2024届一轮复习命题方向精讲系列：40 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（七大经典题型）（原卷附答案）

第第页获取更多资料，关注微信公众号：Hi数学派考向40事件的相互独立性、条件概率与全概率公式经典题型一：条件概率经典题型二：相互独立事件的判断经典题型三：相互独立事件概率的计算经典题型四：相互独立事件概率的综合应用经典题型五：全概率公式及其应用经典题型六：贝叶斯公式及其应用经典题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用知识点1、条件概率（一）定义一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．（3）如果与互斥，则．注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．知识点2、相互独立与条件概率的关系（一）相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．（二）事件的独立性（1）事件与相互独立的充要条件是．（2）当时，与独立的充要条件是．（3）如果，与独立，则成立．知识点3、全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）贝叶斯公式（1）一般地，当且时，有（2）定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．1、两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．2、贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．经典题型一：条件概率1．（2022·福建泉州·模拟预测）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（

）A． B． C． D．2．（2022·山东日照·三模）若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（

）A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A、B同时发生的概率3．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（

）A． B．事件与事件B相互独立C． D．4．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则（

）A． B． C． D．5．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲､乙､丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲､乙､丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%，35%，40%，甲､乙､丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8，0.6，0.75（水仙花球茎的使用率）.(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为，求随机变量的分布列及期望；(2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，求它是由丙工作队所采摘的概率.经典题型二：相互独立事件的判断6．（2022·湖北·模拟预测）奥密克戎变异毒株传染性强、传播速度快隐蔽性强，导致上海疫情严重，牵动了全国人民的心．某医院抽调了包括甲、乙在内5名医生随机派往上海①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生，“医生甲派往①医院”记为事件A：“医生乙派往①医院”记为事件B；“医生乙派往②医院”记为事件C，则（

）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立C． D．7．（2022·全国·模拟预测（文））一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A为“第一次记下的数字为奇数”，事件B为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（

）A． B．事件A与事件B互斥C． D．事件A与事件B相互独立8．（2022·湖南常德·一模）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（

）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立C． D．9．（2022·上海金山·一模）设为两个随机事件，给出以下命题：（1）若为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则为相互独立事件；（3）若，，，则为相互独立事件；（4）若，，，则为相互独立事件；（5）若，，，则为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4经典题型三：相互独立事件概率的计算10．（2022·福建·模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得分.投入壶耳一次得分，现有甲､乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口､壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得分，乙投完支箭，目前只得分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的概率为（

）A． B． C． D．11．（2022·天津和平·二模）已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（

）A． B． C． D．12．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））甲、乙两名同学均打算高中毕业后去A，B，C三个景区中的一个景区旅游，甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：则甲、乙去不同景区旅游的概率为（

）去A景区旅游去B景区旅游去C景区旅游甲0.40.2乙0.30.6A．0.66 B．0.58 C．0.54 D．0.5213．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为（

）A． B． C． D．14．（2022·河南开封·三模（理））生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内成对存在，一个来自父本，一个来自母本，且等可能随机组合.豌豆子叶的颜色是由显性因子D（表现为黄色），隐性因子d（表现为绿色）决定的，当显性因子与隐形因子结合时，表现显性因子的性状，即DD，Dd都表现为黄色；当两个隐形因子结合时，才表现隐形因子的性状，即dd表现为绿色.已知父本和母本确定子叶颜色的遗传因子都是Dd，不考虑基因突变，从子一代中随机选择两粒豌豆进行杂交，则选择的豌豆的子叶都是黄色且子二代豌豆的子叶是绿色的概率为（

）A． B． C． D．15．（2022·广东韶关·二模）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1和元件2同时正常工作，或元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件正常工作的概率均为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件正常工作的概率为（

）A． B． C． D．经典题型四：相互独立事件概率的综合应用16．（2022·辽宁鞍山·一模）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.17．（2022·河南安阳·模拟预测（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.（i）求5个样品全部测试合格的概率；（ii）求4个样品测试合格的概率.(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.18．（2022·江西九江·三模（理））电子竞技（Electronic

