物理ii下课件量子

上次课练习答案2.当波长为3000Å

的光照设在某金属表面时，光电子的能量范围从0

到4.010-19J。在上述光电效应实验时遏制电压为|Ua|=

V；此金属的红限频率n0

=

Hz。2.54.01014

1.光电效应中光电子的动能与入射光频率的关系如图所示。根据图，则(1)逸出功为

；(2)红限频率为

；(3)可确定普量克常量为

。(a、b

均为正值)Oa-bnmv2/2bab/a3.分别以频率为n1

和n2

的单色光照射某一光电管。n1>n2(均大于红限频率n0)；则当两种频率的入射光的光强相同时，所产生的光电子的最大初动能E1

E2；为阻止电子到达阳极，所加的遏制电压|Uc1|

|Uc2|所产生的饱和光电流im1

im2。(填>或<或=)<>>4.以波长为0.2mm

的光照射一铜球，铜球放出电子。若将铜球充电，问至少充到

电势时，则再用此种光照射，铜球将不再放射电子。(铜的逸出功为4.47eV)5.一铜球用绝缘细丝线悬挂于真空中，被波长l为0.2mm的光照射。问铜球因失去电子而能达到的最高电势是

。(铜逸出功为4.47eV)1.74Vl1.74VD一光子与电子的波长都是2Å，则它们的动量和总能量之间的关系是(A)总动量相同，总能量相同。(B)总动量不同，总能量也不同，且光子的总动量与总能量都小于电子的总能量与总动量。(C)总动量不同，总能量也不同，且光子的总动量与总能量都大于电子的总能量与总动量。(D)它们的动量相同，电子的能量大于光子的能量。二、玻恩对波函数的统计诠释

本身并无物理意义，而波函数的模的平方(波的强度)代表时刻

t、在空间

r

点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。——称为“概率幅”，——称为概率密度。1954年玻恩获诺贝尔物理学奖。1.玻恩假定

为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数。波函数由来描述，它是时间和空间的复函数。在一般情况下，微观粒子的波函数是复函数，它本身并不代表任何可观测的物理量。

那么，波函数是如何描述微观粒子运动状态的？它和粒子在空间各处出现的概率有什么联系？2.波函数应满足的条件：(1)

自然条件：单值、有限、连续(2)

归一化条件：粒子在空间各点的概率总和应为1，即(3)

状态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态，

1，

2···

，则它们的线性组合

=C1

1+C2

2+···

也是该体系的一个可能的状态。其中C1、C2···为任意复常数。

这里是的复共轭，将中的i变成–i即得到。在体积元dV=dxdydz中发现粒子的概率3.对电子双缝衍射实验的说明：

在电子双缝干涉实验中，用波函数和分别表示从缝1、缝2通过电子的状态。两缝同时开启时，电子的波函数为根据玻恩统计假设，屏上发现电子的概率分布为只开缝1时电子出现的概率密度只开缝2时电子出现的概率密度两缝同时打开时还有干涉项，正是产生双缝干涉的原因

玻恩用概率解释把微观粒子的波动性和粒子性统一起来，他的统计诠释可圆满地解释所遇到的实验现象，玻恩的统计诠释成为量子力学的一个基本假设。D将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布几率将(A)增大D2倍。(B)增大2D倍。(C)增大D倍。(D)不变。

波函数本身“测不到，看不见”，是一个很抽象的概念，但是它的模方给我们展示了粒子在空间分布的图像，即粒子坐标的取值情况。当测量粒子的某一力学量的取值时，只要给定描述粒子状态的波函数，按照量子力学给出的一套方法就可以预言一次测量可能测到哪个值，以及测到这个值的概率是多少。

对波恩的统计诠释是有争论的，爱因斯坦就反对统计诠释。他不相信“上帝玩掷骰子游戏”，认为用波函数对物理实在的描述是不完备的，还有一个我们尚不了解的“隐参数”。虽然至今所有实验都证实统计诠释是正确的，但是这种关于量子力学根本问题的争论不但推动了量子力学的发展，而且还为量子信息论等新兴学科的诞生奠定了基础。§12.4.4自由粒子波函数表达式为：

