课件-高数下册

第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算内容要点一、向量的概念.二、向量的线性运算：向量的加减法,向量与数的乘法三、定理1设向量,那末向量平行于的充分必要条件是:存在唯一的实数,使.定理1是建立数轴的理论依据.我们知道，确定一条数轴,需要给定一个点、一个方向及单位长度.由于一个单位向量既确定了方向,又确定了单位长度,因此,只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.例题选讲例1化简例2在平行四边形ABCD中,设试用和表示向量和,这里M是平行四边形对角线的交点。例3在x轴上取定一点O作为坐标原点.设A,B是x轴上坐标依次为的两个点,是与x轴同方向的单位向量,证明课堂练习1.已知平行四边形ABCD的对角线试用表示平行四边形四边上对应的向量.2.在中,D是BC上的一点,若证明D是BC的中点.第二节空间直角坐标系向量的坐标内容要点：一、空间直角坐标系二、空间两点间的距离三、向量的坐标表示四、向量的代数运算五、向量的模与方向余弦六、向量在轴上的投影例1求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.例2设P在x轴上,它到的距离为到点的距离的两倍,求点P的坐标。{}例3设求在y轴上的分向量.{13，}例4已知两点和以及实数试在有向线段上求一点，使.{}例5求平行于向量的单位向量.{}例6已知两点和，求与向量平行的向量的单位向量.例7已知两点和,计算向量的模、方向余弦和方向角.{6.7.；}例8设有向量,已知它与x轴和y轴的夹角分别为和,如果的坐标为(1,0,3),求的坐标.{}例9设点位于第卦限,向径与轴、轴的夹角依次为和，且求点的坐标.{}例10(设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且求在方向上的投影{}课堂练习 1.给定两点:在轴上有一点,满足求点的坐标.2.从点沿向量方向取长为34的线段,求点的坐标.第三节数量积向量积内容要点一、两向量的数量积定义1设有向量、，它们的夹角为，乘积称为向量与的数量积（或称为内积、点积），记为，即.根据数量积的定义，可以推得：（1）;（2）;（3）设、为两非零向量，则的充分必要条件是.数量积满足下列运算规律：（1）交换律（2）分配律（3）结合律,二、两向量的向量积定义2若由向量与所确定的一个向量满足下列条件：（1）的方向既垂直于又垂直于,的指向按右手规则从转向来确定；（2）的模，(其中为与的夹角)，则称向量为向量与的向量积（或称外积、叉积），记为.根据向量积的定义，即可推得（1）；（2）设、为两非零向量，则的充分必要条件是.向量积满足下列运算规律:（1）（2）分配律（3）结合律,（为实数）.例题选讲例1已知求(1)(2)与的夹角;(3)与上的投影.例2证明向量与向量垂直.例3试用向量方法证明三角形的余弦定理.例4设与垂直,与垂直,求与之间的夹角.例5设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设n为垂直于S的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为).{}例6求与都垂直的单位向量.例7在顶点为和的三角形中,求AC边上的高BD.例8设向量两两垂直,伏隔右手规则,且计算例9设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.例10利用向量积证明三角形正弦定理.例11已知,计算例12已知空间内不在同一平面上的四点求四面体的体积.例13已知,求一单位向量使,且与此同时共面.课堂练习1.已知向量证明2.已知两两垂直,且求的长度与它和的夹角.第四节曲面及其方程内容要点空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面例题选讲例1建立球心在点、半径为R的球面方程.例2求与原点O及的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程.例3已知求线段的垂直平分面的方程.例4方程表示怎样的曲面？例5方程的图形是怎样的?例6将坐标面上的曲线分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.例7直线L绕另一条与L相交的定直线旋转一周,所得旋转曲面称为叫圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角称为圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.课堂练习1.求与z轴和点等距离的点的轨迹方程.2.指出方程所表示的曲线.第五节空间曲线及其方程内容要点一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影例题选讲例1方程组表示怎样的曲线?例2方程组表示怎样的曲线?例3若空间一点M在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、v是常数),则点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.例4求曲线在坐标面上的投影方程.例5求抛物面与平面的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.例6设一个立体由上半球面和锥面所围成，求它在面上的投影.课堂练习1.指出方程组表示什么曲线.2.求椭圆抛物面与抛物柱面的交线关于面的投影柱面和在面上的投影曲线方程.第六节平面及其方程内容要点一、平面的点法式方程：二、平面的一般方程：三、平面的截距式方程：四、两平面的夹角：设有两平面和：则两平面的夹角从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出：（1）的充要条件是；（2）的充要条件是（3）重合的充要条件是五、点到平面的距离：例题选讲例1求过点且与平面平行的平面方程.例2求过点和的平面方程.例3求通过轴和点的平面方程.