2024届一轮复习命题方向精讲系列：11 对数与对数函数（原卷附答案）

第第页获取更多资料，关注微信公众号：Hi数学派考向11对数与对数函数1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.|3.，且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.4.识别对数函数图象时，要注意底数以1为分界：当时，是增函数；当时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点，且以轴为渐近线.5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.6.比较对数值的大小(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较(2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较(3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤:(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性1.换底公式的两个重要结论(1)(2).其中，且，且.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大3.对数函数，且的图象过定点，且过点，函数图象只在第一、四象限.1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为；(3)对数的性质和运算法则：①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．对数函数的图象图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，1．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·模拟预测（文））已知，用科学记数法表示为，则的值约为（

）A．8 B．9 C．10 D．114．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：，，，则（

）A．，，为“同形”函数B．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数C．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数D．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数5．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（

）A． B． C． D．6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数，若，则（

）A． B． C． D．7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若是奇函数，则实数a=______．8．（2022·福建·三明一中模拟预测）写出一个满足对定义域内的任意x，y，都有的函数：___________．1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·青海·模拟预测（理））设，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知，则，，的大小为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·模拟预测）“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为，其中i表示所有可能的微观态，表示微观态i出现的概率，为大于0的常数．则在以下四个系统中，混乱程度最高的是（

）A． B．，C． D．，，5．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．不存在6．（2022·全国·模拟预测（理））已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．7．（2022·北京·北大附中三模）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．8．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））函数，其中，记，则（

）A． B．C． D．10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数，若，且，则的取值范围是______．11．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））若，，，则的最小值为___________.12．（2022·云南师大附中模拟预测（理））给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的序号是______.13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．14．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则数列的前项和___________.15．（2022·山西运城·模拟预测（文））若，则__________.1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．4．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2020·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．6．（2020·全国·高考真题（文））设，则（

）A． B． C． D．7．（2019·天津·高考真题（理））已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．8．（2019·全国·高考真题（文））已知，则A． B． C． D．9．（2019·全国·高考真题（理））若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│10．（2016·全国·高考真题（理））已知，，，则A． B．C． D．11．（2018·天津·高考真题（文））已知，则的大小关系为A． B． C． D．12．（2016·全国·高考真题（文））已知，则A． B．C． D．13．（2016·全国·高考真题（文））若a＞b＞0，0＜c＜1，则A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb14．（2016·浙江·高考真题（理））已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a=___，b=____.15．（2015·北京·高考真题（文）），，三个数中最大数的是．1．【答案】C【解析】由，，可得.故选：C.2．【答案】D【解析】因为，，，所以.故选：D.3．【答案】B【解析】因为，，所以，所以，所以，又无限接近于，所以.故选：B.4．【答案】A【解析】解：，，故，的图象可分别由的图象向左平移个单位、向右平移1个单位得到，故，，为“同形”函数．故选：A．5．【答案】C【解析】设，由题意可得：，则∴，，∴故选：C．6．【答案】A【解析】令，，是R上的奇函数，，即，又，所以．故选：A．7．【答案】1【解析】由题意，，即，所以，化简得，解得．故答案为：18．【答案】（答案不唯一）【解析】若函数，则满足题意，故答案为：（答案不唯一）1．【答案】D【解析】函数在上单调递增，，则，函数在R上单调递减，，，而，所以.故选：D2．【答案】A【解析】函数在上都是增函数，，即，，则，函数在R上单调递增，而，则，所以.故选：A3．【答案】C【解析】令函数，当时，求导得：，则函数在上单调递减，又，，，显然，则有，所以.故选：C4．【答案】C【解析】对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）．A选项：系统的混乱程度；B选项：系统的混乱程度；C选项：系统的混乱程度；D选项：系统的混乱程度，所以，，，所以最小，从而C选项对应的系统混乱程度最高．故选：C.5．【答案】A【解析】又，则当且仅当即时取等号故选：A6．【答案】D【解析】因为，所以，对于A：，，所以，故A错误；对于B：，所以在上为增函数，又，所以，故B错误；对于C：，因为，，所以，所以，故C错误；对于D：，因为，，所以，即，故D正确.故选：D7．【答案】D【解析】解：依题意，等价于，在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：如图可得的解集为：.故选：D.8．【答案】C【解析】因为是奇函数，当时，；所以当时，；当时，则，所以.因为是奇函数，所以，所以.即当时，.综上所述：.令，则，所以不等式可化为：.当时，不合题意舍去.当时，对于.因为在上递增，在上递增，所以在上递增.又，所以由可解得：，即，解得：.故选：C9．【答案】A【解析】，∴，，∴，故选：A．10．【答案】【解析】的图象如图，因为，所以，因为，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，则，所以，令，则，当时，，所以在上递减，所以，所以，所以的取值范围为，故答案为：11．【答案】【解析】∵，∴，，，∴，∴，当且仅当，即，时取等号，∴的最小值为,故答案为：12．【答案】①②④【解析】构造函数，所以，得，当时，；当时，，于是在上单调递增，在上单调递减.对于①，，即，又，据的单调性知成立，故①正确；对于②，，因为，所以，即，又，据的单调性知成立，故②正确；对于③，，即，又，据的单调性知成立，故③错误；对于④，，即，又，据的单调性可知成立，故④正确.故答案为：①②④．13．【答案】【解析】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.故答案为：.14．【答案】【解析】由且定义域为R，所以为偶函数，而，当时等号成立，所以在R上恒成立，故要使，又是公差为2的等差数列，所以，则，故.故答案为：.15．【答案】##【解析】由，两边取以为底的对数，得，即.由，令，则，所以，即.设，则，所以在上单调递增.由以及，则，又，所以.故答案为：.1．【答案】A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.2．【答案】C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.3．【答案】C【解析】因为，，即，所以．故选：C.4．【答案】D【解析】，，，，，，.故选：D.5．【答案】A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.6．【答案】B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.7．【答案】A【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】，，，故，所以．故选A．8．【答案】B【解析】则．故选B．9．【答案】C【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．10．【答案】A【解析】【详解】因为，，，因为幂函数在R上单调递增，所以，因为指数函数在R上单调递增，所以，即b<a<c.故选：A.11．【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.12．【答案】A【解析】【详解】因为，且幂函数在上单调递增，所以b<a<c.故选A.13