2024届一轮复习命题方向精讲系列：38 二项式定理全归纳（十五大经典题型）（原卷附答案）

第第⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．（2）系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．1、求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（）.（1）第项：：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.2、解题技巧：（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.经典题型一：求二项展开式中的参数1．（2022·湖南·模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则实数（

）A．2 B．-2 C．8 D．-82．（2022·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．23．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4经典题型二：求二项展开式中的常数项4．（2022·广东广州·高三阶段练习）若的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（

）A． B．160 C． D．11205．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（

）A．90 B．10 C．10 D．906．（2022·山东青岛·高三开学考试）在的展开式中，常数项为（

）A．80 B． C．160 D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（

）A． B． C．15 D．20经典题型三：求二项展开式中的有理项8．（2022·江苏南通·高三阶段练习）的二项展开式中有理项有（

）A．3项 B．4项 C．5项 D．6项9．（2022·全国·高三专题练习（理））若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（

）A． B．或 C．或 D．10．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中有理项的系数之和为（

）A．119 B．168 C．365 D．52011．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，有理项共有（

）A．3项 B．4项 C．5项 D．6项12．（2022·全国·高三专题练习（理））若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4经典题型四：求二项展开式中的特定项系数13．（2022·湖北·高三开学考试）已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中的系数为（

）A． B．405 C． D．8114．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）在的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．715．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中，若二项式系数的和为，则的系数为（

）A． B． C． D．16．（2022·全国·高三专题练习（理））的展开式中的系数是（

）A．45 B．84 C．120 D．21017．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（

）A．7 B．21 C．35 D．21或35经典题型五：求三项展开式中的指定项18．（2022·全国·高三专题练习）展开式中，项的系数为（）A．5 B．-5 C．15 D．-1519．（2022·江西南昌·高三阶段练习）的展开式中含的项的系数为（

）A． B．180 C． D．1152020．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（

）A．16 B．32 C．27 D．8121．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中的系数为（

）A．4 B．6 C．8 D．1222．（2022·全国·高三专题练习）在的展开式中含和含的项的系数之和为（

）A． B． C． D．148523．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数24．（2022·浙江邵外高三阶段练习）的展开式中的系数是________．（用数字作答）25．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中的常数项为__________．26．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测），则_________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中的各项系数和为，则该展开式中的常数项为______.28．（2022·河北邢台·高三开学考试）展开式中的项的系数是______.29．（2022·浙江·杭十四中高三阶段练习）的展开式中的系数为___________.（用数字作答）30．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））展开式中的系数为______.31．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值为___________.32．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知的展开式中常数项为20，则___________.经典题型七：求二项式系数最值33．（2022·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．1034．（2022·全国·高三专题练习）展开式中二项式系数最大的项是（

）A． B． C．和 D．和35．（2022·湖南·高三阶段练习）设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．836．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．经典题型八：求项的系数最值37．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）的展开式中系数最小项为第______项．39．（2022·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和40．（2022·全国·高三专题练习）若，则_________.（用数字作答）41．（2022·全国·高三专题练习）设，若则非零实数a的值为（

）A．2 B．0 C．1 D．-142．（2022·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．43．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若，则（

）A． B．C． D．经典题型十：求奇数项或偶数项系数和44．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式，则_______，________．45．（2022·全国·模拟预测）若的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为______．46．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知，若，则_____________.47．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则实数的值可以为（

）A．1或 B． C．或3 D．经典题型十一：整数和余数问题48．（2022·全国·高三专题练习（理））设，则除以9所得的余数为______．49．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）除以7的余数为_______．50．（2022·福建漳州·三模）711除以6的余数是___________．51．（2022·全国·高三专题练习）被除的余数是____________．52．（2022·天津市第七中学模拟预测）已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中含的项的系数为______．53．（2022·全国·高三专题练习）若，则被8整除的余数为___________.54．（2022·浙江·高三专题练习）设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为_____.经典题型十二：近似计算问题55．（2022·河南南阳·高三期末（理））__________（小数点后保留三位小数）．56．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））的计算结果精确到0.01的近似值是_________．57．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.经典题型十三：证明组合恒等式58．（2022·全国·高三专题练习）（1）设、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：.59．（2022·江苏省天一中学高三阶段练习）已知.（1）若，求中含项的系数；（2）求：.60．（2022·江苏·泰州中学高三阶段练习）（1）设展开式中的系数是40，求的值；（2）求证：经典题型十四：二项式定理与数列求和61．（2022·全国·高三专题练习（理））令为的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为（

