高中数学人教A版必修第一册第三章3.2.1《函数的单调性》课件(21张PPT)

3.2.1函数的单调性24681012141618202224

108642-20θ/ºCt/h某市一天24小时的气温变化图y＝f(x)，x∈[0，24]请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?一、探究概念——直观感知“形”问题探究：(1)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1时,y=1,当x=2时,y=3,

那么y是否随着x的增大而增大？xy21013一、探究概念——具体感知“数”问题探究：(2)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1,2,3,4时,对应地y=1,2,3,5,

那么y是否随着x的增大而增大？xy134201235问题探究：(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<xn时,对应地y1<y2<y3<……<yn,

那么y是否随着x的增大而增大？若x取无数个值呢？x应该取区间D内的任意实数xy0xny1y2y3ynx2x1x3任意性文字语言:当x≥0时，y随x的增大而增大；x增大y增大x0123………f(x)=x2………图形语言:图象从左到右是逐渐f(x1)<f(x2).

x1,x2∈[0,+∞),当x1<x2时,都有符号语言:x1x2f(x1)f(x2)上升的；有序性同区间性任意性二、深度学习——精确刻画“性质”0149

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I:

如果那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，

如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

如果

x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.f(x1)f(x2)x10x2xyf(x1)f(x2)x10x2xy同区间性有序性任意性问题探究：函数f(x)=

在定义域上的单调性？单调区间为(-∞,0),(0,+∞)注意：单调区间一般不能取并集，应该用“和”或“,”连接f(x)在(-∞,0)上单调递减f(x)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减f(x)在(0,+∞)上单调递减√×函数f(x)在区间D上单调递增(1)定义：

x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，

作差法即x1-x2<0(2)等价结论：

x1,x2∈D，当x1≠x2时，

等价于[x1-x2][f(x1)-f(x2)]>0

等价于三、深化应用——思路灵感

f(x1)-f(x2)<0x1-x2与

f(x1)-f(x2)同号函数f(x)在区间D上单调递减(1)定义：

x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，

作差法即x1-x2<0

f(x1)-f(x2)>0(2)等价结论：

x1,x2∈D，当x1≠x2时，x1-x2与

f(x1)-f(x2)异号

等价于[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0

等价于在(,0)上单调递减请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0D.(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<xn时,x1,x2∈[0,+∞),当x1<x2时,都有函数f(x)在(1,2)上单调递减的是()数学抽象、逻辑推理、数学建模课本第79页练习的第2、3题；在(,0)上单调递减∴k(x1-x2)<0，注意：单调区间一般不能取并集，∴函数f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函数.如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；(4)函数f(x)在区间[2,6]上不单调，则实数a的取值范围为.∴函数是(0,+∞)上的减函数.∴，即y1<y2证明:x1,x2∈R且x1<x2一、探究概念——直观感知“形”在(,0)上单调递减(1)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1时,y=1,当x=2时,y=3,证明:

x1,x2∈R且x1<x2又k>0，∵x1<x2

，例1.根据定义证明函数f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函数.∴函数f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函数.取值作差变形定号结论∴x1-x2<0∴k(x1-x2)<0，(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2)∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).f(x1)-f(x2)=∴当k>0时，f(x)=kx+b是R上的增函数；当k<0时，f(x)=kx+b是R上的减函数.作差法三、深化应用——严谨规范为了定号，所以因式分解证明:定义域为(0,+∞)，

V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2取值作差变形定号结论∴V2-V1>0，∴p1-p2>0，即p1>p2.

例2.物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.∵V1<V2

，又k>0，∵V1,V2∈(0,+∞)，∴V1V2>0,∴函数

是(0,+∞)上的减函数.即当体积V减小时，压强

p将增大.彻底因式分解数学建模数学抽象数学运算∵x1,x2∈(1,+∞)，证明:

x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2∴x1>1,x2>1，∴x1x2>1,x1x2-1>0又x1<x2

，取值例3.根据定义证明函数在区间(1,+∞)上单调递增.∴，即y1<y2∴函数在区间(1,+∞)上单调递增.作差变形定号结论∴x1-x2<0，常用的变形技巧：

(1)因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差变形后进行因式分解；(2)通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；(3)配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；(4)分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化；(5)分离常数法：当原函数是分式函数时，可以考虑分离常数后再作差，例如.因式分解出x1-x2或x2-x1变式训练：一题多解、一题多变、多题一解、多题归一(3)函数f(x)在区间[2,6]上单调，则实数a的取值范围为

；已知函数f(x)=x2-2(a+1)x+3.(1)函数f(x)的单调递增区间是[3,+∞)，则实数a的值为

；(2)函数f(x)在区间[3,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为

；{a|a≤1或a≥5｝(4)函数f(x)在区间[2,6]上不单调，则实数a的取值范围为

.a=2注意体会两者的细微差别:f(x)的单调递增区间是[3,+∞)；f(x)在区间[3,+∞)上单调递增.{a|a≤2｝{a|1<a<5｝a+1a+1a+1a+1对称轴x=a+1四、拓展延伸——步步生涟漪1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，则函数y=f(x)的单调递增区间是

，单调递减区间是

．[-5,-2]，(1,3](-2,1]，(3,5]五、巩固提升——优化思维2.若

x1,x2∈(1,2)且x1≠x2时，则以下式子可以说明函数f(x)在(1,2)上单调递减的是()

A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)-f(x2)>0

C.

[x1-x2][f(x1)-f(x2)]<0

D.C本节课主要学习了哪些内容？1.知识层面：①单调性的定义②利用定义法证明单调性利用图象法观察单调性2.数学思想：3.学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模直观想象、数学运算、数据分析转化化归、数形结合、分