圆轮的性质与在中考数学中的应用

圆轮的性质与在中考数学中的应用

圆形是最常见的几何形状之一，在生产和生活中得到了广泛应用。圆轮的发明应用是最伟大的科学技术成果之一。中国古代就利用了“一中同长”这个圆的最重要特点创造出圆轮,并用圆轮造出了滑轮、水磨、纺纱车等,为人类的文明进步作出了巨大的贡献,取得了辉煌的成就。今天无论是汽车、火车、飞机、还是火箭、轮船、宇宙飞船都离不开圆。因而认识和研究圆的有关性质是十分必要的。圆的许多性质比较集中地反映了事物内部量变与质变的关系,一般与特殊的关系,矛盾的同一性和特殊性的关系及矛盾在一定条件下转化的对立统一的规律等等。圆是初中几何的最后一章,无论是在知识和能力方面都属于“综合、提高的范畴”。圆的概念,性质等都是建立在前面所学的知识的基础上。是对前面所学知识的综合运用的结果。圆中的许多性质都是通过转化成直线型的问题来研究,而得出了新的结果的。因而在中考中是考查能力与水平的重要内容。它在初中数学中有着极其重要的地位。一、圆的位置和位置到两点距离相等的点在＿＿＿＿＿＿上。如果已知如图2,能否找一点O,使之到三点的距离相等?(如果三点在一条直线上能否找到三点距离都相等的点O?为什么?)找出O点后,请同学们和教师一起作图以O为圆心,以OA为半径画圆,则这个圆一定经过B、C两点。圆上其他的点到O点的距离都等于OA,即可得出:“不在同一条直线上的三点(条件)确定一个圆(结论)”。抓住关键词“确定”,让学生从作图中理解“确定”的本质1.存在一个圆,A、B、C在圆上2.这个圆是唯一的,再结合“一中同长”一中指圆心,同长的“长”是指的半径长,圆的位置是由圆心所确定,圆的大小是半径所决定,圆的表示是以圆心为名记为⊙O、OA=R(R表圆的半径)。“一中同长”的本质就是平面上到一定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心,以定长为半径的圆。由此即可得出“同圆的半径相等”。再引进等圆的概念。在同一条直线上的三点不能确定出圆来(垂直于同一直线的两直线平行),就可了解圆的定义。发掘圆的图形特点,连结A、B、C得出不论△ABC是锐角或钝角或直角三角形,其三个顶点都在⊙O上,故称⊙O为△ABC的外接圆,△ABC是⊙O的圆内接三角形,O是三角形外心,把三角形外接圆、外心、圆内接三角形的概念和作图技能教给了学生。让学生作一个以O1为圆心,以3cm为半径的圆。在圆上任取一点A连接AO并延长AO与⊙O交于B,则B与A是关于圆心对称的。为什么?则BA=＿＿＿＿＿＿OA=＿＿＿＿＿＿OB=＿＿＿＿＿＿cm。把AB叫做圆的直径。请沿着直径把圆对折一下,发现了什么?直径AB是圆这个图形的对称轴。故圆既是以圆心为中心对称又是以直径为轴对称的图形。它的对称中心只有一个,就是圆心,对称轴有无数条,这个性质被称为圆的旋转不变性。即无论从哪一个角度来看它都是对称的,都是大小形状不变,因而它是平面图形中最美的。在周长一定的平面图形中圆的面积最大。在面积一定的平面图形中,圆的周长最小。这也就是为什么水滴在纸上一定是圆形,因为大自然不会作无用功的。在圆概念教学中引导学生发现圆的统一美、简洁美(一中同长、圆上每一点到圆心距离相等),对称美、和谐美(旋转不变性)。由作图过程中让学生自己发现点和圆的位置关系。点与圆的位置关系转化为该点到圆心的距离d的大小来研究的。d<R→点A在圆内;d=R→点A在圆上;d>R→点A在圆外。二、直线的弦与件在同圆或等圆中,对于一个圆和一条直线来说,如果具备下列五个条件中的任何两个,那么它也具有其他的三个:1.直线垂直于弦;2.直线平分弦;3.直线过圆心;4.直线平分弦所对的优弧;5.直线平分弦所对的劣弧。在解决有关弦的问题时总是常作“弦心距”。弦、弦心距、角、弧的计算的证明时常添半径构成直角三角形或等腰三角形,这里也是对三角形知识的复习。在教学中要抓住哪些量变化了?是如何变化的?哪些是没有变化的?三、《清圆周角的分类讨论和定理的叙述圆周角概念的形成,应通过作图让学生反复识别什么是圆周角,抓住顶点在圆上,角的两边是圆的弦,用三点定型法找出或者画出圆周角。应让学生通过实验得出同弧上的圆周角和圆心角大小的关系。①弄清什么是同弧上?以特殊引入一般如图6,把对圆周角大小的研究转化为早已熟悉的圆心角大小研究,由图6得出∠AOB=60°,问∠ACB=?为什么?∠AOB,再让学生想办法能否把图8、图9自己转化为图7?如何作辅助线?上面三图中∠ACB都是圆周角,它们的位置有什么不同?是依据什么来分的?(划分的标准同一)。还有没有考虑到的情况呢?(划分的完整性)。不重不漏,这一进行证明的方法叫分类讨论法,也可称为完全归纳法。——列举了所有情况进行讨论。在图6上,仅仅变动C在⊙O上的位置而A、B不变,圆周角与同弧上的圆心角相比较,让学生通过比较联想得出同弧上的圆周角相等,再应用结论作一些练习题,如∠AOB=60°,∠ACB=?,∠AC1B=?等。定理的叙述和证明。请学生根据上面的分析写出已知、求证、证明,教师再进行归纳、总结。再由一般到特殊得出推论:1)同弧上的圆周角相等(图11)。2)直径上的圆周角是直角(图12)。3)同圆上的圆周角相等则所对的弧(弦)相等。这也是圆旋转不变性的表现。优弧所对圆周角是钝角(图10)。劣弧所对圆周角是锐角。从而进一步了解量变引起质变。应用圆周角定理常常进行两种转化。1)利用同弧上的圆周角相等实现角与角的转化。2)将角相等的问题转化为弦相等,反之亦然。涉及圆内等积式(或比例式),常由圆周角、弦切角相等转化为证三角形相似。3)遇到直径想圆周角是直角。总之在圆周角的教学中抓住“变中之不变”,同弧上的圆周角相等。同弧上指弧不变。圆周角顶点(变了)但度数担等(不变)。4)应用圆周角定理可得圆内接四边形性质。四、基本定理与比例成就问题的思考掌握直线和圆的相交、相切、相离的概念,掌握直线和圆这三种位置关系与圆心到直线距离大小的关系,理解量变引起质变。会利用切线判定定理、性质定理和切线长定理及切线的定义:遇切作半径,过圆心作辅助线转化为直角三角形研究。弧等、角等、线段等,等的关系。弦切角定义、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理。与圆有关的比例成就问题思考方法一般为:1)直接利用基本定理,如相交弦、切割线定理及推论。2)等积式→比例式→中间式→相似三角形。4)遇切线联想弦切角与线(切线长定理、切线长定理及切割线定理)。在圆的考察中,作图→探索→猜索→证明(计算)的题型往往出现在压轴题中。解题时应充分利用已知的条件或图形特征进行分析。转化思想是本章最重要的数学思想方法,方程函数的思想、数形结合的思想应引起充分重视。