上海高一数学第二学期寒假班教义1

第一讲一、对数的概念及其运算1、对数的概念（1）一般地，如果，那么数叫作以为底的对数，记作；其中叫作对数的，叫作，读作。（2），其中的取值范围是；（3）常用对数以10为底对数称为常用对数，记作：；（4）自然对数以无理数e为底的对数称为自然对数，记作注：2、对数运算（1）对数运算的法则若，，，则（2）对数的换底公式；（换成以为底的对数，）（3）换底公式的常用推论（1）（2）（3）（4）例题例1、求下列各式中的值（1）（2）（3）（4）例2、若，则的取值范围是什么？例3、试推导和例4、设，求的值；例5、若，求的值例6、已知，则。例7、下列式子成立的是（）A、B、C、D、例8、化简求值（2）（3）（5）（6）（7）（8）例9、用，，表示下列各式：（1）（2）（3）例10、若，，则的值为，例11、若，用表示得.例12、若，则的值为.1例13、若，则用表示______________．二、反函数1、反函数的概念对于函数，设它的定义域为，值域为，若对于每一个都有唯一确定的满足，则这样的对应也构成一个函数，称为原函数的反函数，记作．在习惯上，自变量常用表示，而因变量用表示，所以把它改写为．2、反函数的性质（1）原函数与其反函数的图象关于直线对称．（2）原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域．（3）奇函数的反函数仍是奇函数，偶函数没有反函数．（4）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．3、例题例1：求下列函数的反函数（1）（2）例2：（1）已知（、、是常数）的反函数是，求的值．（2）设点既在函数的图象上，又在其反函数的图象上，求．例3：已知，求（对数函数形式）例4：已知，求（根式形式）例5：求的反函数（分式形式）例6、已知，求的反函数（二次函数形式）例7、求的反函数（分段函数形式）例8、已知的值例9、已知的图像过点，其反函数的图像过点，求的表达式。例10、已知函数的图像关于直线对称，求a的值三、对数的图像1、定义：一般地，函数（且）就是指数函数（且）的反函数.因为的值域是，所以，函数的定义域是.通过对数函数和指数函数的关系利用互为反函数的两函数的关系探求对数函数的图像和性质提问绘制图像的方法：（1）利用反函数的关系；（2）描点绘图图像Ｏ Ｘ2、对数图像性质对数函数性质1.对数函数的图像都在Ｙ轴的右方.性质2.对数函数的图像都经过点（1，0）性质3.当时，；当时，；当时，.当时，.性质4.对数函数在上是增函数.对数函数在上是减函数.3、例题求下列函数的定义域：；（2）；（3）.解（1）因为，即，所以函数的定义域是.（2）因为，即，所以函数的定义域是.（3）因为，即，所以函数的定义域是.例2.利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：（1）和;(2)和；（3）和，其中解（1）因为对数函数在上是增函数，又，所以<.（2）因为对数函数在上是减函数，又3<,所以>.(3)①当时，因为对数函数在上是增函数，又，所以>.②当时，因为对数函数在上是减函数，又，所以<.课后作业1、；2、，，则的值是；3、；4、若=0，则。5、=；6．函数的定义域为.7．函数的定义域为；值域是.；8．函数的值域为.9．已知，是的反函数，则的值是.10．若实数，函数在上的最大值比最小值大1，则实数.11．满足式子成立的实数的取值范围是