《公式法》教学设计(甘肃省省级优课)-九年级数学教案

18.4一元二次方程的根与系数的关系教学目标知识与能力：1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；3、已知一根求另一根及系数。过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。情感、态度与价值观：通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。教学重、难点重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。难点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。学情分析：九年级学生分层较大，但部分同学已具有一定的数学逻辑和良好的学习习惯。一、创设情景，引入新课师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。同学们还记得这个小秘诀是什么吗？生：通过“Δ”的值来判断一元二次方程的根的情况。当“Δ＞0”当“Δ=0”当“Δ＜0”师：回答的真好。其实啊，一元二次方程还有一个小秘密，而且是一个非常重要的秘密，同学想知道吗？生：想。师：那么这节课我们一起来探究这个秘密。一元二次方程的根与系数的关系（板书课题）二、探索新知，解决问题1、两人一组，完成问题卡片上的表格1.方程x1x2x1+x2x1x2x2–7x+12=0x2+3x–4=03x2–4x+1=0表格1师：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。生：……师：若方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？生：x1+x2=–p，x1x2=q师：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？生：不一定。师：为什么不一定呢？生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1，如果二次项系数不为1时，可能就不存在这样的关系了。师：同学们观察的非常的仔细。那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格2。方程x1x2x1+x2x1x29x2–6x+1=03x2–4x+1=03x2+7x+2=02x2+x+1=0表格2师：观察表格2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？生：学生认真思考，并回答。（学生总结的可能不是很全面，或者有的学生可能不能做出总结，要做适当的引导和补充）师：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，你能用式子表示你发现的规律吗？生：能。x1+x2，x1x2。师：我们的猜想是否正确呢？生：思考回答。师：请同学们认真阅读课本34页，看看课本上是怎么证明它的正确性的。设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，∴，.（学生1上黑板演示）（学生2上黑板演示）韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1+x2，x1x2。（一元二次方程根与系数的关系，是由十六世纪法国数学家韦达发现的，为了纪念韦达对数学界所作出的贡献，因此以他的名字来命名。其实，很多真理都是从我们日常生活中发现的。例如牛顿从一颗下落的苹果中领悟到行星运转的道理，从而发现了万有引力；德国天文学家魏格纳，躺在病床上看到挂在墙上的世界地图，发现了“大陆漂移说”等等。同学们，今天你们认真观察身边中的每件小事、多动脑、多思考，也许明天你也会成为伟人，被载入史册，流芳百世。）好了，我们言归正传。我们学习了韦达定理，那么它在我们生活中有哪些应用呢？在你们的问题卡片上有几个例题，我们一起来看一下。三、应用新知例1：已知关于x的一元二次方程x2+mx–6=0的一个根是2，求方程的另一个根和k的值。解：方法一(利用根与系数的关系)：∵方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，设另一个根为x1，∴2x1＝－6，解得x1＝－3，∴方程的另一个根是－3.方法二(代入法)：把x＝2代入原方程，得22＋2m－6＝0，解得m＝1.把m＝1代入原方程，得x2＋x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3.例2：已知x1,x2是方程x2–4x+1=0的两个根，求x1+x2，x1x2，x12+x22及(x1–x2)2的值。注：另几种常见的求值：四、巩固新知，提高认知第一环节：当堂测评1．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1＋x2的值是 () A.0 B.2 C．－2 D.42．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于 () A．－4 B．－1 C．1 D．43．已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为___________．第二环节：分层作业A组：基础达标2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，x1+x2，x1x2，x12+x22及(x1–x2)2的值。B组：能力提升3、方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 () A．－2或3 B．3 C．－2 D．－3或2 【解析】∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2， ∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2. ∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(m＋6)2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0. 解得m＝6或m＝－2， ∴m＝－2.4、设a，b是方程x2＋x－2016＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 () A．2013 B．2014 C．2015 D．2016 【解析】∵a是方程x2＋x－2016＝0的根， ∴a2＋a－2016＝0， ∴a2＋a＝2016. 又由根与系数的关系，得a＋b＝－1， ∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋(a＋b)＝2016－1＝2015，故选C项．C组：拓展提升1、已知方程的两个实数根是x1,x2，且，求k的值.解：由根与系数的关系得x1+x2=-k，x1x2=k+2又x12+x22=4，即(x1+x2)2-2x1x2=4∴K2-2(k+2）=4，即K2-2k-8=0解得k=4或k=－2∵△=K2-4k-8当k=4时，△=-8＜0∴k=4(舍去）当k=-2时，△=4＞0∴k=-22、方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。五、课堂小结1、韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1+x2，x1x2。（要特别强调a和Δ的取值范围）。2、韦达定理的应用：（1）已知方程的一根，求另一根及未知数的值。（2）求关于两根的代数式的值。六、课堂反思第一，使得每一位学生都能参与探究，学生的认知能力总是有所差异的，如果将这两类方程同时加以研究的话，有一部分同学很难参与，事实上，研究事物往往从简单到复杂，当a=1时，容易发现根与系数的关系，当a≠1时，猜想不正确，造成认知上的冲突，更能激发学生去完善第一次的猜想，培养学生勇于探究、积极思维的精神；第二，

给予学生一个适度的梯度探究空间，在循序渐进的教学原则下，通过“特例探究——一般猜证——深化理解”的教学设计，由“实验——猜想——再实验——再猜想”的探究过程，使学生感悟认识事物的规律是由特殊到一般，由具体到抽象的思维过程，学生在这样的氛围下，会感到新知是旧知的自然延伸和自然流露，对于学生而言，既经历了一次探究性