例4设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程.例5求平行于平面而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.例6研究以下各组里两平面的位置关系:(1)(2)例7求平面II,使其满足:(1)过轴;(2)II与平面夹角为.例8求经过两点和且与平面垂直的平面的方程.例9求两平行平面：和：之间的距离.例10求平行于平面,且与球面相切的平面的方程.课堂练习1.若平面与平面的夹角为,求.2.求通过点且垂直于平面的平面方程.第七节空间直线及其方程内容要点一、空间直线的一般方程：二、空间直线的对称式方程与参数方程：三、两直线的夹角设，分别是直线，的方向向量，则与的夹角应是和两者中的锐角.因此.仿照对于平面夹角的讨论可以得到下列结果.（1）；（2）的充要条件是；（3）的充要条件是四、直线与平面的夹角（1）设直线的方向向量为，平面的法向量直线与平面的夹角为，则；（2）的充要条件是（3）的充要条件是五、平面束通过空间一直线可作无穷多个平面,通过同一直线的所有平面构成一个平面束.设空间直线的一般方程为则方程称为过直线L的平面束方程,其中为参数.例题选讲例1求过点且与两个平面和的交线平行的直线的方程.例2设一直线过点且与y轴垂直相交,求其方程.例3用对称式方程及参数方程表示直线例4求过点且与两平面和的交线平行于的直线方程.例5求过点M(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.例6设直线平面求直线与平面的夹角.例7过直线作平面,使它垂直于平面例8在一切过直线L:的平面中找出平面,使原点到它的距离最长.课堂练习1.在直线方程中,m、n、p各怎样取值时,直线与坐标面、都平行.2.求直线与平面的夹角和交点.第八节二次曲面内容要点一、椭球面：二、抛物面：椭圆抛物面（）双曲抛物面(与同号)三、双曲面单叶双曲面双叶双曲面例题选讲空间区域简图例1由曲面围成的一个空间区域,作它的简图.例2由曲面围成的空间区域(在第一卦限部分),作它的简图.第九章多元函数微分法第一节多元函数的基本概念内容要点一、平面区域的概念二、维空间的概念三、多元函数的概念：二元函数的定义二元函数的几何意义四、二元函数的极限五、二元函数的连续性例题选讲例1求二元函数的定义域.例2已知函数求.例3求极限.例4求极限例5求极限.例6求极限例7求.例8证明不存在.例9证明不存在.例10证明极限不存在.例11讨论二元函数在处的连续性.例12求极限例13求课堂练习1.设求2.若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时,函数都趋向于A,能否断定3.讨论函数的连续性.第二节偏导数内容要点一、偏导数的定义及其计算法关于多元函数的偏导数，我们补充以下几点说明：1．对一元函数而言，导数可看作函数的微分与自变量的微分的商.但偏导数的记号是一个整体.2．与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.3．在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续.但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.二、高阶偏导数定理1如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续,则在该区域内有.例题选讲例1求在点(1,2)处的偏导数.例2设求证.例3求三元函数的偏导数例4求的偏导数.例5函数的偏导数存在，但在点不连续.例6设,求例7设求二阶偏导数.例8求的二阶偏导数.例9验证函数满足方程.例10证明函数满足拉普拉斯方程,其中.例11设,试求及课堂练习1.若函数在点连续,能否断定在该点的偏导数必定存在?2.设问与是否存在?3.设试求及第三节全微分及其应用内容要点一、全增量与偏增量二、全微分的定义三、函数可微的必要条件与充分条件定理1(必要条件)如果函数在点处可微分,则该函数在点的偏导数必存在,且在点处的全微分定理2(充分条件)如果函数的偏导数在点处连续,则函数在该点处可微分.例题选讲例1求函数的全微分.例2计算函数在点(2,1)处的全微分.例3求函数的全微分.例4求函数的偏导数和全微分.例6计算的近似值.第四节复合函数微分法内容要点一、复合函数的中间变量为一元函数的情形二、复合函数的中间变量为多元函数的情形三、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形,四、全微分形式的不变性例题选讲例1设而求导数例2设而求和例3求的偏导数.例4设,.求和例5设求例6设函数具有二阶连续偏导数，试求常数a，使得变换可把方程化简为例7设,其中有连续的二阶偏导数,求例8设其中函数f有二阶连续偏导数，求和.例9设函数可微，在极坐标变换下，证明例10设的所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换为极坐标系中的形式:(1);(2)例11利用全微分形式不变性解本节的例2.设而求和.例12利用一阶全微分形式的不变性求函数的偏导数.例13求函数的全微分.例14已知求和.课堂练习1.设求2.设其中F是可微函数,证明3.设f具有二阶连续偏导数,求第五节隐函数微分法内容要点一、一个方程的情形定理1设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数,且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数它满足并有定理2设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数,且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件,并有二、方程组的情形定理3设在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又且函数、雅可比行列式在点不等于零，则方程组在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数它们满足条件其偏导数公式由下面两式给出.