《反比例函数的图象和性质》教学设计(河南省县级优课)x-八年级数学教案

反比例函数的图像和性质教学目标1、使学生会画出反比例函数的图象。2、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质。教学过程一、复习1．什么是反比例函数?2．反比例函数定义要注意什么?(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)自变量x次数是-1;x与y之积为一非零常数；(3)不含其他项。二、提出问题，解决问题问题1：对于一次函数y＝kx＋b(b≠0)，我们是如何研究的?问题2：对于反比例函数的研究，能否象一次函数那样进行研究呢?问题3：上节课我们已经学习了反比例函数的定义，接下去将要研究什么问题?问题4：:对于—般的反比例函数y=EQ\f(k,x)(k≠0，k是常数)的图象的研究，采取什么方法为好?例：画出函数y=EQ\f(6,x)的图象。分析：画出函数图象一般分为列表，描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0。解:1列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值；2．描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各个点。3．连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一分支。这两个分支合起来，就是反比例函数的图象，如图所示。这种图象通常称为双曲线。提问:这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?画出函数y＝－EQ\f(6,x)的图象。让学生动手画反比例的函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤；教师注意指导画函数图象有困难的学生，并评析。让学生讨论、交流以下问题；1、这个函数的图象在哪两个象限?和函数y＝EQ\f(6,x)的图象有什么不同?2、反比例函数y＝EQ\f(k,x)图象在哪两个象限?由什么确定?3、联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中，随着自变量x的增加，函数y将怎样变化?有什么规律?在充分讨论、交流后达成共识：(1)当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象跟内y随x的增加而减小;(2)当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增大．四、课堂练习：P52页练习1、2五、小结：这节课，你学会了什么？本节课学习了如下内容.1.反比例函数y=的图象,当k>0时,在第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小;当k<0时,图象在第二、四象限内,y的值随x值的增大而增大.2.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,分别过P,Q作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2,则有S1=S2.3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合,即反比例函数是中心对称图形.4.反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交.但是当x的值越来越接近于0时,y的值将逐渐变得很大;反之,y的值将逐渐接近于0.因此,图象的两个分支无限接近x轴和y轴,但永远不会与x轴和y轴相交.六、作业：：P52页习题18、42、3七、活动与探究反比例函数图象与三等分角历史上,曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.任取一锐角∠POH,过点P作OH的平行线,过点O作直线,两线相交于点M,OM交PH于点Q,并使QM=2OP,设N为QM的中点.∵NP=NM=OP,∴∠1=∠2=2∠3.∵∠4=∠3,∴∠1=2∠4.∴∠MOH=∠POH.问题在于,如何确定线段QM两端点的位置,并且保证O,Q,M在同一条直线上?事实上,用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次,能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?帕普斯(Pappus,公元300前后)给出的一种方法是:如下图,将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,角的一边OA与y=的图象交于点P,以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M,连接OM得到∠MOB.(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上?(2)你能说明∠MOB=∠AOB的理由吗?(3)当给定的已知角是钝角或直角时,怎么办?解:(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1,),R(a2,),则Q(a1,),M(a2,).设直线OM的关系式为y=kx.∵当x=a2时,y=∴=ka2.∴k=.∴y=x.∴Q(a1,)在直线OM上.(2)∵四边形PQRM是矩形.∴PC=PR=CM.∴∠2=2∠3.∵PC=OP,∴∠1=