三点共线,0D为ACDG中CG边上的中线,

SAOI^SAOCD,•0•SAOAR=SZXOCD.

⑵证明:,・,直线1平分CD,

ACF=DF.

由⑴可知,OC=OG,

.,.OF为△CDG的中位线,...OFWOG,

由旋转性质可得DG=AB,

.\OF4AB.

技巧二利用截长补短法构造全等三角形

G强化训练

5.如图，在AABC中,NCAB=NCBA=45°,点E为BC的中点,CN_LAE.

⑴求证：N1=N2；

⑵求证:AE=CN+EN.

⑴证明:：NCAB=NCBA=45。,

...NACB=90°,：.NACN+N1=9O°.

•.•AE±CN,AZ2+ZACN=90°,AZ1=Z2.

⑵证明：

方法一（截长法）:如图⑴，在线段AE上截取AM=CN,连接CM.

图⑴

易知AC=BC,又N1=N2,AM=CN,

.,.△ACM^ACBN,

.,.CM=BN,ZACM=ZB=45°,

ZMCE=45°,AZB=ZMCE.

（CM=BN,

在△》口；和△NBE中,/MCE=zB,

CE=BE,

.,.△MCE<△NBE,；.EM=EN,

.\AE=AM+EM=CN+EN.

方法二（补短法）:如图⑵，延长CN到点M,使CM=AE,连接BM.

图⑵

易知CB=CA,又N1二N2£M=AE,

.,.△ACE^ACBM,

・・・CE二BM二BE,NCBM二NACE=90°,

.,.ZMBN=45°=NNBE.

(BN=BN,

在△NBV和ANBE中，4NBM=ZNBE,

(BM=BE,

.,.△NBM^ANBEfANM=EN,

.'.AE=CM=CN+NM=CN+EN.

6.如图，在AABC中,AB=AC,点D是边BC下方一点.

(1)如图(1),若NBAC=60°，/BDC=120°,求证:AD=BD+CD；

⑵如图⑵，若NBAC=90°,NBDO900,求证:AD邛(BD+CD).

图⑴图⑵

⑴证明如图⑴，延长DC到点E,使CE二BD,连接AE.

图⑴

VZBAC=60°fZBDC=120°,

.,.ZABD+ZACD=180°.

5Z.VZACE+ZACD=180°,

AZABD=ZACE.

又TAB=AC£E=BD,

AAABD^AACE,

・・・AD=AE,NBAD=NCAE,

.,.ZDAE=ZBAC=60°,

••.△ADE是等边三角形，

AAD=DE=CE+CD=BD+CD.

⑵证明:如图⑵，延长DC到点E,使CE二BD,连接AE.

图⑵

VZBAC=90°,ZBDC=90°f

.\ZABD+ZACD=180",

XVZACE+ZACD=180°,

・•・/ABD二NACE.

XVAB=AC,CE=BDr

.'.△ABD^AACE,

・・.AD=AR/BAD=/CAE,

AZDAE=ZBAC=90°,

.*.Al)-yI)l：-y((-E+CD)-y(BD+CD).

第五节相似三角形(含位似)

考点

易错自纠

易错点1求两条线段的比时因长度单位不统一而致错

L一幅地图中甲、乙两地的图上距离3cm表示实际距离150km,这幅地图的比例尺是1：5000000.

易错点2弄错相似三角形的面积比与相似比的关系

2.[2020四川内江]如图，在4ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,S四翊.产15,则SAABC=(D)

A

/A

BC

A.30B.25C.22.5D.20

易错点3未找准对应线段

3.如图，在△ABC中,DE〃BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE:BC的值为

易错点4忽略“△1与相似”和“△口△」的区别

4.在AABC中,AB=4,AC=5,点D是AB的中点，点E在AC上，连接DE,若4ADE和AABC相似，则AE的长为_：或

8

5—.

易错点5求位似变换后点的坐标时易漏解

5.在平面直角坐标系中，已知点A(-4,2),B(-6,-4),以原点0为位似中心,相似比为右把△ABO缩小，则点A的对应点

A'的坐标是(D)

A.(-2,1)B.(-8,4)

C(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)

方法

命题角度1相似三角形的判定与性质

目提分特训

1.［2020贵州铜仁］已知△FHBsaEAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为（A）

A.3B.2C.4D.5

2.［2020石家庄新华区一模］如图，在AABC中，点D在AB上,AD=5,CE是△!«：［）的角平分线，且CE=6.当NBCD=2NA

时,DE的长为（B）

A.3B.4C.5D.6

A

3.［2020石家庄一模］如图,Rt^ABC是一块铁板余料，已知NA=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成f形状为

平行四边形（"DEFG）的工件，使GF在边BC上,D,E两点分别在边AB,AC上，且DE=5cm,则，DEFG的面积为（B）

A.24cm'B.12cm'C.9cm2D.6cm2

4.［2020四川遂宁］如图,在平行四边形ABCD中,NABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,

若AF=2FD狈嚷的值为（C）

5.［2020江苏苏州］如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DFJ_AE,垂足为F.

⑴求证:△ABES/XDFA;

⑵若AB=6,BC=4,求DF的长.

⑴证明二,四边形ABCD是矩形,

.•.ZB=90",AD〃BC,

/.ZAEB=ZDAF,

VDF±AE,.,.ZDFA=90<>,

；./B=/DFA,

.".△ABE^ADFA.

⑵解:,••△ABES^DFA,..提隽

•；BC=4,E是BC的中点,.'BE二BC』X4=2,

RtAABEcp/AE-VAB2+BE2V62+222匹.

