基于整化群方法的断层突水自组织临界特性研究

基于整化群方法的断层突水自组织临界特性研究

采区导水位的故障可分为两种情况：一是导水位的错误，二是导水位的错误，受到矿山压力的影响，成为导水位的错误。断层采动型突水是指第二种情况,即采煤工作面开采在采场四周形成的矿山压力(支承压力)作用于断层两盘岩体,引起断层的相对移动,从而引发的底板突水。对于原先不导水的断层,要在矿山压力的作用下引发突水,必须首先形成导水通道。若把煤层底板中的断层看成是一种平面构造,并假定断层包含了众多的凹凸体以表征断层面的粗糙性,那么导水通道的形成就是通过逐渐破坏凹凸体来实现的,其过程是一个局部应力集中→破坏某个凹凸体→应力转移→破坏另一凹凸体……这样连锁反应式的凹凸体被各个击破,最后形成导水通道,引发断层突水。大量研究表明,从断层小破裂到形成突水通道,发生断层突水,处处都存在自组织的过程。本文主要采用整化群方法对断层突水的自组织临界特性进行研究。重整化群是一个标度变换群,通过对系统基本单元的一系列自相似变换,得出宏观大系统的特征描述。这种方法将临界相变中关联长度为无穷大作为重整化群中的不动点,在不动点之下计算系统的临界性质,从而将相变的临界点与重整化群变换的不动点有机地联系起来。1单元破坏概率为模拟底板断层在采动作用下发生破裂形成导水通道的过程,我们采用了Smalley等提出的一个分形树的破坏模型,如图1所示。其基本模型如图1(a)所示,假设组成1级原胞的两个1级单元的每一个单元受力F的作用,若一个单元破裂,则力转移至另一个单元,它将受到2F的力。图1(b)给出了3个层次的分形树。它包括4个1级原胞,每个受2F的力。2个二级原胞各受4F的力,而3级原胞则受8F的力。假设,每个单元的破坏概率由二次Weibull分布给出:Ρ0(F)=1-exp[-(FF0)2](1)P0(F)=1−exp[−(FF0)2](1)式中F0为参考强度对于图1中的基本模型,用b表示破坏单元,u表示未破坏单位;并设单元破坏的概率为P0,未破坏的概率为1-P0。各种可能状态的概率用单元的破坏概率P0表示如下:[bb]P2020(2)[ub]2P0(1-P0)(3)[uu](1-P0)2(4)式(2)、(3)中均未考虑由一个单元破坏而发生的应力转移。设P21为已承受有力F的一个未破坏单元再承受附加力F时破坏的概率。那么,当应力转移时[ub]状态发生破坏和不发生破坏的概率是:[ub]→[bb]2P0(1-P0)P21(5)[ub]→[ub]2P0(1-P0)(1-P21)(6)根据(2)式～(6)式,1级原胞破坏概率P1为:Ρ1=Ρ20+2Ρ0(1-Ρ0)Ρ21(7)P1=P20+2P0(1−P0)P21(7)其中条件概率P21为:Ρ21=Ρ0(2F)-Ρ0(E)1-Ρ0(F)(8)P21=P0(2F)−P0(E)1−P0(F)(8)式中:P0(2F)为在2F力作用下单元发生破坏的概率。由(1)式得:Ρ0(2F)=1-exp[-(2FF0)2](9)P0(2F)=1−exp[−(2FF0)2](9)将(9)式代入(1)式得:P0(2F)=1-[1-P0(F)]4(10)将(10)式代入(8)式得:Ρ21=1-(1-Ρ0)3(11)P21=1−(1−P0)3(11)将(11)式代入(7)式得:Ρ1=2Ρ0[1-(1-Ρ0)4]-Ρ20(12)P1=2P0[1−(1−P0)4]−P20(12)经重整化后,显然有:Ρ2=2Ρ1[1-(1-Ρ1)4]-Ρ21(13)P2=2P1[1−(1−P1)4]−P21(13)……Ρn+1=2Ρn[1-(1-Ρn)]-Ρ2n(14)Pn+1=2Pn[1−(1−Pn)]−P2n(14)(14)式即为重整化群变换关系方程。2断层采动型突水系统破坏机制现在求换变的不动点,(14)式的不动点就是方程(14)与Pn+1=Pn的交点,令:Pn+1=Pn=Pc=2Pc[1-(1-Pc)4]-P2c2c(15)解上述方程,可得三个不动点:Pc=0,0.2063,1。如图2所示。与三个不动点相应的λ=dpn+1dpn|Ρcλ=dpn+1dpn∣∣Pc的值分别为0,0.2063,1。所以,Pc=0,1是稳定不动点,Pc=0.2063为不稳定不动点。Pc=0表示断层完全不可能发生破裂;Pc=1表示断层已经破裂形成了导水通道。Pc=0.2063将系统分成两个状态区域,当P0<Pc=0.2063时,经若干次迭代后有P→Pc=0,如图2中折线1所示,即系统破坏仅是局部的;若P0>Pc=0.2063,则经若干次迭代后有P→Pc=1,即系统将失稳,断层破裂形成导水通道,如图2中折线2所示。由上述重整化群分析知,断层采动型突水系统存在一个临界点Pc,当所施加应力仅使断层单元破坏率P<0.2063时,断层内仅呈随机分布强度较低的单元发生破坏,所以,从表观上看,此阶段裂隙的扩展(单元的破坏)呈随机分布,由图2知,系统将向稳定态演化,即破坏停止。反之,当所施加的应力已使断层单元的破坏率P>0.2063时,断层内单元的破裂方式将发生质的变化。此阶段单元的破坏不再是随机独立地进行,相邻单元甚至是整个断层各单元之间都存在着协同的相互作用,即自组织,出现长程关联现象。从表观上看,此阶段原有随机、无序分布的裂隙逐渐向某一吸引域(如断层中的最大剪应力面)集中,直至各裂隙导通,形成导水通道引发断层突水。以上在临界点附近断层中各单元协同作用的系统行为可用关联长度来描述。关联长度ξ可定义为:ξ∝(Ρ-Ρc)-ν(16)ξ∝(P−Pc)−ν(16)上式中ν为临界指数。由图2中知:曲线临界点处的斜率为:λ=dpn+1dpn|Ρc=1.619(17)斜率λ与临界指数ν存在如下关系:λ=bl/ν(18)其中b为标度变换因子,本模型中显然有b=2,则临界指数为:ν=lnb/lnλ=ln2/ln1.619=1.439(19)3应力施加量选择本文对断层采动型突水,采用分形树破坏模型,建立了断层破裂的重整化群变换关系