；例题选讲例1验证方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数、当时的隐函数,求这函数的一阶和二阶导数在的值.例2求由方程所确定的隐函数的导数例3求由方程是常数）所确定的隐函数的偏导数和例4设求例5设求例6设其中F具有连续偏导数，且求证例7设方程确定了隐函数，求例8设而是由方程所确定的的函数，求例9设由方程确定，其中具有一阶连续的偏导数，且求例10设求例11设求,例12设其中具有连续的偏导数且求例13在坐标变换中我们常常要研究一种坐标与另一种坐标之间的关系.设方程组可确定隐函数组称其为方程组(5.14)的反函数组.设具有连续的偏导数，试证明例14设方程组确定反函数组求课堂练习1.设其中为可微函数,求.2.设其中为由方程所确定的隐函数,试求3.设而t是由方程所确定的的函数,试求第六节微分法在几何上的应用内容要点一、空间曲线的切线与法平面：曲线在点处的切线方程为曲线在某点处的切线的方向向量称为曲线的切向量.向量就是曲线在点处的一个切向量.过点且与切线垂直的平面称为曲线在点的法平面.曲线的切向量就是法平面的法向量，于是这法平面的方程为空间曲线的方程为的情形；空间曲线的方程为的情形；二、空间曲面的切平面与法线：切平面的方程为称曲面在点处切平面的法向量为在点处曲面的法向量，于是，在点处曲面的法向量为(6.13)过点且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.因此法线方程为例题选讲例1求曲线：在处的切线和法平面方程.例2求曲线在点处的切线及法平面方程.例3求曲线在点处的切线及法平面方程.例4求出曲线上的点，使在该点的切线平行于已知平面例5求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.例6求曲面在点处的切平面及法线方程.例7求曲面平行于平面的各切平面方程.例8求曲面上同时垂直于平面与的切平面方程.课堂练习1.求曲线在对应于的点处的切线方程及法平面方程.2.若平面与椭球面相切,求第七节方向导数与梯度内容要点一、场的概念：数量场向量场稳定场不稳定场二、方向导数定理1如果函数在点是可微分的，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且其中为x轴正向到方向l的转角.三、梯度的概念：函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设可微，为常数，则（1）gradgradgrad;（2）gradgradgrad;（3）gradgrad.例题选讲例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.例2求函数在点沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?例3求函数在点A(1,0,1)处沿点A指向点方向的方向导数.例4求在点沿方向的方向导数,其中的方向角分别为60℃,45℃,60℃.例5设是曲面在处的指向外侧的法向量，求函数在此处方向的方向导数.例6(1)求(2)设,求.例7求函数在点处的梯度,并问在哪些点处梯度为零?例8求函数在点处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少.例9设为可微函数,求例10（E06）试求数量场所产生的梯度场,其中常数为原点O与点间的距离.课堂练习1.函数在点处的偏导数是否存在?方向导数是否存在?2.求函数在点处沿P点的向径方向的方向导数.第八节多元函数的极值内容要点一、二元函数极值的概念：极值的定义极值的必要条件与充分条件求的极值的一般步骤为：第一步解方程组求出的所有驻点；第二步求出函数的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并根据的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数的最大值和最小值的一般步骤为：第一步求函数在内所有驻点处的函数值；第二步求在的边界上的最大值和最小值；第三步将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.三、条件极值拉格朗日乘数法在所给条件下,求目标函数的极值.引进拉格朗日函数它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题.例题选讲例4求函数的极值.例5证明函数有无穷多个极大值而无一极小值.例6求函数在矩形域上的最大值和最小值.例7求二元函数在直线轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值..例8求函数在区域上的最小值.例9求的最大值和最小值.例10求两直线与之间的最短距离.例11某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省.例12求函数在附加条件下的极值.例13求表面积为而体积为最大的长方体的体积.例14证明不等式其中是任意的非负实数.例15设销售收入(单位:万元)与花费在两种广告宣传的费用(单位:万元)之间的关系为，利润额相当五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元,试问如何分配两种广告费用使利润最大?例16设某电视机厂生产一台电视机的成本为每台电视机的销售价格为,销售量为.假设该厂的生产处于平衡状态,即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测,销售量与销售价格之间有下面的关系:(1)其中为市场最大需求量,是价格系数.同时,生产部门根据对生产环节的分析,对每台电视机的生产成本有如下测算:,(2)其中是只生产一台电视机时的成本,是规模系数.根据上述条件,应如何确定电视机的售价,才能使该厂获得最大利润?课堂练习1.求函数的极值.2.求函数在由x轴,y轴及直线所围成三角形中的最大值.