空间直角坐标系

-.z.4.3空间直角坐标系重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.新知探究:①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数*来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴O*和Oy,*Oy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取一样的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(*,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴O*,Oy,Oz称为*轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—*yz,其中O叫坐标原点,*轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面*Oy平面,yOz平面,zO*平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从*轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—*yz时,一般使∠*Oy=135°,∠yOz=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在*轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在*轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于*轴、y轴和z轴,它们与*轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R,这三点在*轴、y轴和z轴上的坐标分别为*,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组*,y,z.这组数*,y,z就叫做点M的坐标,并依次称*,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为*,y,z的点M通常记为M(*,y,z).图2反过来,一个有序数组*,y,z,我们在*轴上取坐标为*的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作*轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组*,y,z为坐标的点.数*,y,z就叫做点M的坐标,并依次称*,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为*,y,z的点M通常记为M(*,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系建立了空间的点M和有序数组*,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则*=0；同样,zO*面上的点,y=0；*Oy面上的点,z=0；如果点M在*轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则*=z=0；如果点M在z轴上,则*=y=0；如果M是原点,则*=y=z=0.思路1例1如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zO*面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在*Oz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在*Oy平面上的射影是点B,因此它的横坐标*与纵坐标y同点B的横坐标*与纵坐标y一样,在*Oy平面上,点B的横坐标*=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标一样,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的根底,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于*轴、y轴和z轴,确定*,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.思路2例1如图4,点P′在*轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在*Oz平面上,且垂直于*轴,|PP′|=1,求点P′和P的坐标.图4例2如图5,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和D1B1的中点,棱长为1,求E,F点的坐标.图5变式训练1.在上题中求B1(1,1,1)点关于平面*oy对称的点的坐标.2.在上题中求B1(1,1,1)点关于z轴对称的点的坐标.3.在上题中求B1(1,1,1)点关于原点D对称的点的坐标.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(*,y,z)关于①坐标原点;②横轴(*轴);③纵轴(y轴);④竖轴(z轴);⑤*Oy坐标平面;⑥yOz坐标平面;⑦zO*坐标平面的对称点的坐标是什么"解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(*,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-*,-y,-z);点P(*,y,z)关于横轴(*轴)的对称点为P2(*,-y,-z);点P(*,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-*,y,-z);点P(*,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-*,-y,z);点P(*,y,z)关于*Oy坐标平面的对称点为P5(*,y,-z);点P(*,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-*,y,z);点P(*,y,z)关于zO*坐标平面的对称点为P7(*,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(*轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐空间直角坐标系习题第一卷〔选择题，共50分〕一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号〔每题5分，共50分〕.1．在空间直角坐标系中，点P〔*，y，z〕，给出以下4条表达：①点P关于*轴的对称点的坐标是〔*，－y，z〕②点P关于yOz平面的对称点的坐标是〔*，－y，－z〕③点P关于y轴的对称点的坐标是〔*，－y，z〕④点P关于原点的对称点的坐标是〔－*，－y，－z〕其中正确的个数是〔〕A．3 B．2 C．1 D．02．假设A〔1，1，1〕，B〔－3，－3，－3〕，则线段AB的长为〔〕A．4B．2C．4D．33．A〔1，2，3〕，B〔3，3，m〕，C〔0，－1，0〕，D〔2，―1，―1〕，则〔〕A．>B．<C．≤D．≥4．设A〔3，3，1〕，B〔1，0，5〕，C〔0，1，0〕，AB的中点M，则〔〕A．B．C．D．5．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为〔〕A．B．C．D．6．点B是点A〔1，2，3〕在坐标平面的射影，则OB等于〔〕A．B．C．D．7．ABCD为平行四边形，且A〔4，1，3〕，B〔2，－5，1〕，C〔3，7，－5〕，则点D的坐标为〔〕A．〔，4，－1〕B．〔2，3，1〕C．〔－3，1，5〕D．〔5，13，－3〕8．点到坐标平面的距离是〔〕A．B．C．D．9．点，，三点共线，则的值分别是〔〕A．，4B．1，8 C．，－4 D．－1，－810．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是〔〕A．B．C．D．第二卷〔非选择题，共100分〕二、填空题：请把答案填在题中横线上〔每题6分，共24分〕．11．如右图，棱长为3a正方体OABC－，点M在上，且2，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M的坐标为．12．如右图，为一个正方体截下的一角P－ABC，，，，建立如图坐标系，求△ABC的重心G的坐标__．13．假设O〔0，0，0〕，P〔*，y，z〕，且，则表示的图形是__．14．点A〔－3，1，4〕，则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．〔12分〕如图，长方体中，，，，设E为的中点，F为的中点，在给定的空间直角坐标系D－*yz下，试写出A，B，C，D，，，，，E，F各点的坐标．16．〔12分〕如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．17．〔12分〕如图，矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD．现以D为原点，