又•••AD=BC=4,.*=字，

...DF等

命题角度2图形的位似

口提分特训

6.[2020唐山路北区二模]如图，以点0为位似中心，把AABC放大为原图形的2倍得到AA'B'C',以下说法中错

误的是(C)

A.AABC^AA'B'C

B.点C,O,C'三点在同一直线上

C.AO:AA'=1：2

D.AB〃A'B'

7.方格纸中每个小正方形的边长都是单位I,^OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示.

⑴请按要求对aOAB作变换:以点0为位似中心，位似比为2：1,将△OAB在位似中心的异侧进行放大得到

△OA'B'（点A,B的对应点分别为点A',B'）.

⑵写出点A'的坐标.

⑶求△OA'B'的面积.

%

解：（1）如图所示,△（），''B'即为所求.

⑵点A'的坐标为(6,-2).

⑶△OA'B'的面积为6X4-1X2X4^X2X4-|X2X6=1O.

真题

考法速览

考法1相似三角形的性质与判定（10年4考）

考法2图形的位似（10年3考）

考法1相似三角形的性质与判定

1.[2017河北,7]若AABC的每条边长增加各自的10胞导B'C',则NB'的度数与其对应角的度数相比（D）

A.增加了10%B.减少了10%

C.增加了（1+10%）D.没有改变

2.[2016河北15]如图,4ABC中,NA=78°,AB=4,AC=6.将AABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三

角形下相似的是（C）

3.[2014河北13]在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下:

对于两人的观点，下列说法正确的是

甲:将边长为345的三角形按图（1）的方式向

外姓张,得到新三角影,它们的对应边问

距均为1*1新三角形与原三角影相似

乙:将邻边为3/5的矩影按图（2）的方式向外

姓张,得到新矩形,它仍的对应边间距均

为1,则新矩形与原矩形不相似.

A.两人都对B.两人都不对

C.甲对,乙不对D.甲不对，乙对

4.[2011河北9]如图，在AABC中,NC=90。，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将AABC沿DE折叠，使点A落在点A'处若

A'为CE的中点，则折痕DE的长为

A.-B.2C.3D.4

考法2图形的位似

5.[2020河北,8]在如图所示的网格中，以点0为位似中心,四边形ABCI）的位似图形是

H

N

A.四边形NPMQB.四边形NPMR

C.四边形NHMQD.四边形NHMR

6.[2011河北20]如图，在6X8的网格图中，每个小正方形的边长均为1,点0和AABC的顶点均为小正方形的顶

点

⑴以0为位似中心,在网格图中作4A'B'C',使4A'B'C'和aABC位似，且位似比为1:2；

⑵连接⑴中的AA',求四边形AA'CC的周长（结果保留根号）.

解:⑴如图:

(2)由(1)可知,AA'=CC'=2.

在RtAOA'C中,0A，=0C'=2彳导A'C'=22，

故AC=2A'C=1V2,

,四边形AA'CC的周长=AA'+A'C'+C'C+AC=2+2V2+2+4V2=4+6V2.

7.[2012河北23]如图⑴，点E是线段BC的中点，分别以B,C为直角顶点的aEABffiAEDC均是等腰直角三角形,

且在BC的同侧.

⑴AE和ED的数量关系为A4ED；

AE和ED的位置关系为AHED.

⑵在图⑴中，以点E为位似中心，作aEGF与AEAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH,HD,分别得到了图

⑵和图⑶.

①在图⑵中，点F在BE±,AEGF与AEAB的相似比是1：2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GHJLHD.

②在图⑶中，点F在BE的延长线上,4EGF与AEAB的相似比是k：1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时，恰

好使得GH=HD且GHJ_HD（用含k的代数式表示）.

(1)AE=EDAE1ED

⑵①证明:由题意，知NB=NC=90°,AB=BE=EC=DC.

•.•△EGF与aEAB位似且相似比是1:2,

ZGFE=ZB=90°,GF=iAB,EF=|EB.

又H是EC的中点，

.,.EH=HC=1EC,

GF=HC,NGFH=/HCD,FH=CD,

.,.△HGF^ADHC,

.*.GH=HD,ZGHF=ZHDC.

XVZHDC+ZDHC=90°ZGHF+ZDHC=90°,

.•.ZGHD=90°,.'.GH±HD.

@Cli的长为k.

高分突破•微专项8“一线三等角”模型、“手拉手”模型、

“半角”模型和“对角互补”模型

模型一“一线三等角”模型

口强化训练

1.如图，在四边形ABCD中,NBAD=NACB=90°,AB=AD,AC=4BC,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为10.

2.如图,在平面直角坐标系中，等腰直角三角形0AB的一个顶点在原点处,NAB0=90°,OB=AB,已知点A⑵4）,则点

B的坐标为（3,1）.

3.⑴探索发现

如图⑴，在△ABC中，点D在边BC±,AABD与4ADC的面积分别记为Si与试判断金与黑的数量关系，并说明理

由；

⑵阅读分析

小东遇至U这样T问题如图⑵在RtAABC中,AB=AC,NBAC=90°,射线AM交BC于点D,点E,F在AM上，目

ZCEM=NBFM=90°,试判断BF,CE,E1-三条线段之间的数量关系.

小东利用一对全等三角形,经过推理使问题得以解决.

填空:①图⑵中的一对全等三角形为△AEMZkBFA；

②BF,CE,EF三条线段之间的数量关系为CE卜丁烟：.

⑶类比探究

如图⑶，在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点0,点E,F在射线AC上，且NBCF=NDEF=NBAD.

①判断BC,DE,CE三条线段之间的数量关系,并说明理由；

②若0D=30B,Z\AED的面积为2,直接写出四边形ABCD的面积.

图（1）图（2）图（3）

解:⑴£联

理由如下：

过点A作AE_LBC于点E.

VS,抑­AE.S,处­AE