2021-2023年高考数学真题分类汇编专题07平面解析几何选择题

专题07平面解析几何（选择题）近三年高考真题知识点1：直线与圆的位置关系1．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则A．1 B． C． D．【答案】【解析】圆可化为，则圆心，半径为；设，切线为、，则，中，，所以，所以．故选：．2．（2022•北京）若直线是圆的一条对称轴，则A． B． C．1 D．【答案】【解析】圆的圆心坐标为，直线是圆的一条对称轴，圆心在直线上，可得，即．故选：．3．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在直线上，则直线与圆相切 D．若点在圆内，则直线与圆相离【答案】【解析】中，若在圆上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，即正确；中，点在圆外，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以不正确；中，点在直线上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，所以正确；中，点在圆内，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以正确；故选：．知识点2：轨迹方程及标准方程4．（2022•甲卷（文））已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为A． B． C． D．【答案】【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，，则椭圆方程为．故选：．5．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为A． B． C． D．【答案】【解析】因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，则，所以①，联立，可得，，即，，因为直线的斜率，整理得②，①②联立得，，，故双曲线方程为．故选：．6．（2022•天津）已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为A． B． C． D．【答案】【解析】由题意可得抛物线的准线为，又抛物线的准线过双曲线的左焦点，，联立，可得，又，，，，，又，，，，双曲线的标准方程为．故选：．7．（2021•北京）双曲线的离心率为2，且过点，，则双曲线的方程为A． B． C． D．【答案】【解析】因为双曲线过点，，则有①，又离心率为2，则②，由①②可得，，，所以双曲线的标准方程为．故选：．8．（2021•浙江）已知，，，函数．若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】【解析】函数，因为，，成等比数列，则，即，即，整理可得，因为，故，即，所以或，当时，点的轨迹是直线；当，即，因为，故点的轨迹是双曲线．综上所述，平面上点的轨迹是直线或双曲线．故选：．知识点3：椭圆的几何性质9．（2023•甲卷（理））已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则A． B． C． D．【答案】【解析】椭圆，，为两个焦点，，为原点，为椭圆上一点，，设，，不妨，可得，，即，可得，，，可得．可得．故选：．知识点4：双曲线的几何性质10．（2023•乙卷（文））设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是A． B． C． D．【答案】【解析】设，，，，中点为，，，①②得，即，即或，故、、错误，正确．故选：．11．（2021•甲卷（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为A． B． C． D．【答案】【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离，则点到双曲线的一条渐近线的距离．故选：．知识点5：抛物线的几何性质12．（2022•乙卷（文））设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则A．2 B． C．3 D．【答案】【解析】为抛物线的焦点，点在上，点，，由抛物线的定义可知，不妨在第一象限），所以．故选：．13．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为，则A．1 B．2 C． D．4【答案】【解析】抛物线的焦点，到直线的距离为，可得，解得．故选：．知识点6：弦长问题14．（2023•甲卷（理））已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．15．（2023•甲卷（文））已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．知识点7：离心率问题16．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则A． B． C． D．【答案】【解析】由椭圆可得，，，椭圆的离心率为，，，，，或（舍去）．故选：．17．（2022•甲卷（理））椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【解析】已知，设，，则，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故选：．18．（2021•甲卷（理））已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【解析】设，，则根据题意及余弦定理可得：，解得，所求离心率为．故选：．19．（多选题）（2022•乙卷（理））双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，设过的切线与圆相切于点，则，，又，所以，过点作于点，所以，又为的中点，所以，，因为，，所以，所以，则，所以，由双曲线的定义可知，所以，可得，即，所以的离心率．