(x,y,z;t)它是由经典力学的波函数引申而来的。一维平面简谐行波写成复数形式将有考虑实物粒子的波粒二象性，有为与经典力学加以区别，

取代y，

0取代A三维空间一维空间运动的自由粒子波函数式中Y0代表归一化常数，E是自由粒子的动能。在非相对论情况下式中m为粒子质量。因为自由粒子不受外力场作用，其动能就是总能量。

在量子力学中，设自由粒子以动量px

沿x

轴方向运动，其德布罗意波的波函数可以写成类似经典平面波表达式的复数形式，只要把其中描述波动性的参量w和k表示成描述粒子性的参量E和px就可以了。则自由粒子波函数可以写成如下形式[例]

将波函数归一化。计算积分得：则归一化的波函数为:归一化它解：设归一化因子为

A，则波函数为

一、不确定关系经典力学：任意时刻质点在轨道上有确定的位置和速度，表示为:§12.5不确定关系

(Uncertaintyrelation)

量子力学：粒子的空间位置用概率波描述，任一时刻粒子不能同时具有确定的位置和动量。在某一方向，粒子位置的不确定量和该方向上动量的不确定量有一个简单的关系，被称为不确定关系。1)位置的不确定程度

电子在单缝处的位置不确定量为二、不确定关系的实验研究I2）单缝处电子的动量的不确定程度U忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内，则：x方向上的动量不确定量为：或：定义：约化普朗克常量考虑到衍射条纹的次级极大,可得代入(2)式有

海森伯（W.Heisenberg）1927年由量子力学给出更严格的结论，位置和动量的不确定关系：海森堡获1932年诺贝尔物理学奖三、更一般的结论：四、能量与时间的不确定性关系粒子可能发生的位移能级自然宽度和寿命两边微分超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。2.不确定关系对宏观物体不显现作用。如m=1g的物体，不超过10-6m（这是可以做到的），讨论1.不确定关系说明：微观粒子在某个方向上的坐标和动量不能同时准确地确定，其中一个不确定量越小，另一个不确定量越大，若为零，则为无穷大。隔壁车库内的汽车突然闯入了客厅

这在微观世界里是可能发生的图象。该图包含着两个物理内容：1.由不确定关系，汽车在车库中永远不会静止。2.物体在有限势阱内（车库的壁）有一定透出的概率。

该图出自伽莫夫的《物理世界奇遇记》事实上，因为h是极小的量，不确定关系对宏观物体不显现作用例1原子线度按估算，原子中的电子的动能按估算，求原子中电子运动速度的不确定量。电子速度的不确定度为解：原子的线度就是原子中电子的位置不确定度，

按照经典力学计算，电子的速度为

有相同的数量级，即粒子的速度完全不确定。

和由不确定关系例2：电视显像管中电子的加速电压为9kV，电子枪枪口的直径为0.1mm,求电子射出枪口后的横向速度。解：Δx=0.1mm=1×10-4

mm=9.11×10-31kg

=1.2

m/s=6

107m/s例3．求线性谐振子的最小可能能量。解:线性谐振子沿直线在平衡位置附近振动，坐标和动量都有一定限制，即沿x方向的线性谐振子能量为：因此可以用坐标-动量不确定关系来计算其最小可能能量，为求E的最小值，先计算令可得可得最小可能能量为思考:?