）A． B．C． D．62．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的第项是展开式中的常数项，则（

）A． B． C． D．63．（2022·河北保定·二模）若n为等差数列中的第7项，则二项式展开式的中间项系数为（

）A．1120 B． C．1792 D．64．（2022·江西新余·二模（理））已知等差数列的第5项是展开式中的常数项，则该数列的前9项的和为（

）A．160 B． C．1440 D．经典题型十五：杨辉三角65．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第行开始，每一行除两端的数字是以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数，第行中最大的数为，第行中最大的数为，且，则的值为______．66．（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则第10条斜线上，各数之和为______.67．（2022·全国·高三专题练习（文））“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是______．68．（2022·全国·高三专题练习）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为__________.

1．（2022·北京·高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．2．（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（

）A． B． C． D．3．（2020·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）．A． B．5 C． D．104．（2020·全国·高考真题（理））的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．205．（2022·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.6．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．7．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．8．（2020·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．9．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.10．（2020·浙江·高考真题）设，则________；________．经典题型一：求二项展开式中的参数参考答案1．【答案】B【解析】展开式的通项为：，取得到常数项为，解得.故选：B2．【答案】B【解析】的展开式通项为，∴令，解得，∴的展开式的常数项为，∴∴故选：B.3．【答案】C【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得．故选：C经典题型二：求二项展开式中的常数项4．【答案】A【解析】因为展开式中的第项和第项的二项式系数相等，，解得：，展开式通项公式为：，令，解得：，该展开式中的常数项为,故选：A5．【答案】A【解析】因为（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以该展开式中的常数项为，故选：A6．【答案】D【解析】由于互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为，故选：D7．【答案】B【解析】根据题意可得，解得，则展开式的通项为，令，得，所以常数项为：.故选：B.经典题型三：求二项展开式中的有理项8．【答案】B【解析】二项展开式的通项公式为，因为，所以当时，为有理项，共4项，故选：B9．【答案】B【解析】的通项公式是设其有理项为第项，则的乘方指数为，依题意为整数，注意到，对照选择项知、、，逐一检验：时，，不满足条件；时，、、，成立；时，、5、8，成立故选：B.10．【答案】C【解析】由题意知：，即；则，的展开式的通项公式为：，，1，2，3，4，5，6，展开式中有理项是，2，4，6时对应的项，故展开式中有理项的系数之和为：．故选：．11．【答案】C【解析】由题意可得二项展开式的通项根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r＝0，6，12，18，24，共有5项，故选：C.12．【答案】D【解析】展开式中只有第四项的系数最大，所以，则展开式通项为，因为，所以当时为有理项，所以有理项共有4项，故选：D.经典题型四：求二项展开式中的特定项系数13．【答案】A【解析】令，可得所有项的系数之和为，则，由题意，即，所以展开式中含项的系数为．故选：A．14．【答案】D【解析】二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故展开式中的系数为.故选：D15．【答案】A【解析】二项式系数的和为，所以，展开式的通项为，令，则，所以的系数为．故选：A16．【答案】C【解析】的展开式中，含项的系数为，故选：C．17．【答案】B【解析】由题意，展开式的通项为，所以某一项的系数为7，即，解得n＝7，r＝1或n＝7，r＝6，所以展开式中第三项的系数是．故选：B．经典题型五：求三项展开式中的指定项18．【答案】B【解析】，表示5个相乘，展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，第二种是中选出4个和1个，所以展开式中含有项有和，所以项的系数为,故答案为：B19．【答案】B【解析】根据题意，要得到含的项，则中有3项与2项4相乘，或者有4项与1项相乘.故的展开式中含的项为.即的展开式中含的项的系数为180.故选：B20．【答案】D【解析】展开式的通项公式为，若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，令，可得所有不含z的项的系数之和为，故选：D.21．【答案】B【解析】的通项公式，令，则，所以的系数为，故选：B22．【答案】A【解析】，则的系数为1，的系数为，所以在的展开式中含和含的项的系数之和为．故选：A．23．【答案】D【解析】可看作5个因式相乘，所以其展开式中含的项为4个因式取，2个因式取，所以展开式中含的系数为．故选：D．经典题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数24．【答案】【解析】根据题意,的项在的展开式中有两项，分别为：和，即和，则的系数为：.故答案为：.25．【答案】【解析】展开式通项公式为，，，，，所以所求常数项为，故答案为：．26．【答案】－20【解析】由，要得，则，所以，故答案为：27．【答案】－120【解析】的展开式中，各项系数的和为，令，，，∴其中的展开式中的项为，即，的展开式中的项为，即，展开式中的常数项为.故答案为：.28．【答案】30【解析】二项式的展开式的通项公式为，令解得；令，解得.所以展开式中的项的系数是.故答案为：29．【答案】【解析】，其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；的展开式通项为，，故时，得含的项为.因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为.故答案为：.30．【答案】26【解析】展开式第项，时，，时，，∴展开式中系数26.故答案为：26.31．【答案】【解析】令，由的展开式的通项为，令，得，令，得，所以，所以.故答案为：32．【答案】【解析】由题意可得的展开式的通项公式为，故当时，即时，，当时，即时，，故的常数项为，解得，故答案为：经典题型七：求二项式系数最值33．【答案】D【解析】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，即第四项和第五项的二项式系数最大；当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，即第五项的二项式系数最大；当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，即第五项和第六项的二项式系数最大.当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，即第六项的二项式系数最大.故选：D．34．【答案】C【解析】展开式的通项公式为，因为展开式共有8项，所以第4项和第5项的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为和，即为和，故选：C35．【答案】C【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.故选：C36．【答案】A【解析】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即．故选：A．经典题型八：求项的系数最值37．【答案】【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第项的系数最大，则，化简可得：经验证可得，则该展开式中系数最大的项为.故答案为:.38．【答案】6【解析】的展开式的通项公式为，其中系数与二项式系数只有符号差异，又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.故答案为：.39．【答案】5376【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，设展开式中项的系数最大，则解得，又∵，∴，故展开式中系数最大的项为.故答案为：5376.经典题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和40．【答案】127【解析】因为，所以奇次方系数为负，偶次方系数为正，所以，对于，令，得，令，得，两式相减，得，即.故答案为：12741．【答案】A【解析】∵，对其两边求导数，∴，令，得，①又，②∴，∴，解得，故选：A．42．【答案】B【解析】依题意，，当时，，于是得.故选：B43．【答案】ABD【解析】当时，，故A对；，B对；令，则，∴，故C错；对等式两边求导，即令，则，∴，故D对，故选：ABD．经典题型十：求奇数项或偶数项系数和44．【答案】