第十章重积分第一节二重积分的概念与性质内容要点一、二重积分的概念引例1求曲顶柱体的体积；引例2求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质性质1—性质6二重积分与定积分有类似的性质.性质1性质2如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域和,则这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3如果在闭区域D上,为D的面积,则这个性质的几何意义是:以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4如果在闭区域D上,有则特别地,有性质5设分别是在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲例1不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域：.例2估计二重积分的值,其中积分区域为矩形闭区域.例3判断的符号.例4积分有怎样的符号,其中例5比较积分与的大小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).第二节二重积分的计算(一)内容要点一、在直角坐标系下二重积分的计算对型区域：，有对型区域：，有二、交换二次积分次序的步骤（1）对于给定的二重积分先根据其积分限画出积分区域D；（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限（3）写出结果三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算.在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题.如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面.例题选讲例1计算其中D是由直线及所围成的闭区域.例2计算,其中是由直线和所围成的闭区域.例3计算二重积分其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.例4计算其中D由及y轴所围.例5计算其中D为.例6计算二重积分其中区域是由,所围成的矩形.例7求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.例8交换二次积分的积分次序.例9交换二次积分的积分次序.例10证明：其中a、b均为常数,且.例11（交换二次积分的积分次序.例12交换二次积分的积分次序.例13计算积分例14计算其中积分区域由曲线与所围成.例15计算其中例16（E10）计算其中区域例17证明不等式其中课堂练习1.变换下列二次积分的次序：2.计算其中D是由直线及双曲线所围成的区域.3.计算二次积分第三节二重积分的计算(二)内容要点一、在极坐标系下二重积分的计算极坐标系下的面积微元，直角坐标与极坐标之间的转换关系为从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式二、二重积分的应用平面薄片的重心平面薄片的转动惯量例题选讲例1计算其中是由圆所围成的区域.例2计算二重积分其中是由所确定的圆域.例3计算,其中积分区域是由所确定的圆环域.例4计算,其中D是由曲线所围成的平面区域.例5写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域例6计算,其中为由圆及直线所围成的平面闭区域.例7将二重积分化为极坐标形式的二次积分,其中是曲线及直线所围成上半平面的区域.例8求曲线和所围成区域的面积.例9求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.例10计算概率积分例11求位于两圆和之间的均匀薄片的重心.例12设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量），两直角边长分别为，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.例13已知均匀矩形板(面密度为常数)的长和宽分别为和,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.例14求面密度为常量、半径为的均匀圆形薄片：对位于轴上的点处的单位质点的引力课堂练习1.计算其中.2.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离,求此半圆的重心坐标及关于x轴(直径边)的转动惯量.第四节三重积分(一)内容要点一、三重积分的概念：,当1时，设积分区域的体积为，则有，这个公式的物理意义是：密度为1的均质立体的质量在数值上等于的体积.二、直角坐标系下三重积分的计算投影法截面法三、利用对称性化简三重积分计算 一般地,如果积分区域关于平面对称,且被积函数是关于的奇函数,则三重积分为零;如果被积函数是关于的偶函数,则三重积分为在平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.当积分区域关于或平面对称时，也有完全类似的结果.例题选讲例1计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.例2化三重积分为三次积分,其中积分区域为由曲面及所围成的闭区域.例3计算其中是由曲面与平面所围成.例4计算积分其中由曲面,所围成.例5化三重积分为三次积分,其中积分区域为由曲面,所围成的空间闭区域.例6求由曲面所围立体的体积.例7计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.例8求,其中是由椭球面所成的空间闭区域.例9计算其中积分区域例10计算,其中是锥面和平面所围空间区域.课堂练习1.设由六个平面围成的闭区域,试将化为三次积分.2.计算其中是由曲面所围成的立体区域.3.计算三重积分其中为上半球体:.