Sports）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.现有包括战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响.(1)估计战队获得冠军的概率；(2)某公司是战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.19．（2022·江苏南京·模拟预测）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢(，)局，谁便赢得全部奖金元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．(1)规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．若，，，，求．(2)记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．20．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.(1)已知，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p的最小值？经典题型五：全概率公式及其应用21．（2022·全国·高三专题练习）“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（

）A． B． C． D．22．（2022·黑龙江·绥芬河市高级中学高三阶段练习）某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为（

）A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.7523．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）某地区居民的肝癌发病率为，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有肝癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是（

）A． B． C． D．24．（2022·全国·模拟预测）书架上放有本语文书和本数学书，学生甲先随机取走本书，学生乙再在剩下的书中随机取走本书．已知甲至少取走了本数学书，则乙取走语文书的概率为__________．25．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是__________.经典题型六：贝叶斯公式及其应用26．（2022·全国·高三专题练习）某人下午5：00下班，他所积累的资料如表所示到家时间5：35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54晚于5：54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，结果他是5：47到家的，则他是乘地铁回家的概率为______．27．（2022·山东青岛·高三开学考试）北京时间年月日，历时天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以金､银､铜､打破项世界纪录､创造项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官.作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获金银的好成绩，参赛的名选手全部登上领奖台.我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为.为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查·（1）从混合的乒乓球中任取个.（i）求这个乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取次，每次抽取个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为，求随机变量的分布列和数学期望.28．（2022·全国·高三专题练习）设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？29．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高三开学考试）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？经典题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用30．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（

