幂函数的性质与图像

幂函数的性质与图像上海南汇中学周静波【教学目标】1、掌握幂函数的概念。2、掌握幂函数的性质和图像。3、通过研究幂函数的性质作出幂函数的图像。4、熟悉特殊到一般的数学研究方法及数形结合的数学思想。【教学重点】幂函数的图像与性质【教学难点】幂函数的图像教学过程一、回顾与本堂课相关的知识点这节课是学习一类新的函数——幂函数。因此课前先要复习相关的知识点。(1)若，则。()这节课是学习一类新的函数——幂函数。因此课前先要复习相关的知识点。ak指数底数幂(2)若，则。（且）ak指数底数幂(3)有理数集Q={互质}(4)如图:二、新课由一些熟悉的函数通过变形，发现这类函数都可以写成“幂”的形式。1、引入熟悉的函数——这些函数都可以写成底数为由一些熟悉的函数通过变形，发现这类函数都可以写成“幂”的形式。(1)(2)2、定义形如，（其中且互质）的函数叫幂函数。给出幂函数的定义，由运用定义来判断几个函数是否是幂函数。注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，指数是有理数。给出幂函数的定义，由运用定义来判断几个函数是否是幂函数。练习判断：下列各式中表示幂函数的有（）答案：CEFA、B、C、D、E、F、G、思考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？（回顾第三章的内容——函数的性质考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、图像）3、研究探索例1、研究函数的奇偶性、单调性，并作出函数的图像。幂函数会具有什么性质？通过回忆函数的性质，从这几个方面入手。顺便可以复习与函性质相关的知识点。数解：函数的定义域为，值域为。幂函数会具有什么性质？通过回忆函数的性质，从这几个方面入手。顺便可以复习与函性质相关的知识点。数（1）奇偶性。因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶的函数。（2）单调性。对任意，且可得则即所以函数在上为减函数。由以上几点分析函数的图像的性质：由，可知函数的图像只在第一象限；由函数非奇非偶，可知图像不对称；由函数是减函数，可知y随x的增大而减小。描点作图：x0.250.512342.01.410.70.60.5yy1.41.4110.70.7O0.512xO0.512x例2、指出的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。解：定义域为R，值域为（1）奇偶性。对任意，满足，使得所以该函数是偶函数。（2）单调性。对任意，且所以，故有即所以在上为增函数。作图时不妨考虑到函数的奇偶性与函数图像对称性之间的关系，更加简便。同理可得在上为增减数。作图时不妨考虑到函数的奇偶性与函数图像对称性之间的关系，更加简便。描点作图：x012301yy111Ox1Ox在作函数的图像时，可以先描点作出该函数在第一象限内的图像，再由其奇偶性作出对称的另外一部分图像。小结：研究函数图像的基本方法不仅适用于幂函数，对任意函数都是可行的。小结：研究函数图像的基本方法不仅适用于幂函数，对任意函数都是可行的。小结：研究函数图像的基本步骤（方法）1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。2、由单调性判断图像的变化趋势。3、由奇偶性判断函数图像是否对称。练习：指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。y1O1x定义域：Ry1O1x学生自己根据函数的性质来作函数的图像，体会研究函数图像的方法。值域：R学生自己根据函数的性质来作函数的图像，体会研究函数图像的方法。奇偶性：奇单调性：增函数4、归纳总结思考：幂函数有哪些性质？（分析幂函数在第一象限内图像的特点。）yy11OO1x1x小结：幂函数图像在第一象限的特点。总结：幂函数图像在第一象限内的特点。（1）图像必过点。总结：幂函数图像在第一象限内的特点。（2）时，过点，且随x的增大，函数图像向y轴方向延伸。在第一象限是增函数。（3）时，图像是直线y=x。在第一象限内是增函数。（在整个定义域内都是增函数。）课堂总结，归纳本堂课的主要内容：即不仅学习了幂函数，更懂得如何运用函数性质研究函数图象。体会数形结合的思想在解题和思考中的应用。（4）时，随x的增大，函数图像向x轴方向延伸。在第一象限是增函数。课堂总结，归纳本堂课的主要内容：即不仅学习了幂函数，更懂得如何运用函数性质研究函数图象。体会数形结合的思想在解题和思考中的应用。（5）时，随x的增大，函数图像与x轴、y轴无限接近，但永不相交。在第一象限是减