新教材2023-2024学年高中数学第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性课件新人教B版选择性必修第三册

第六章6.2.1导数与函数的单调性课程标准1.理解导数与函数单调性的关系;2.能利用导数求函数的单调区间,判断或证明函数的单调性;3.能利用导数解决函数单调性的综合问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

基础落实·必备知识全过关知识点用导数研究函数的单调性一般地,(1)如果在区间(a,b)内,f'(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都

0,曲线呈

状态,因此f(x)在(a,b)上是

函数,如图①所示.

(2)如果在区间(a,b)内,f'(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都

0,曲线呈

状态,因此f(x)在(a,b)上是

函数,如图②所示.

定义域的非空子集

大于

上升增小于下降减名师点睛导数与函数单调性关系的深入理解(1)若函数f(x)在区间(a,b)内是增函数,则f'(x)≥0在x∈(a,b)内恒成立;同理,若函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,则f'(x)≤0在x∈(a,b)内恒成立.(2)当函数f(x)的单调递增(或递减)区间有多个时,各区间之间不能用“∪”连接,用“,”或“和”连接.(3)对于函数f(x)来说,f'(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件;f'(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件.如f(x)=x3在R上为增函数,但f'(0)=0,所以在x=0处不满足f'(x)>0.过关自诊1.函数f(x)=2x-sinx在(-∞,+∞)上(

)A.单调递增

B.单调递减C.先增后减

D.先减后增A解析

∵f(x)=2x-sin

x,∴f'(x)=2-cos

x>0在(-∞,+∞)内恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.2.[2023内蒙古赤峰松山校级期末]函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(

)A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)D解析

f(x)=(x-3)ex,x∈R,∴f'(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2),令f'(x)>0,得x>2.∴f(x)的单调递增区间是(2,+∞).故选D.3.若函数y=x3-2bx+6在区间(2,8)内单调递增,则(

)A.b≤6 B.b<6C.b≥6 D.b>6A解析

y'=3x2-2b,由题意知y'≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x2在(2,8)内恒成立,所以b≤6.故选A.重难探究·能力素养全提升探究点一函数与导函数图象间的关系【例1】

(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能为(

)D解析

由函数的图象可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正.对照选项,应选D.(2)已知f'(x)是f(x)的导函数,f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是(

)D规律方法

研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.变式训练1[人教A版教材习题]函数y=f'(x)的图象如图所示,试画出函数y=f(x)图象的大致形状.解y=f(x)图象的大致形状如图所示.探究点二利用导数求函数的单调区间【例2】

求下列各函数的单调区间:(1)f(x)=2x3-3x2;解

函数定义域为R,且f'(x)=6x2-6x.令f'(x)>0,即6x2-6x>0.解得x>1或x<0;令f'(x)<0,即6x2-6x<0,解得0<x<1.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[1,+∞),单调递减区间是[0,1].所以f(x)的单调递增区间是(0,e],单调递减区间是[e,+∞).(4)f(x)=ex+ax.解

函数定义域为R,且f'(x)=ex+a.①当a≥0时,f'(x)=ex+a>0恒成立,f(x)在R上单调递增;②当a<0时,由f'(x)=ex+a>0,得ex>-a,所以x>ln(-a),由f'(x)=ex+a<0,得ex<-a,所以x<ln(-a).所以f(x)在(ln(-a),+∞)内单调递增,在(-∞,ln(-a))内单调递减.综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间;当a<0时,f(x)的单调递增区间是[ln(-a),+∞),单调递减区间是(-∞,ln(-a)].规律方法

1.利用导数求函数单调区间的步骤如下:(1)求函数f(x)的定义域.(2)求导数f'(x).(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间;在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.2.与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比,利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行,其实质是转化为解不等式问题,但也必须首先求出函数的定义域,在定义域内解不等式.另外,利用导数适合求一些高次函数的单调区间,其单调区间有时不止一个,这时在写出它们的单调区间时,不能将各个区间用并集符号连接.3.当函数f(x)的解析式中含有参数时,可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间.f'(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).令f'(x)>0,解得x<-1或x>2;令f'(x)<0,解得-1<x<2.所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)和(2,+∞),单调递减区间是(-1,2).(2)[2023辽宁鞍山一模改编]已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R,a≠0),求函数f(x)的单调区间.解

函数f(x)的定义域为(0,+∞),探究点三已知函数的单调性求参数的值或取值范围【例3】

已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.解

由已知,得f'(x)=3x2-a.因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)内恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a的取值范围为(-∞,0].变式探究1若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.解

f'(x)=3x2-a.①当a≤0时,f'(x)≥0,∴f(x)在(-∞,+∞)内为增函数.此时不满足题意.变式探究2若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.解由题意,可知f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)内恒成立,即a的取值范围是[3,+∞).变式探究3若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)内不单调,求实数a的取值范围.解

∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.规律方法

已知f(x)在区间(a,b)上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.成果验收·课堂达标检测1234561.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(

)A解析

f'(x)=-3x2-2x+1,令f'(x)>0,即-3x2-2x+1>0,1234562.若函数f(x)=x2-2x-3lnx,则函数f(x)的单调递减区间为(

)A.(-∞,-1)∪[3,+∞) B.[-1,3]C.[0,3] D.[3,+∞)C1234563.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)(

)A.是增函数B.是减函数C.是常数D.既不是增函数也不是减函数A解析

由题意,函数f(x)=x3+ax2+bx+c,可得f'(x)=3x2+2ax+b,令f'(x)=3x2+2ax+b=0,因为Δ=4(a2-3b)<0,所以方程没有根,f'(x)>0恒成立,所以f(x)为增函数.故选A.1234564.[2023重庆高二校级联考期末]函数f(x)=ln(x+2)-ax在(1,3)内单调递增,则实数a的取值集合是

.

1234565.

设f'(x)是函数f(x)的导数,y=f'(x)的图象如右图所示,则f(x)的图象最有可能是下列给出的四个图象中的

.(填序号)

③12345