）A．事件与事件相互独立 B．C． D．31．（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．32．（2022·山西长治·高三阶段练习）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．（i）；（ii）的分布列及数学期望．1．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.3．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.4．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285．（2020·北京·高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）6．（2020·全国·高考真题（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.7．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________8．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．经典题型一：条件概率1．【答案】D【解析】设公司男、女员工的人数分别为和，则男员工中，肥胖者有人，女员工中，肥胖者有人，设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，则，，则.故选：D.2．【答案】A【解析】由题意可知：表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示在事件B不发生的条件下，事件A发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率.故选：A.3．【答案】D【解析】由题意得，所以A错误；因为，，所以，即，故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；，所以C错误；故选：D4．【答案】D【解析】由题可得，，，所以．故选：D5．【解析】（1）在采摘的水仙花球茎中，任取一颗是由甲工作队采摘的概率是.依题意，的所有取值为0，1，2，3，且，所以，，即，，，，所以的分布列为：0123所以.（2）用，，分别表示水仙花球茎由甲，乙，丙工作队采摘，表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使用，则，，，且，故，所以.即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用，它是由丙工作队所采摘的概率为.经典题型二：相互独立事件的判断6．【答案】C【解析】将甲、乙在内5名医生派往①，②，③，④四个医院，每个医院至少派1名医生有个基本事件，它们等可能．事件A含有的基本事件数为，则，同理，事件AB含有的基本事件数为，则事件AC含有的基本事件数为，则，即事件A与B相互不独立，事件A与C相互不独立，故A、B不正确；，，故选：C．7．【答案】C【解析】由题意得，，，∵，∴事件A和事件B不相互独立，．故选：C．8．【答案】D【解析】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为，则，同理，事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；对于B，，即事件A与C相互不独立，B不正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：D9．【答案】D【解析】若为互斥事件，且，则，故（1）正确；若则由相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（2）正确；若，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（3）正确；若，当为相互独立事件时，故（4）错误；若则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知为相互独立事件，故（5）正确.故选D.经典题型三：相互独立事件概率的计算10．【答案】A【解析】由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入表耳，其概率为；（2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口､壶耳均可，其概率为，所以乙赢得这局比赛的概率为.故选：A.11．【答案】B【解析】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为．故选：B．12．【答案】A【解析】由题可得甲乙去A，B，C三个景区旅游的概率分别如表：去A景区旅游去B景区旅游去C景区旅游甲0.40.20.4乙0.10.30.6故甲、乙去同一景区旅游的概率为，故甲、乙去不同景区旅游的概率为.故选：A.13．【答案】D【解析】由题意，恰好通过两所大学招生考试的概率最大值为，故选：D．14．【答案】B【解析】因为子一代中遗传因子为，取两粒叶子为黄色的豌豆并要子二代是绿色，所以子一代父本、母本只能取型基因，取出两粒都是满足题意的子一代豌豆概率为，因为子二代叶子是绿色的，故基因为，所占概率为，所以由相互独立事件同时发生的概率为.故选：B15．【答案】D【解析】讨论元件3正常与不正常，第一类，元件3正常，上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作，则正常工作的概率为．第二类，元件3不正常，上部分必须正常，则正常工作的概率为，故概率为．故选：D．经典题型四：相互独立事件概率的综合应用16．【解析】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.（2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P所以.所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.17．【解析】（1）（i）因为3个样品选择甲方案,2个样品选择乙方案,所以5个样品全部测试合格的概率为（ii）4个样品测试合格分两种情况,第一种情况,3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,此时概率为第二种情况,2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,此时概率为所以4个样品测试合格的概率为（2）设选择甲方案测试的样品个数为,则选择乙方案测试的样品个数为,并设通过甲方案测试合格的样品个数为,通过乙方案测试合格的样品个数为,当时,此时所有样品均选择方案乙测试,则,所以,不符合题意;当时,此时所有样品均选择方案甲测试,则所以,符合题意;当时,,所以若使,,则,由于,故时符合题意,综上,选择甲方案测试的样品个数为3,4或者5时,测试合格的样品个数的期望不小于3.18．【解析】(1)由题意可知，战队获得冠军有以下3种可能情况：①“胜胜胜”概率为②“败胜胜胜”概率为③“胜败胜胜”概率为则战队获得冠军的概率为；(2)战队获得殿军的情况是“败败”，故战队获得殿军的概率为，则获得亚军或季军的概率为，设方案1中战队获奖金额为，则其分布列为24150若选择方案1，则战队获奖金额的期望为（万元）设方案2中战队获奖金额为，则其分布列为40300若选择方案2，则战队获奖金额的期望为（万元）∵，故选择方案1、方案2均可.19．【解析】(1)设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则，2．，，故，从而．(2)设比赛继续进行局甲赢得全部奖金，则，3．，，故，即，则，当时，，因此在上单调递增，从而，所以，故事件是小概率事件．20．【答案】(1)(2)【分析】若此批零件检测未通过，恰好检测5次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再结合二项分布的概率公式，即可求解．由题意可得，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，则X可取70，50，，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．（1）记事件“此批零件检测未通过，恰好检测5次”则前4次有1次未通过，第5次未通过.即恰好检测5次未通过的概率为；（2）由题意可得，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，设每件零件可获利X元，；50；；；，则，

解得，即：每件零件为合格零件的概率p的最小值为经典题型五：全概率公式及其应用21．【答案】A【解析】设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件表示丢失的一箱为分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得．故选：A22．【答案】B【解析】设表示选到i级射手的事件，B表示任选一名射手能通过选拔进入比赛的事件，则,,故任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为,故选：B23．【答案】C【解析】记事件某人患肝癌，事件化验结果呈阳性，由题意可知，，，所以，，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是.故选：C.24．【答案】【解析】记2本语文书为，本数学书为，则甲至少取走了本数学书包含以下基本事件：共9个基本事件，设“甲至少取走了本数学书的情况下甲取走i本数学书”为事件，“乙取走语文书”为事件，则事件包含共6个基本事件，故同理可得则，故答案为：25．【答案】【解析】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得故故答案为：.经典题型六：贝叶斯公式及其应用26．【答案】【解析】设事件H表示“乘地铁回家”，则事件表示“乘汽车回家”．到家时间为5：47，属于区间5：45~5：49，设事件T表示“到家时间在5：45~5：49之间”，则所求概率为．易知，，因为他是由掷硬币决定乘地铁回家还是乘汽车回家，所以．由贝叶斯公式得．故答案为：27．【解析】设事件“任取一个乒乓球是合格品”，事件“产品取自第一批”