在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给出了物体运动状态随时间的变化规律。

在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔方程描述。所谓微观粒子的运动规律，也就是波函数Y

随时间和空间的变化规律。Y

满足的方程，薛定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位相当于经典力学中牛顿方程的地位。

玻恩的统计观点解释了微观粒子波动性和粒子性之间的关系，但是并没有说明波函数是如何随时间变化的，我们还需要知道微观粒子的运动遵循什么样的规律？§12.6薛定谔方程(SchrödingerEquation)问题的提出：德拜：问他的学生薛定谔能不能讲一讲

DeBroglie的那篇学位论文呢？

一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗意的论文。德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。

由于经典力学根本没有涉及波粒二象性，微观粒子运动遵循的方程肯定不能由经典力学导出，它必须根据实验现象重新建立。

薛定谔(1926)提出了描述微观粒子运动规律的非相对论性的薛定谔方程.。

狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。§12.6.1自由粒子薛定谔方程粒子在x

方向匀速直线运动，E、px

不变一维自由粒子薛定谔方程波函数为对x求二阶偏导对t求一阶偏导由可得

——对波函数的运算、变换或操作。：算符代表用乘波函数；

：对波函数取复共轭。：算符代表对波函数关于求导；：算符代表对波函数关于求导；算符是通过对波函数的作用关系来定义的。例如算符(operator)物理启示：定义能量算符、动量算符、坐标算符

§12.6.2薛定谔方程和哈密顿量若粒子处于势场U(x,t)

中，能量关系为1.势场中一维运动粒子的薛定谔方程算符对应关系：作用于波函数，得薛定谔方程2.一般薛定谔方程若粒子做三维运动将势场中一维粒子的薛定谔方程推广到一般情况引入拉普拉斯算符引入哈密顿算符用哈密顿算符，薛定谔方程可写成

若势函数U不显含时间，薛定谔方程可分离变量求解。哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化，外界对粒子的作用，包括不能用力来表达的微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的势函数U(x,t)来概括。而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。

只讨论势函数U与时间无关的情况。(3)|Y

|2

给出粒子在任意时刻在任一位置出现的概率密度。——一般薛定谔方程运用方法：(1)已知粒子质量m

和它在势场中势能函数U

的形式便可列薛定谔方程。

(2)根据初始条件、边界条件求解，得波函数Y。它并非推导所得，是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒子波函数随时间演化规律。若和是薛定谔方程的解，则也是薛定谔方程的解。

是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理

方程中含有虚数i它是一个复数偏微分方程；其解波函数Y

是一个复函数。复数不能直接测量。而|Y

|2

代表概率密度，可测量。3.

定态薛定谔方程若

U=U(x,y,z)，与

t

无关，

自由运动粒子——U=0

氢原子中的电子——如：则

(x,y,z;t)能分成二部分函数的乘积

(x,y,z;t)=

(x,y,z)f(t)例如，对于一维运动的情况，波函数可写成将其代入薛定谔方程，得两边除以

f，得=

E

(常数)可得含变量t

和变量x

的两个方程：

一个是变量为t

的方程

其解为

(A

是待定复常数，E

有能量量纲，以后可知是粒子的总能量)即——(★)——(★)

一个是变量为x

的方程一维定态薛定谔方程此式解为：

(x)即此时，概率密度也可以用|

(x)|2

来表示，即在定态下概率分布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。

(x)

称为定态波函数。对势能函数

U

与时间t

无关的一维定态问题，只需解定态薛定谔方程

(★)式，再利用(★)式即可得波函数

(x,t)。由上面可以看出：——

三维直角坐标系的定态薛定谔方程或称能量本征方程则薛定谔方程的特解为：三维：

如果一个算符作用到波函数上等于一个数乘这个波函数，则称这个波函数是该算符的本征函数，这个数值称为该算符的本征值，这个方程称为该算符的本征方程。因此，定态薛定谔方程式也称为哈密顿算符的本征方程，或能量算符的本征方程。

利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以“自然地”得到微观粒子的重要特征—量子化结果，而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方程的结果，已被无数实验所证实。定态薛定谔方程的意义：讨论

对波函数进行某种运算或作用的符号称为算符。[例]一维自由运动微观粒子的波函数。其定态薛定谔方程为——

二