第五节三重积分(二)内容要点一、利用柱面坐标计算三重积分点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为柱面坐标系中的三族坐标面分别为 常数：一族以轴为中心轴的圆柱面；常数：一族过轴的半平面；常数：一族与面平行的平面.柱面坐标系中的体积微元:，为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于轴的直线与区域的边界最多只有两个交点.设在面上的投影为，区域用，表示.区域关于面的投影柱面将的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为，下曲面方程为，，，于是二、利用球面坐标计算三重积分点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为球面坐标系中的三族坐标面分别为 常数：一族以原点为球心的球面；常数：一族以原点为顶点，轴为对称轴的圆锥面；常数：一族过轴的半平面.球面坐标系中的体积微元:，三、三重积分的应用空间立体的重心,.其中，为该物体的质量.空间立体的转动惯量.空间立体对质点的引力.例题选讲例1立体是圆柱面内部,平面下方,抛物面上方部分,其上任一点的密度与它到z轴之距离成正比(比例系数为K),求的质量m.例2计算其中是由球面与抛物面所围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域.例3计算其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体.例4计算其中是锥面与平面所围的立体.例5计算球体在锥面上方部分的体积.例6计算,其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域.例7已知均匀半球体的半径为a,在该半球体的底圆的一旁,拼接一个半径与球的半径相等,材料相同的均匀圆柱体,使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合,为了使拼接后的整个立体重心恰是球心,问圆柱的高应为多少?例8求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量.例9求高为h,半顶角为密度为(常数)的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.例10设半径为的匀质球(其密度为常数)占有空间区域求它对位于处的单位质量的质点的引力.课堂练习1.计算由曲面所围立体的体积.2．求均匀半球体的重心.第十一章曲线积分与曲面积分第一节第一类曲线积分内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是面内的一段曲线（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为，试求该构件的质量.二、第一类曲线积分的定义与性质性质1设，为常数，则；性质2设由和两段光滑曲线组成(记为)，则注：若曲线可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称是分段光滑的，在以后的讨论中总假定是光滑的或分段光滑的.性质3设在有，则性质4（中值定理）设函数在光滑曲线上连续，则在上必存在一点，使，其中是曲线的长度.三、第一类曲线积分的计算：(1.10)如果曲线的方程为，则(1.11)如果曲线的方程为，则(1.12)如果曲线的方程为，则例题选讲例1计算曲线积分其中L是中心在、半径为的上半圆周.例2计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度).例3计算其中是抛物线上点与点之间的一段弧.例4计算,其中积分弧段是由折线组成,而例5计算其中L为双纽线（图10-1-4）的弧.例6求其中为球面被平面所截得的圆周.课堂练习1.计算曲线积分,其中为螺旋线上相应于t从0到的一段弧.2.有一段铁丝成半圆形其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,求其质量.第二节第二类曲线积分内容要点性质1设L是有向曲线弧,是与L方向相反的有向曲线弧，则；即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2如设由和两段光滑曲线组成，则.第二类曲线积分的计算：.(2.9)如果曲线的方程为起点为a,终点为b，则如果曲线的方程为起点为c,终点为d，则例题选讲例1计算的值,其中L分别为图10-2-3中的路径:(1)从到的直线;(2)从到再从到的折线;(3)从沿抛物线到例2计算其中L为曲线上从到的一段弧例3计算，其中分别为图中的路线：(1)直线；(2)抛物线：；(3)折线.例4计算为点至点的空间有向线段.例5求质点在力的作用下沿着曲线：从点移动到点时所作的功.课堂练习1.计算其中L为与x轴所围的闭曲线,依顺时针方向.2.计算其中是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB.第三节格林公式及其应用内容要点一、格林公式定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线.若在格林公式(3.1)中，令得，上式左端是闭区域D的面积的两倍，因此有二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件定理2设开区域是一个单连通域，函数及在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（1）曲线积分在内与路径无关；（2）表达式为某二元函数的全微分；（3）在内恒成立；（4）对内任一闭曲线，.由定理的证明过程可见，若函数，满足定理的条件，则二元函数满足，我们称为表达式的原函数.或例题选讲例1求，其中为圆周依逆时针方向例2计算其中曲线是半径为的圆在第一象限部分.例3求，其中为由点到点的上半圆周.例4计算其中是以为顶点的三角形闭区域.例5计算其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.例6求椭圆，所围成图形的面积.例7计算抛物线与轴所围成的面积.