《一元一次不等式与一次函数的综合应用》教学设计(陕西省县级优课)x-八年级数学教案

§2.5一元一次不等式与一次函数教学设计蓝田县初级中学陈睿【教学目标】1.通过作函数的图象、观察函数的图象进一步理解函数的概念.2.在具体问题中体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系.3.进一步培养学生作函数图象及利用图象分析问题、解决问题的能力.【重点】一元一次不等式与一次函数的联系.【难点】作函数图象,观察图象,明确函数与不等式的联系.【课前准备】与学生交流，拉近与学生之间的距离，并得知学生的小愿望就是今天没有数学作业将教师的学生分A/B两组按座位依次排序每位学生都有对应的号，作用：方便进行抽签提问。也促进学生参与，提高课堂效率，也利于对学生整体进行评价。【教师】多媒体课件.【学生】复习一次函数的图象和一元一次不等式的解法.【教学过程】一、课堂导入部分上一节我们类比一元一次方程的解法,根据不等式的基本性质,学习了一元一次不等式的解法,并利用一元一次不等式解决了一些实际问题.本节课我们来学习一元一次不等式的其他解法.意图由“旧”引“新”,以原有的知识为基础,利用初中生的好奇心理,激发学生探究新知的兴趣.二、学生思考部分思考一：一元一次不等式与一次函数之间的关系（找关系）[过渡语]我们利用一次函数的图象可求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集.看下面的问题.函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:(1)x取何值时,2x-5=0?(2)x取哪些值时,2x-5>0?(3)x取哪些值时,2x-5<0?(4)x取哪些值时,2x-5>1?问题分析:(1)当y=0时,2x-5=0,解得x=.所以当x=时,2x-5=0.(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件.当y=0时,有2x-5=0,解得x=,当x>时,图象位于x轴的上方,即y>0,因此当x>时,2x-5>0.(3)同理可知,当x<时,2x-5<0.(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上任一点对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,2x-5>1.意图通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.思考二、用一元一次不等式与一次函数的关系（用图像）[过渡语]大家还记得一次函数吗?请举一个简单的例子.生:如y=2x-5为一次函数.师:在一次函数y=2x-5中,当y=0时,有方程2x-5=0;当y>0时,有不等式2x-5>0;当y<0时,有不等式2x-5<0.由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切联系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于某个值时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:(1)x取何值时,2x-5=0?(2)x取哪些值时,2x-5>0?(3)x取哪些值时,2x-5<0?(4)x取哪些值时,2x-5>1?问题分析:(1)当y=0时,2x-5=0,解得x=.所以当x=时,2x-5=0.(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件,当y=0时,有2x-5=0,解得x=,当x>时,图象位于x轴的上方,即y>0.因此当x>时,2x-5>0.(3)同理可知,当x<时,2x-5<0.(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上的任一点所对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,2x-5>1.意图通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.[过渡语]刚刚我们探讨了一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系,下面我们看两个例题,看同学们能不能解决.三、学生交流应用部分这部分让学生以组为单位去尝试解决生活中的实际问题，让学生体会如何去思考。议一议:我们来帮忙问题：某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费。（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算？（3）什么情况下两公司的收费相同？解：设制作宣传材料数为x，

由“甲公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3000元；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费”得：

甲广告公司的收费为20x+3000，乙广告公司收费为30x．

∴20x+3000-30x≥0，

∴x≤300．

故（1）x＞300时选择甲公司比较合算；

（2）x＜300时选择乙公司比较合算；

（3）x=300时两公司的收费相同．或者用这样的题我们学校校园文化节需刻录给所有学生演员一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘费）．问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由.设需刻录x张光盘，则

到电脑公司刻录需y1=8x（元），

自刻录需y2=120+4x（元），

∴y1-y2=4x-120=4（x-30），

∴当x＞30时，y1＞y2；当x=30时，y1=y2；当0＜x＜30时，y1＜y2．

即当这批光盘多于30张时，自刻费用省；当这批光盘少于30张时，到电脑公司刻录费用省；当这批光盘为30张时，到电脑公司与自刻费用一样．意图：举生活中的的例子更能使学生会感兴趣，会用心去思考。尝试用两种方法解决问题因为这样可以体会不同的思维方式可以得到相同的结果，还能体会两种方法的特点。这样可以指导我们如何更有效地去解决问题。四、学生展示做题方法策略部分如果学生敢试敢讲敢表演，就大胆地让学生讲出来，可以发现学生的优点和不足之处(教材做一做)兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:(1)何时弟弟跑在哥哥前面?(2)何时哥哥跑在弟弟前面?解:设哥哥跑的时间为x秒,哥哥跑过的路程为y1m,弟弟跑过的路程为y2m,根据题意,得y1=4x,y2=3x+9,画出函数图象如图所示:由图象可知:(1)当0<x<9时,弟弟跑在哥哥前面.(2)当x>9时,哥哥跑在弟弟前面.意图感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.五、本课小结部分（畅所欲言）本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系,并且能根据一次函数的图象求解不等式.六、课堂反馈部分或者用敢于挑战让学生大胆思考，让学生体会数形结合思想的乐趣。大大节省做题时间，提高做题速度。根据学生的学习状态，如果学生活泼，基础扎实，勤于动脑就可以让学生大胆尝试，这样可以提高学生的自信心，提高学生的兴趣和学习动力。如果学生学习气氛不浓，基础不扎实可以做自我检测部分。①课堂测验1.一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则一元一次不等式2x-4≤0的解集为 ()A.x≤2 B.x<2C.x≥2 D.x>2解析:根据一次函数的图象可以求出不等式2x-4≤0的解集为x≤2.故选A.2.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买支钢笔.

解析:设可买x支钢笔,则笔记本可买(30-x)本,由题意得5x+2(30-x)≤100,解得x≤13.又x取整数,所以x可取的最大值为13.故填13.3.对于一次函数y=-3x+12,当x为何值时:(1)y>0?(2)y=0?(3)y<0?解:(1)令-3x+12>0,得x<4,即当x<4时,一次函数y=-3x+12中的y>0.(2)令-3x+12=0,得x=4,即当x=4时,一次函数y=-3x+12中的y=0.(3)令-3x+12<0,得x>4,即当x>4时,一次函数y=-3x+12中的y<0.4.一艘轮船以20km/h的速度从甲港驶往160km远的乙港,2h后,一艘快艇以40km/h的速度也从甲港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象,观察图象回答下列问题:(1)何时轮船行驶在快艇的前面?(2)何时快艇行驶在轮船的前面?(3)哪一艘船先驶过60km?哪一艘船先驶过100km?解:设轮船行驶的路程为y1km,快艇行驶的路程为y2km,轮船行驶的时间为xh,则有y1=20x,y2=40(x-2).画出函数图象如图所示:由得即两函数图象的交点为A(4,80).观察图象可得:(1)轮船行驶4h前,轮船行驶在快艇的前面.(2)轮船行驶4h后,快艇行驶在轮船的前面.(3)轮船先驶过60km,快艇先驶过100km.(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营出租车公司的车合算?(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km,那么这个单位租哪家车合算?解:由图象可知:(1)每月行驶的路程小于1500km时,租国营出租车公司的车合算.(2)当每月行驶的路程为1500km时,租两家车的费用相同.(3)如果每月行驶的路程为2300km,那么这个单位租个体车主的车合算.②我来挑战问题：函数y＝x2－3x－4的图象如图所示，根据图象直接写出不等式x2－3x－4＜0的解集.