2024届高三物理复习小练习(十五)　万有引力定律　相对论（解析版）

2024届高三一轮复习小练(十五)万有引力定律相对论1．(选自教科版新教材)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：选C太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得eq\f(r火3,T火2)＝eq\f(r木3,T木2)，故eq\f(T火2,T木2)＝eq\f(r火3,r木3)，C正确。2．(多选)质量为m的小物块静止在赤道处，下列关于小物块所受引力和重力的说法正确的是()A．小物块所受重力的方向一定指向地心B．小物块所受引力的方向一定指向地心C．若地球自转加快，小物块所受重力变小D．若地球自转加快，小物块所受引力变小解析：选ABC在赤道处重力及万有引力方向均指向地心，A、B正确；对赤道位置的物体分析可知，所受万有引力产生两分力效果，一是重力，二是自转向心力，且三者的方向都指向地心，满足：Geq\f(Mm,R2)＝mω2R＋mg赤，则自转加快即角速度ω增大，所需向心力变大，而引力不变，故重力变小，C正确；物体所受万有引力大小Geq\f(Mm,R2)，与自转快慢无关，则地球自转加快时小物块所受的引力不变，D错误。3．我国自主研发的“北斗三号”卫星系统由30颗卫星组成，其中某颗中圆轨道卫星在轨运行时到地面的距离是地球半径的a倍，绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。则地球半径可表示为()A.eq\f(2gT2,π2a2) B.eq\f(gT2,4π2a3)C.eq\f(4gT2,π2a＋12) D.eq\f(gT2,4π2a＋13)解析：选D卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，所以有Geq\f(Mm,[a＋1R]2)＝mω2(a＋1)R＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(a＋1)R，地面附近万有引力等于重力，所以有Geq\f(Mm,R2)＝mg，联立解得，地球半径可表示为R＝eq\f(gT2,4π2a＋13)，故D正确，A、B、C错误。4．天文学家宣布恒星系统Trappist­1的行星可能存在支持生命的水。该系统的中央恒星是一颗超低温红矮星，其质量约为太阳质量的8%，半径约为太阳半径的11%，表面温度约为2550K，中央恒星与最近行星的距离是日地距离的1%，则该行星公转周期约为()A．1.3天B．2.4天C．4.5天 D．73天解析：选A行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故：Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，解得：T＝2πeq\r(\f(R3,GM))∝eq\r(\f(R3,M))，故未知行星与地球的公转周期之比为：eq\f(T1,T2)＝eq\f(\r(\f(0.01R3,0.08M)),\r(\f(R3,M)))＝0.0035，故T1＝0.0035T2≈1.3天，故A正确。5．如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道。已知地球的半径R＝6400km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)()A．3hB．8hC．15h D．20h解析：选A根据题图中MEO卫星距离地面高度为4200km，可知轨道半径约为R1＝10600km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36000km，可知轨道半径约为R2＝42400km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1。地球同步卫星的周期为T2＝24h，运用开普勒第三定律，eq\f(R13,R23)＝eq\f(T12,T22)，解得T1＝3h，A正确。6．一位爱好天文的同学结合自己所学设计了如下实验：在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x，通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，则月球的质量是()A.eq\f(2hR2v02,Gx2)B.eq\f(2hR2v02,Gx)C.eq\f(hR2v02,Gx2)D.eq\f(2hR3v02,Gx2)解析：选A依题意可知，月球表面的物体做平抛运动，则在水平方向：x＝v0t，竖直方向：h＝eq\f(1,2)gt2，故月球表面的重力加速度：g＝eq\f(2hv02,x2)。由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得月球质量：M＝eq\f(2hv02R2,Gx2)。故A正确。7．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的p倍，半径约为地球的q倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为()A．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,q2)g＋\f(v0,t0))) B．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,q2)g－\f(v0,t0)))C．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q2,p)g＋\f(v0,t0))) D．meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(q2,p)g－\f(v0,t0)))解析：选A根据万有引力提供重力有Geq\f(Mm,R2)＝mg′，解得g′＝eq\f(GM,R2)，所以火星表面的重力加速度为g火＝eq\f(p,q2)g，着陆器受到的制动力大小F，则有F－mg火＝ma，v0＝at0，联立解得F＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,q2)g＋\f(v0,t0)))，所以A正确，B、C、D错误。8.如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)解析：选D由题意知，所挖出小球的半径为eq\f(R,2)，质量为eq\f(M,8)，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))2)＝eq\f(GM2,18R2)，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),2R2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，D正确。9．一宇航员乘坐自动航天飞行器到达一类似地球的星球表面进行科学考察，科考任务结束后，他将星球的自转周期为18小时、同一物块在星球两极时的重力为在星球赤道时重力的eq\f(27,26)倍的两个数据输入飞行器的航程自动仪中，飞行器自动生成运行轨道，并按此轨道由星球表面P点返回到同步轨道，其中P点和Q点为切点，请问飞行器从椭圆轨道上的P点到Q点需要多长时间？解析：设该星球的半径为R，质量为M，同步卫星的周期为T，轨道半径为r，飞行器的周期为T′。在星球的两极有eq\f(GMm,R2)＝mg，在星球的赤道有eq\f(GMm,R2)＝mg′＋meq\f(4π2,T2)R，由题有mg′＝eq\f(27,26)mg，联立以上三式可得eq\f(1,27)eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，对同步卫星eq\f(GMm′,r2)＝m′eq\f(