专题13全等三角形七大常考模型原卷版

专题13全等三角形七大常考模型★知识点1：倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】典例分析【例1】（2023春·七年级课时练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】（2023春·山东东营·七年级东营市实验中学校考期中）如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（

）A．1 B．2 C．5 D．8【即学即练】1．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)为什么？写出推理过程；(2)求出的取值范围；(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．2．（2023·全国·八年级假期作业）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．★知识点2：旋转模型【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】典例分析【例1】（2020·天津东丽·一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（

）A． B．C．2 D．【例2】（2019·全国·八年级专题练习）如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（

）对．A．1 B．2C．3 D．4即学即练1．（2022秋·八年级课时练习）如图，，，，（1）求的度数；（2）若，求证：．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，中，，且，当把两个三角形如图①放置时，有．（不需证明）（1）当把绕点旋转到图②③④的情况，其他条件不变，和还相等吗？请在图②③中选择一种情况进行证明；（2）若图④中和交于点，连接，求证：平分．★知识点3：三垂直全等模型【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。【常见模型】典例分析【例1】（2021春·七年级课时练习）如图，△ABC是一个什么三角形？（

）请说明理由．A．等腰三角形；B．等边三角形C．直角三角形；D．等腰直角三角形【例2】（2023·全国·八年级假期作业）如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（

）A． B． C． D．即学即练1．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．（1）求证：；（2）求两堵木墙之间的距离．2．（2023春·全国·七年级专题练习）在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．★知识点4一线三等角模型【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.典例分析【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C． D．【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm即学即练1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．(1)当时，_______，_______，_______；点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由．2．（2022秋·湖北黄冈·八年级校考期中）已知，在中，，三点都在直线m上，且．(1)如图①，若，则与的数量关系为___________，与的数量关系为___________；(2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系；(3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．★知识点5截长补短法【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。【模型图示】（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。例：如图，求证BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE补短：将短线段延长，证与长线段相等。典例分析【例1】．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（

）A．3 B．9 C．11 D．15即学即练1．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）如图，在五边形中，，平分，．(1)求证：；(2)若，求的度数．2．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．(1)求证：；(2)连接，则的值为__________；(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．★知识点6手拉手模型【模型分析】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）典例分析【例1】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（

）个①

②连接，则平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【例2】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④即学即练1.（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：．2．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．★知识点7半角全等模型【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。【常见模型】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.典例分析【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【例2】（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22即学即练1.（2021春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分．1．（2023·全国·八年级假期作业）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）2．（2023·江苏·八年级假期作业）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为：；(2)拓展应用：如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：；(3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系．3．（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．4．（2023春·上海·七年级专题练习）问题情境在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如图1，当DM＝DN时，（1）∠MDB＝度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为；归纳证明（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为．5．（2023·全国·八年级假期作业）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1