【解析】因为，令可得①；令可得②，两式相减，整理可得．对两边求导可得，，令，可得．故答案为：；．45．【答案】【解析】设.令，得①；令，得②.②＋①得．又因为，所以，解得．故答案为：46．【答案】8【解析】，所以，所以，所以，即，解得：故答案为：847．【答案】A【解析】在中，令可得，即，令，可得，∵，∴，∴，整理得，解得，或．故选：A经典题型十一：整数和余数问题48．【答案】8【解析】因为，所以，，所以除以9所得的余数为8．故答案为：849．【答案】1【解析】其中所以除以7的余数为；故答案为：50．【答案】1【解析】∵根据二项展开式不妨设：显然可被6整除且711除以6的余数是故答案为：1．51．【答案】【解析】，所以被除的余数是故答案为：52．【答案】【解析】能被整除，则能被整除，因为，则正整数的最小值为，即，展开式的通项为，因为，在中，由可得，在中，由可得，在中，.所以，展开式中含的项的系数为.故答案为：.53．【答案】5【解析】在已知等式中，取得，取得，两式相减得，即，因为因为能被8整除，所以被8整除的余数为5，即被8整除的余数为5，故答案为：5.54．【答案】13【解析】a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a＝4×161010+a＝4×（17﹣1）1010+a＝4×（×171010﹣×171009+×171008﹣×171007+…+×（﹣17）+1）+a，故它除以17的余数为4×1+a，由于它能被能被17整除，则a＝13，故答案为：13.经典题型十二：近似计算问题55．【答案】1.172【解析】，由二项展开式的性质易知，远小于，依次类推，故.故答案为：1.172.56．【答案】1.34【解析】故答案为：57．【答案】【解析】根据二项式定理可得：,故答案为：经典题型十三：证明组合恒等式58．【解析】证：（1）；（2）当，时，,所以结论成立.59．【解析】（1）中项的系数为；（2）设

①则函数中含项的系数为由错位相减法得：②，中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为所以60．【解析】（1）由题可知，对应项的表达式为：，故，解得（负值舍去）；（2）由，两边求导得：两边同乘-1可得：，再令可得：，所以经典题型十四：二项式定理与数列求和61．【答案】D【解析】二项式的通项公式为：，令，所以，，因此