2024届一轮复习命题方向精讲系列：09 幂函数与二次函数（原卷附答案）

第第页获取更多资料，关注微信公众号：Hi数学派考向09幂函数与二次函数1、根据图象高低判断幂指数大小的方法幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线的交点纵坐标的大小反映.一般地，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大、图低”)，在区间上，幂函数中指数越大，图象越远离轴(不包括幂函数，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴(简记为“指大图低")，在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴.2、对于函数，若是二次函数，就隐含，当题目未说明是二次函数时，就要分和两种情况讨论.在二次函数中，的正负决定抛物线开口的方向的大小决定开口大小)确定抛物线在轴上的截距，与确定顶点的横坐标(或对称轴的位置).3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非端点），4、二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值.1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3.一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件在区间内没有实根在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：=1\*GB3①轴处在区间的左侧；=2\*GB3②轴处在区间的右侧；=3\*GB3③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.1.幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底数为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自变量，幂为\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因变量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3.常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点4.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.5．二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.（1）单调性与最值=1\*GB3①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；=2\*GB3②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.（2）与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.1．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．4．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知关于x的方程在区间上有实根，那么的最小值为________．5．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②当时，；③；6．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是________.1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2022·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．且4．（2022·四川·宜宾市教科所三模（文））若函数的值域为，则的取值范围是(

)A． B． C． D．5．（2022·广东佛山·二模）设且，函数，若，则下列判断正确的是（）A．的最大值为-a B．的最小值为-aC． D．6．（2022·北京市第十二中学三模）若函数的值域为R，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2022·北京·高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断10．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象在上单调递减，则实数的值是（

）A．1 B． C．1或 D．二、填空题11．（2022·广东·模拟预测）已知函数的最大值为，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．12．（2022·江苏南通·高三期末）已知函数若，则的最大值为_________．13．（2022·全国·高三专题练习）函数，，，当时，，且的最大值为，则_______．14．（2022·全国·高三专题练习）已知为常数，函数在区间上的最大值为，则____．15．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数的值域为，则的最大值为__________.16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______________．17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.1．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．2．（2015·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（

）A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点3．（2013·浙江·高考真题（文））已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），则（

）A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝04．（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则的值A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关5．（2014·上海·高考真题（理））若是的最小值，则的取值范围为.A．[-1，2] B．[-1，0] C．[1，2] D．6．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．7．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（

）A． B． C． D．8．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．9．（2017·北京·高考真题（文））已知，，且，则的取值范围是_____.10．（2015·湖北·高考真题（文））为实数，函数在区间上的最大值记为.当_________时，的值最小.11．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.12．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.1．【答案】B【解析】若，则函数的值域为，不合乎题意，因为二次函数的值域为，则，且，所以，，可得，则，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.2．【答案】C【解析】当时，当时，要使的值域为则，故选：C3．【答案】B【解析】因为，所以二次函数的对称轴为，又因为，所以，又，所以.故选：B.4．【答案】5【解析】因为，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为5．故答案为：5.5．【答案】（答案不唯一）；【解析】由所给性质：在上恒正的偶函数，且，结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.故答案为：（答案不唯一）6．【答案】##【解析】函数过定点，如图：结合图象可得：，即，故答案为：，．1．【答案】A【解析】当时，，当且仅当时，等号成立；即当时，函数的最小值为，当时，，要使得函数的最小值为，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.2．【答案】C【解析】由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，由，即恒过且，所以上，上，而在上递增，且上，上，所以的解集为.故选：C3．【答案】D【解析】作出的图象，由图可知，若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，设切点为，所以，，所以切线斜率为，整理得，即方程在上有两个不同的解，所以，，所以且.故选：D．4．【答案】C【解析】当时，f(x)=，当时，f(x)=，故要使的值域是，则0≤≤1，解得．故选：C．5．【答案】D【解析】依题意，，因，则是奇函数，于是得，即，因此，，而，当时，的最小值为-a，当时，的最大值为-a，A，B都不正确；，，，即，，因此，C不正确，D正确.故选：D6．【答案】D【解析】解：由时，，因为函数的值域为R，所以当时，，分两种情况讨论：①当时，，所以只需，解得，所以；②当时，，所以只需，显然成立，所以.综上，的取值范围是.故选：D.7．【答案】A【解析】，由得，又，所以函数的单调递减区间为.故选：．8．【答案】D【解析】由是幂函数，知：，又在上，∴，即，则且，∴.故选：D.9．【答案】A【解析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．【详解】∵函数是幂函数，∴，解得：m=-2或m=3．∵对任意，，且，满足，∴函数为增函数，∴，∴m=3（m=-2舍去）∴为增函数．对任意，，且，则，∴∴．故选：A10．【答案】A【解析】由幂函数定义得，解得或.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.故选：A二、填空题11．【答案】【解析】解：因为，所以的最大值为，易知函数有三个零点，等价于函数的图象与直线有三个交点，因为，所以当或时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以，，又当时，；当时，，函数的图象如下所示：结合函数图象可知，若函数的图象与直线有三个交点，则．故答案为：12．【答案】【解析】令，作出的图象和的图象如图所示：由图知：，不妨设，若求最大值，则，，所以，，所以，当即时，取得最大值为，即的最大值为，故答案为：.13．【答案】2【解析】因为，所以在，上单调递增，所以，因为当时，，所以，则，又因为，所以，则，所以，令，且对称轴为，因为当时，，所以，则，所以，故答案为：214．【答案】或##3或1【解析】解：函数的图象是由函数的图象纵向对折变换得到的，故函数的图象关于直线对称，则函数的最大值只能在或处取得，若时，函数取得最大值3，则，，当时，时，，满足条件；当时，时，，不满足条件；若时，函数取得最大值3，则，，或，当时，时，，不满足条件；当时，时，，满足条件；综上所述：值为1或3；故答案为：1或3．15．【答案】##1.2【解析】由题意知：,的值域为，∴，则，又，∴，当且仅当时取等号，故目标式最大值为.故答案为：.16．【答案】【解析】根据题意，函数，分三种情况讨论：①若，，其值域为，不符合题意；②若，当时，，有最大值；当时，，若函数的值域为R，则必有，即，不符合题意；③若，当时，，有最小值；当时，，若函数的值域为R，则必有，即，故有，即的范围为故答案为：17．【答案】【解析】由题易知，即，所以，又，所以.下证时，在上最大值为3.当时，，;当，若，即，则，满足;若，即，此时，而，满足;因此，符合题意.1．【答案】C【解析】函数的对称轴为，开口向上，所以函数的单调递减区间是，故选：C.2．【答案】C【解析】，最大值是1，A正确；对称轴是直线，B正确；单调递减区间是，故C错误；令的，故在函数图象上，故D正确，故选：C3．【答案】A【解析】由f(0)＝f（4），得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f（1），f（4）>f（1），∴f(x)先减后增，于