新教材2023-2024学年高中数学第六章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题课件新人教B版选择性必修第三册

第六章6.3利用导数解决实际问题课程标准1.了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用;2.能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值).基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

基础落实·必备知识全过关知识点最优化问题1.最优化问题的定义生活中,经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等实际问题,这些问题通常称为最优化问题.2.利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系.列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域.(2)求函数y=f(x)的导数f'(x).解方程f'(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值,获得所求的最大(小)值.(4)还原到原实际问题中作答.名师点睛用导数解决实际问题的基本过程解应用题时,首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题——就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型——再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验.其思路如下:(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.过关自诊1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(

)A.13万件 B.11万件

C.9万件 D.7万件C解析

∵y=-x3+81x-234,∴y'=-x2+81(x>0).令y'<0,得x>9;令y'>0得0<x<9.∴函数在(0,9)内单调递增,在(9,+∞)内单调递减,∴当x=9时,函数取得最大值.故选C.2.[人教A版教材习题]将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形.要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?解

设弯成的两个小正方形的边长分别为x,y,重难探究·能力素养全提升探究点一利润最大、效率最高问题【例1】

[北师大版教材例题]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式.(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?解

(1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).(2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.当x≥15时,w'(x)≤0,所以w(x)≤w(15).比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1

340,可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1

340,即该企业的产量为15

t时,可获得最大利润,最大利润为1

340万元.规律方法

利润最大问题的求解方法利用导数解决利润最大问题,关键是要建立利润的函数关系式,然后借助导数研究函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义.变式训练1某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?所以f'(r)=0.8π(r2-2r).令f'(r)=0,解得r=2.当r∈(0,2)时,f'(r)<0;当r∈(2,6)时,f'(r)>0.因此,当半径r>2时,f'(r)>0,f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r<2时,f'(r)<0,f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.(1)半径为6

cm时,利润最大.(2)半径为2

cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.探究点二费用最低(用料最省)问题

规律方法

费用最低问题的求解策略(1)用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.(2)利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.变式训练2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?解

设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设,知p=kv3,于是有p=0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为

小时,所以行令q'=0,解得v=20.当v<20时,q'<0;当v>20时,q'>0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/时时,航行1千米所需的费用总和最少.探究点三面积、体积最大问题【例3】

用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.

解

设容器底面的宽为x

m,由题意知x>0,x+0.5>0,且3.2-2x>0,∴0<x<1.6.设容器的容积为V(x)

m3,则有V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6),∴V(x)'=-6x2+4.4x+1.6.令V(x)'=0,有15x2-11x-4=0,∴当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数;x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.∴V(x)在x∈(0,1.6)时取极大值V(1)=1.8,这个极大值就是V(x)在x∈(0,1.6)时的最大值,即V(x)max=1.8,这时容器的高为1.2

m.∴当高为1.2

m时,容器的容积最大,最大值为1.8

m3.规律方法

面积、体积最大问题的求解策略求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方法来解.变式训练3[2023广东高二期末]如图,在半径为3m的

圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两条半径上.现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=xm,圆柱的体积为Vm3.(1)写出体积V关于x的函数关系式,并指出定义域.(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?最大体积是多少?成果验收·课堂达标检测123451.(多选题)[2023河北邯郸武安第三中学高二校考阶段练习]若将一边长为4的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则下列说法正确的是(

)ABC12345解析

由题意知:方盒的底面为边长为4-2x的正方形,高为x,其中0<x<2,则方盒的容积为V(x)=x(4-2x)2(0<x<2),∴V'(x)=(4-2x)2-4x(4-2x)=(2x-4)(6x-4)=4(x-2)(3x-2),123452.做一个容积为256cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为(

)A.5cm B.6cm C.7cm D.8cmD解析

设水箱的底面边长为x

cm,容积为256

cm3,令f'(x)=0,得x=8,所以当底面边长为8

cm时用料最省.123453.已知某厂生产某种商品x(单位:百件)的总成本函数为C(x)=x3-6x2+29x+15(单位:万元),总收益函数为R(x)=20x-x2(单位:万元),则生产这种商品所获利润的最大值为

万元.

66所以P'(x)=-x2+10x-9,由P'(x)=0,得x=9或x=1,所以当1<x<9时,P(x)单调递增;当x>9时,P(x)单调递减.所以当x=9时,P(x)有极大值,也即最大值P(9)=66.123454.用长为24cm的钢条围成一个长方体框架,要求长方体的长与宽之比为3∶1,则长方体的宽为

时,其体积最大.

1解析

设长方体的宽为x(x>0),高为h,则该长方体的长为3x,所以有4x+4·3x+4h=24,则h=6-4x>0,即0<x<,因此该长方体的体积为V(x)=x·3x·h=3x2(6-4x)=6(3x2-2x3),所以V'(x)=6(6x-6x2)=36x(1-x),当x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当x∈(1,)时,V'(x)<0,V(x)单调递减.所以V(x)max=V(1)=6,即长方体的宽为1时,其体积最大.123455.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(单位:吨