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为，连接，则，，过作于，则，因为，所以，，，即，所以，正确．故选：．20．（2021•乙卷（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】点的坐标为，设，，则，，故，，，又对称轴，当时，即时，则当时，最大，此时，故只需要满足，即，则，所以，又，故的范围为，，当时，即时，则当时，最大，此时，当且仅当即时等号成立，又，所以，即，故不满足题意，综上所述的的范围为，，方法二：根据题意，有，设，，则，也即，不妨设，则，，，也即，，，也即，，，从而可得，，从而离心率的取值范围为，，故选：．21．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．3【答案】【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为，由题意可得：，渐近线的方程为：，可得，，，，，，，，所以，，由，解得：，所以双曲线的离心率，故选：．知识点8：焦半径、焦点弦问题22．（2023•甲卷（文））设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则A．1 B．2 C．4 D．5【答案】【解析】根据题意，点在椭圆上，满足，可得，又由椭圆，其中，则有，，可得，故选：．23．（2023•北京）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则A．7 B．6 C．5 D．4【答案】【解析】如图所示，因为点到直线的距离，点到直线的距离．由方程可知，是抛物线的准线，又抛物线上点到准线的距离和到焦点的距离相等，故．故选：．24．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形【答案】【解析】直线过抛物线的焦点，可得，所以，所以正确；抛物线方程为：，与交于，两点，直线方程代入抛物线方程可得：，，所以，所以不正确；，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，所以以为直径的圆与相切，所以正确；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正确．故选：．25．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则A．的准线为 B．直线与相切 C． D．【答案】【解析】点在抛物线上，，解得，抛物线的方程为，准线方程为，选项错误；由于，，则，直线的方程为，联立，可得，解得，故直线与抛物线相切，选项正确；根据对称性及选项的分析，不妨设过点的直线方程为，与抛物线在第一象限交于，，，，联立，消去并整理可得，则，，，，由于等号在时才能取到，故等号不成立，选项正确；，选项正确．故选：．26．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则A．直线的斜率为 B． C． D．【答案】【解析】如图，，，，且，，，由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，，故正确；，，，故错误；，故正确；，，，，，，，，均为锐角，可得，故正确．故选：．知识点9：范围与最值问题27．（2023•乙卷（理））已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为A． B． C． D．【答案】【解析】如图，设，则，根据题意可得：，，又，当，，时，取得最大值．故选：．28．（2021•北京）已知直线为常数）与圆交于，，当变化时，若的最小值为2，则A． B． C． D．【答案】【解析】圆，直线，直线被圆所截的弦长的最小值为2，设弦长为，则圆心到直线的距离，当弦长取得最小值2时，则有最大值，又，因为，则，故的最大值为，解得．故选：．29．（2021•新高考Ⅰ）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为A．13 B．12 C．9 D．6【答案】【解析】，是椭圆的两个焦点，点在上，，所以，当且仅当时，取等号，所以的最大值为9．故选：．30．（2023•乙卷（文））已知实数，满足，则的最大值是A． B．4 C． D．7【答案】【解析】根据题意，，即，其几何意义是以为圆心，半径为3的圆，设，变形可得，其几何意义为直线，直线与圆有公共点，则有，解可得，故的最大值为．故选：．31．（2021•乙卷（文））设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为A． B． C． D．2【答案】【解析】是椭圆的上顶点，所以，点在上，设，，，，所以，当时，取得最大值，最大值为．故选：．32．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则A．点到直线的距离小于10 B．点到直线的距离大于2 C．当最小时， D．当最大时，【答案】【解析】，，过、的直线方程为，即，圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离，点到直线的距离的范围为，，，，，点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），此时，，故正确．故选：．知识点10：面积问题33．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则A． B． C． D．【答案】【解析】记直线与轴交于，椭圆的左，右焦点分别为，，，，由△面积是△的2倍，可得，，解得或，或，或，联立可得，，直线与相交，所以△，解得，不符合题意，故．故选：．知识点11：新定义问题34．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】【解析】椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确，在双曲线中，，而是个固定值，则无法对任意的，都存在，使得，故②错误．故选：．35．（2022•上海）设集合，，①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；②存在直