十曲线积分与曲面积分

（二）线面积分的计算方法1.曲线积分的计算⑴基本方法:曲线积分定积分第一类线积分：设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为,，（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）其中在上具有一阶连续导数，且，则【例1】求，其中L是由所表示的曲线上相应于的一段弧.解（法一),故原式=.（法二)容易看出积分弧段关于轴对称，而被积函数是关于变量的奇函数，故OAB【例2】求，其中Ｌ是以为顶点的三角形(图10．１)边界。OAB解【例3】求，式中L为圆周解L的极坐标方程为则【例4】求，其中L是曲线解,于是

第二类线积分：设在有向曲线弧Ｌ上有定义且连续，Ｌ的参数方程为,当单调地时,(要解决1、积分限，２、被积函数，3、弧微分)点从L的起点沿运动到终点,在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且,则【例1】求,其中是曲线上从点到点的一段弧.解由得,故原式=B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy其中如图１０.２所示图10．2图10．2解(法一）原式=解（法二)因为，又，故原式＝【例３】求，其中Ｃ为曲线,解当时，，则；当时，，则；ﻬ⑵基本技巧利用对称性简化计算；【例1】求，其中为圆周.解由对称性得,故【例２】求，其中解利用对称性ﻬ利用格林公式(注意:添加辅助线的技巧)；【定理1０。１】格林(Ｇreｅn）公式设函数和在分段光滑的闭曲线所围成的闭区域上具有一阶连续偏导数,则有其中是的正向边界．【例1】计算，其中是，顺时针方向计算对于坐标的曲线积分第二种解法:利用格林公式求解,计算前必须使用代入技巧，消去分母，否则工作量太大。因为是反向的，所以使用格林公式是需要补加一个负号。解将代入被积分式中,=根据格林公式,原式.【例2】计算,其中是的上半圆周,顺时针方向。不易直接计算,应该检验.补充由２至０,原式＝。然后利用格林公式.解设。补：由2至0，与所围成的区域记为．原式＝ﻬ利用积分与路径无关的等价条件【定理10。３】（积分与路径无关的条件）设函数和在单连通区域内具有一阶连续偏导数,则下列四个条件相互等价，即互为充要条件：(１)在内与路径无关;（2）在内存在一个函数，使，其中为内任一取定的点.(3），其中Ｌ为内任一分段光滑的闭曲线（4）在内等式恒成立【例1】求,其中Ｌ为从点到点的一段弧解，故积分与路径无关，选取折线路径原式=【例2】适当选取，使是某个函数的全微分，并求出解因为令,比较系数得【例3】试确定可导函数，使积分与路径无关,且求为时的积分值。此处解令,则有,解一阶线性非齐次微分方程得，代入得，,即。当为时，积分为【例４】计算,其中为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.解设则,除去原点以外一切点上式都成立.①当曲线的内部不含原点时。②当曲线的内部含原点时，可在的内部做一个充分小的椭圆,从到。利用复连通域上的格林公式,有

利用两类曲线积分的联系公式【定理10．2】（两类曲线积分之间的关系)其中，和表示曲线的切向量的方向角。

2．曲面积分的计算⑴基本方法：曲面积分二重积分第一类面积分:当曲面由方程给出,，(为在面上的投影区域）要解决ﻩ1、曲面方程如及投影区域，２、被积函数，3、面积微分）注：如果积分曲面由方程或给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分．【例1】求,其中为锥面介于及之间的部分．解曲面在坐标平面上的投影为。，,故【例2】求，为曲面被平面割下的部分解设表示在第一卦限内部分,则ﻬ第二类面积分:，(其中由方程给出前侧取正，后侧取负)，（其中由方程给出右侧取正,左侧取负），（其中由方程给出上侧取正，下侧取负）【例１】求,为锥面及平面和所围成的立体表面的外侧解设，其中，在面上的投影分别为【例２】设是椭球面的外侧，求.解设是的上半椭球面的上侧和下半椭球面的下侧，在面的投影为,则同理得，所以ﻬ⑵基本技巧①利用对称性及重心公式简化计算;【例1】求，为球面的外侧.解记，利用Gauｓs公式,有原式=，由重心坐标得原式＝ﻬ②利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧）；【定理10。5】高斯(Ｇauｓs）公式设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数,则有或这里是的整个边界曲面的外侧，是在点处的法向量的方向余弦【例1】求，其中是球面内侧．解【例2】求，其中是球面外侧.解由已知得,则由Ｇaｕss公式得原式=【例3】求，其中是曲面的下侧。解补充,取上侧ﻬ③两类曲面积分的转化．【定理1０.