新教材2023-2024学年高中数学第1章数列1.2等差数列1.2.2等差数列与一次函数课件湘教版选择性必修第一册

第1章1.2.2等差数列与一次函数课标要求1.理解等差数列就是一个定义域为正整数集或它的有限子集的函数;2.通过函数的引入增强运用等差数列解决问题的能力;3.能够运用一次函数的知识解决等差数列相关问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升学以致用·随堂检测全达标目录索引

基础落实·必备知识全过关知识点1等差数列与一次函数对于一般的等差数列{an},其通项公式为an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自变量n换成实数自变量x,得到y=a1+(x-1)d=dx+(a1-d).这不是关于n的一次函数的标准形式

名师点睛等差数列的图象由通项公式对应的关于n的函数的图象上的孤立点(n,an)组成,其中点的横坐标为项数n,纵坐标为项an.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)所有的等差数列的通项公式都可以写成关于n的一次函数形式.(

)(2)等差数列{an}的项数n,项an构成的坐标为(n,an)的点都在直线y=2x-1上,则数列的公差为d=2.(

)2.若等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则该通项公式对应的一定是关于n的一次函数吗?×√提示当d≠0时是关于n的一次函数,此时一次函数的斜率就是公差d.当d=0时不是关于n的一次函数.3.若等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,函数为y=dx+(a1-d),这个函数的图象与等差数列{an}的图象相同吗?提示不相同,函数y=dx+(a1-d)的图象是一条连续的直线并且x的取值范围可以是R,而等差数列{an}的图象是一些孤立点(n,an),且n只能是正整数.知识点2等差数列的单调性等差数列{an}的单调性与公差d的关系如下:等差数列{an}的单调性公差d递增数列d>0递减数列d<0常数列d=0名师点睛当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增;当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减;当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列{an}为常数列.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若等差数列的图象上的点(n,an)都在直线y=5-2x上,则数列是递减数列.(

)(2)若数列{an}是等差数列,且a3>a1,则数列不一定是递增数列.(

)√×2.若数列{an}的图象上的点(n,an)都在直线y=3x-1上,则以下关系成立的是(

)A.a5≤a6 B.a6>a7C.a6<a8

D.a5≥a6C解析

由数列{an}的图象上的点(n,an)都在直线y=3x-1上,可知an=3n-1,因此数列{an}是递增数列,所以a8>a6,故选C.3.若(3,6),(5,-3)是等差数列{an}的图象上的两点,则该数列的公差d满足(

)A.d>0 B.d<0C.d=0 D.无法确定符号B解析

由题意可知a3=6,a5=-3,因此等差数列{an}是递减数列,所以公差d<0.重难探究·能力素养全提升探究点一利用等差数列与一次函数的关系证明等差数列【例1】

已知数列{an}的通项公式为an=an2+bn+c(a,b,c为常数,且a≠0),求证:数列{an}不是等差数列.分析

利用等差数列的定义,证明an-an-1(n≥2)是否为常数.证明当a≠0,n≥2时,由an=an2+bn+c,可知an-an-1=an2+bn+c-a(n-1)2-b(n-1)-c=2an+b-a.由a≠0,n≥2知an-an-1是一个与n有关的量,因此{an}不是等差数列.规律方法

由数列通项公式证明数列为等差数列的方法

变式训练1已知点(n,an)在直线y=3x+1上,证明数列{an}是等差数列,并求其公差.证明∵点(n,an)在直线y=3x+1上,∴an=3n+1,∴an-1=3(n-1)+1(n≥2).∴an-an-1=3n+1-[3(n-1)+1]=3.∴数列{an}是等差数列,且公差为d=3.探究点二等差数列与一次函数关系的应用【例2】已知{an}是等差数列,且a3=10,a5=16.(1)求a7;(2)若an=31,求n的值.分析

设出等差数列的首项与公差,列方程求出通项公式后,依次求解,也可以利用等差数列的函数性质求解.解

(1)(方法1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则

因此an=4+3(n-1)=3n+1.故a7=3×7+1=22.(方法2)由题意知等差数列公差d≠0.因此设{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R).(2)由an=3n+1,知当an=31时,3n+1=31,解得n=10.规律方法

已知等差数列中的两项,求等差数列的项(或项数)的方法:一是设出等差数列的首项和公差,列方程组求通项公式;二是利用等差数列对应的点在一次函数图象上(公差d≠0),利用直线或函数的特征求解.变式训练2已知数列{an}是等差数列,a3=11,且当m,n∈N+,且m≠n时,

=4,求a7.解

∵{an}是等差数列,且

=4,∴{an}的公差d=4.∴a7=a3+4d=27.探究点三等差数列的单调性【例3】

已知首项为a1=5的数列{an}的图象上的点(n,an)都在一次函数f(x)=kx+2(k≠0)的图象上.(1)求k的值;(2)证明数列{an}是递增数列.(1)解

由题意可知一次函数f(x)=kx+2(k≠0)且f(1)=5,则k+2=5,则k=3.(2)证明由(1)得an=3n+2,设数列{an}的任意相邻两项为an与an-1(n≥2),则an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3>0.即an>an-1(n≥2),因此数列{an}是递增数列.规律方法

根据等差数列的通项公式{an}判断数列单调性的方法:计算an-an-1=d(n≥2),d>0,则{an}为递增数列;d<0,则{an}为递减数列;d=0,则{an}为常数列.变式训练3已知点(2,1),(3,3)是等差数列{an}的图象上的两点.(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断并证明数列的单调性.解

(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.因为点(2,1),(3,3)是等差数列{an}的图象上的两点,因此an=a1+(n-1)d=-1+2(n-1)=2n-3.(2)由于d=2>0,因此数列{an}是递增数列.证明如下:设数列{an}的任意相邻两项为an与an-1(n≥2),则an-an-1=2n-3-[2(n-1)-3]=2>0.即an>an-1(n≥2),因此数列{an}是递增数列.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列与一次函数的关系;(2)等差数列的单调性.2.方法归纳:定义法证明等差数列;待定系数法求通项公式;定义法证明(判断)数列的单调性.3.注意事项:公差d与一次函数的斜率的关系,等差数列的单调性的充要条件.学以致用·随堂检测全达标123451.已知数列{an}是等差数列,则a1<a2是数列{an}为递增数列的(

)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件C解析

设{an}的公差为d,则a1<a2⇒a2-a1>0⇒d>0.若{an}为递增数列,则对任意的正整数n有an+1>an,则a2>a1.故a1<a2是数列{an}为递增数列的充要条件.故选C.123452.已知数列{an},对任意的n∈N+,点(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为(

)A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列C.公差为-2的等差数列D.公差为0的等差数列A解析

由题意知an=2n+1,∴an+1-an=2,故选A.123453.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于(

)A.3 B.-6 C.4

D.-3B解析

由等差数列与一次函数的关系可得a8-a3=(8-3)d=5d,则d==-6.123454.已知数列{an}是等差数列,且(n,an)在函数f(x)=(k-2)x+3的图象上,若{an}是递增数列,则实数k的取值范围是

.

(2,+∞)解析

由{an}是等差数列且是递增数列,可知函数f(x)=(k-2)x+3在R上是增函数,根据一次函数的图象与性质,可得k-2>0,即k>2,所以实数