第03讲 空间直线、平面的平行（原卷版）

第03讲空间直线、平面的平行1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a⊂α,l⊄α))⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b2．面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b3．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)若α∥β，a⊂α，则a∥β.一．直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1．如图，已知在长方体中，，，点E是的中点.(1)求证：平面EBD；(2)求三棱锥的体积.例2．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，，.(1)求证：平面；(2)求三棱柱的表面积例3．如图，在三棱柱中，，点是的中点.求证：平面；例4．已知在正三棱柱中，侧棱长为3，H、G分别是AB，中点．(1)证明：平面；(2)若，求此三棱柱的侧面积．例5．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点，在上满足.(1)证明：平面PAD；(2)证明：平面FBD【复习指导】：利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.例6．如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），M，N分别为DE，BC的中点．求证：平面ABE．【复习指导】：(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．命题点2直线与平面平行的性质例7．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面．证明：；例8．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．(1)求证：BC∥AD；(2)求证：CE∥平面PAB．【复习指导】：线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.例9．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.例10．如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点.求证：；【复习指导】：证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.二．平面与平面平行的判定与性质例11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；(2)求证：BC∥l．例12．如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且．求证：平面平面PAC．例13．已知，点P是△所在平面外一点，点，，分别是△，△，△的重心．(1)求证：平面平面．(2)求∶的值．例14．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与交于点，点分别在线段上，，求证：平面平面.【复习指导】：证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．三．平行关系的综合应用例15．如图，矩形平面，平面与棱交于点G．求证：．例16．如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.(1)求证：；(2)在线段CD上是否存在一点，使得平面平面BCF，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由.例17．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.(1)证明：平面ABF∥平面DCE；(2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．例18．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的点，eq\f(AR,AB)的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．1．如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．不确定2．如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：①平面；②平面；③平面；④直线交于一点.其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若m//，m//n，则n// B．若m//，n//，则m//nC．若m//，n，则m//n D．若m//，m，＝n，则m//n4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则5．已知是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若是异面直线，，，，，则B．若，，，，则C．若，，，则D．若，，则6．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点7．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是棱，BC的中点，则下列结论中不正确的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面8．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（

）A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判断都不对9．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是（

）A．空间四边形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形11．如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,GD)，则与平面EFGH平行的直线有()A．0条B．1条C．2条D．3条12．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（

）A． B． C． D．13．如图，空间四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，下列条件不能证明EHFG的是（）A．E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点B．，C．BD平面EFGHD．，14．已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为()A．平行、平行 B．异面、平行C．平行、相交 D．异面、相交15．（多选）如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（

）A． B．C． D．16．（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的为（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则或D．若，，则或17．（多选）关于直线及平面，下列命题错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则18．（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（

）A． B．C． D．19．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．20．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．21．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.22．在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．23．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是________．24．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.25．如图，在四棱锥中，底面为正方形，F为对角线与的交点，E为棱的中点．证明：平面．26．直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．(1)求证：平面；(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．27．如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；(1)求证：平面．(2)在上确定一点Q，使平面平面．28．如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．(1)求证：平面．(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．29．如图，正三棱柱中，D是的中点，.(1)求点C到平面的距离；(2)试判断与平面的位置关系，并证明你的结论.30．如图：已知三棱柱中，D为BC边上一点，为中点，且∥平面．证明：平面平面．31．如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．求证：．32．如图，四棱锥中，底面为矩形，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．求证：.33．已知四棱锥的底面是正方形，平面．设平面平面，求证：；34．在正四棱锥中，已知，，，分别为，的中点，平面平面．求证：．35．如图，直三棱柱中，，，．证明：平面．36．如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．求证：平面AMB//平面DNC.37．在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC?证明你的结论.38．如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的直径．(1)弦上是否存在点，使得∥平面，请说明理由；(2)若，，求点到平面的距离．39．已知，分别是圆柱上、下底面圆的直径，圆柱的高与的长相等，均为2.且异面直线与所成的角为，分别为上､下底面的圆心，连接，过作圆柱的母线，且，点是的中点.(1)证明：平面；(2)求圆柱挖去三棱锥后的几何体的体积.40．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则.41．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF与棱PD相交于点F，且平面CEF∥平面PAB.(1)求eq\f(PF,FD)的值；(2)求点F到平面