2024届一轮复习人教A版 均值不等式 课件（52张）

内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.均值定理：≥(1)成立的条件_________.(2)等号成立的条件：当且仅当____时取等号.a>0，b>0a=b2.利用均值不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当____时，x+y有最___值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当____时，xy有最___值.(简记：和定积最大)x=y小x=y大【常用结论】1.均值不等式的两种常用变形形式(1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a=b时取等号).(2)a+b≥2(a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号).2.几个重要的结论(1)≥.(2)≥2(ab>0).(3)≤≤≤(a>0，b>0).【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)重要不等式和均值不等式成立的条件、等号成立的条件都是相同的.(

)(2)a,b都是非负数,a+b≥2,那么a+b的最小值是2. (

)(3)函数f(x)=x+的最小值是2. (

)提示:(1)×.变量范围不同.(2)×.2是否是最小值既要看ab是否为定值,还要看等号是否成立.(3)×.函数f(x)=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视定值拼凑考点一、角度12忽视定值构造考点一、角度23忽视整体构造考点一、角度4【教材·基础自测】1(必修5P73习题3-2AT9改编)当x>1时,x+的最小值为________.

【解析】当x>1时,x+=x-1++1≥+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立.答案:32.(必修5P72练习BT5改编)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.

【解析】设底面的相邻两边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2=80+20×4=160(当且仅当x=y时取等号).故该容器的最低总造价是160元.答案:1603.(必修5P70例2(2)改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.

【解析】设一边长为xm,则另一边长可表示为(10-x)m,由题知0<x<10,则面积S=x(10-x)≤=25,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,故当矩形的长与宽相等,且都为5m时面积取到最大值25m2.答案:25

命题精解读考什么:(1)考查求最值,证明不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养.怎么考:求式子的最值,证明不等式、与函数结合考查求函数的值域,与解析几何结合求面积等几何量的最值.新趋势:与函数相结合求值域.学霸好方法1.求最值的解题思路(1)拼凑法:拼凑成积或和为定值,利用基本不等式求相应的最值.(2)构造法:通过对已知条件的变形,构造定值,代入后利用基本不等式求值.(3)消元法:当要求最值的式子中含有多个字母时,应考虑利用已知条件减少字母的个数,以达到利用基本不等式求最值的目的.2.交汇问题与方程、不等式交汇时,涉及恒成立问题、参数的范围等.

【命题角度1】通过拼凑定值求最值【典例】已知a,b>0,则的最小值为__________.

【解析】因为a,b>0,方法一:原式=当且仅当,a=b时取等号.方法二:所以当且仅当,即a=b时取等号.答案:3【解后反思】本例不能直接运用基本不等式时怎么办?提示:通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形,再观察拼凑定值利用基本不等式求最小值.【命题角度2】通过常值代换求最值【典例】(2019·深圳模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,则的最小值为(

)A. B. C. D.【解析】选A.已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,a-1>0,则当且仅当,a+b=2时取等号.则的最小值为.【解后反思】将条件进行变形目的是什么?提示:将已知条件变形,变形的方向是要证明的式子,特别是与式子分母相关的定值,将定值变为1后相乘,再利用基本不等式求最值.【命题角度3】通过消元求最值【典例】(2020·武汉模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为(

)A.

B.

C.

D.【解析】选B.因为正数x,y满足x+4y-xy=0,所以>0,解得x>4,所以当且仅当x-4=,x=6时等号成立,所以的最大值为.【解后反思】将其中一个字母利用另一个字母表示,代入后的变形方向如何?提示:构造定值以利用基本不等式求最值.【命题角度4】构造二次不等式求最值【典例】(2019·重庆模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为________.

【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,所以6-2a-b=ab=,所以(2a+b)2+8(2a+b)-48≥0,所以2a+b≥4,当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.答案:4【解后反思】本题利用基本不等式,将已知式子进行转换的目标是什么?提示:转化成关于2a+b的二次不等式,通过解不等式求最值.【题组通关】【变式巩固·练】1.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为(

)A.-9

B.9

C.10

D.02.(2020·厦门模拟)已知0<x<1,当取得最小值时x= (

)A. B. C. D.3.(2019·嘉兴模拟)已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为 (

)A.5+2 B.8 C.5 D.94.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是 (

)A.1

B.3

C.6

D.12【解析】1.选B.当且仅当xy=±时,上式取得等号,可得最小值为9.2.选D.因为0<x<1,所以1-x>0,所以当且仅当,即x=时取等号,所以取得最小值时x=.3.选A.因为a>0,b>0,且2a+b=ab-1,所以a=>0,所以b>2,所以a+2b=+2b=2(b-2)++5≥,当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.所以a+2b的最小值为5+2.4.选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=,所以≥2=3.当且仅当,即x=1时取等号.【综合创新·练】1.已知点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,若存在满足该条件的a,b,使得不等式≤m2+8m成立,则实数m的取值范围是 (

)A.(-∞,-1]∪[9,+∞)B.(-∞,-9]∪[1,+∞)C.[-1,9]D.[-9,1]【解析】选B.点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,可得a+2b=1,当且仅当a=b=时取得等号,即的最小值为9,则9≤m2+8m,解得m≥1或m≤-9.2.以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x>0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的所有“望圆”中半径最小值为 (

)A.4

B.

C.8

D.2【解析】选D.根据题意,设为曲线C上任意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则当且仅当t=时,等号成立,则r的最小值为2.考点二基本不等式在实际问题中的应用【典例】经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为当该型号汽车的速度为________km/h时,每小时耗油量最少,最少为每小时________L. 【解析】当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4900)=[(x-65)2+675],所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.因为9<10,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65km/h时,可使得每小时耗油量最少,最少为每小时9L.答案:65

9【规律方法】有关实际问题中的最值问题(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.【变式训练】网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是________万元.

【解析】由题意知t=-1(1<x<3),设该公司的月利润为y万元,则y=x-32x-3-t=16x--3=16x--3=45.5-≤45.5-2=37.5,当且仅当x=时取等号,即最大月利润为37.5万元.答案:37.5考点三基本不等式的交汇应用【典例】1.已知A,B是函数y=2x的图象上不同的两点,若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是 (

)A.(-∞,-1) B.(-∞,-2)C.(-∞,-3) D.(-∞,-4)2.已知等差数列{an}中,a3=7,a9=19,Sn为数列{an}的前n项和,则的最小值为________.

【解题导思】序号联想解题1由A,B是图象上两点,想到设出点的坐标;由点A,B到直线距离相等想到构造等式条件2由a3,a9想到基本量的运算,由Sn,an想到求出代入【解析】1.选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设x1<x2.函数y=2x为单调增函数,若点A,B到直线y=的距离相等,则