例8计算其中为由点到点的曲线弧例9计算其中L为如图10-3-11所示的圆弧段例10（E06）计算积分沿不通过坐标原点的路径.例11试求常数,使与路径无关,并求的值.例12验证:在整个面内,是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.例13设函数在平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分与路径无关,并且对任意t,总有求例14设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算例15选取使表达式为某一函数的全微分,并求出这个函数.例16求方程的通解.例17求解例18（E10）求方程的通解.例19求微分方程的通解.课堂练习1.计算其中L为正向圆周曲线2.计算其中L为沿摆线从O(0,0)到的一段弧.3.验证是全微分,并求其一个原函数.第四节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1设曲面是光滑的,函数在上有界,把任意分成n小块(同时也表示第i小块曲面的面积),在上任取一点作乘积，并作和如果当各小块曲面的直径的最大值时,这和式的极限存在,则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为其中称为被积函数，称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计算法例题选讲例1计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.例2计算其中为平面被柱面所截得的部分.例3计算其中是由平面及所围四面体的整个边界曲面.例4计算其中为抛物面例5计算其中是圆柱面平面及所围成的空间立体的表面.例6计算为内接于球面的八面体表面.例7求球面含在圆柱体内部的那部分面积.例8设有一颗地球同步轨道卫星,距地面的高度为km，运行的角速度与地球自转的角速度相同.试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径km).课堂练习1.当是面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?2.计算,其中为锥面被平面和所截得的部分..3.求半径为的球的表面积.第五节第二类曲面积分内容要点一、有向曲面：双侧曲面单侧曲面在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②中，故事情节围绕一列从波士顿地铁系统中神秘消逝的第86号列车而展开.这个地铁系统前一天才举行通车仪式,但是现在第86号却消失了,什么痕迹也没有留下.事实上,很多人都报告说他们听到了列车在它们的正上方或正下方飞驰的声音,但是谁也没有真正地看到过它.当确定这列火车为止的所有努力都失败之后,哈佛的数学家罗杰.图佩罗给交通中心打电话,并且提出了一个惊人的理论:这个地铁系统非常复杂,以至于它可能变成了一个单面典面(麦比乌斯带)的一部分,而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线.面对极度惊愕的市政官员,他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性.在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.二、第二类曲面积分的概念与性质定义1设为光滑的有向曲面,其上任一点处的单位法向量又设其中函数在上有界,则函数则上的第一类曲面积分称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面：，与平行于轴的直线至多交于一点，它在面上的投影区域为,则..右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定.例题选讲例1计算曲面积分其中是长方体的整个表面的外侧.例2计算其中是球面外侧在的部分.例3计算其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧.课堂练习1.当是面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第六节高斯公式通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数、、在上具有一阶连续偏导数，则有公式这里是的整个边界曲面的外侧,是上点处的法向量的方向余弦.(6.1)式称为高斯公式.若曲面与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为二、通量与散度一般地，设有向量场,其中函数、、有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是曲面的单位法向量.则沿曲面的第二类曲面积分称为向量场通过曲面流向指定侧的通量.而称为向量场的散度，记为，即.例题选讲例1计算曲面积分其中为柱面及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.例2计算其中为旋转抛物面在部分的外侧.例3计算其中为锥面,为此曲面外法线向量的方向余弦.例4证明:若为包围有界域的光滑曲面,则其中为函数沿曲面的外法线方向的方向导数，,在上具有一阶和二阶连续偏导数，符号称为拉普拉斯算子.这个公式称为格林第一公式.例5求向量场的流量(1)穿过圆锥的底(向上);(2)穿过此圆锥的侧表面（向外）.课堂练习1.利用高斯公式计算其中为球面的外侧.2.求向量场的散度.第七节斯托克斯公式环流量与旋度内容要点一、斯托克斯公式定理1设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式(7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场则沿场中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分称为向量场沿曲线C按所取方向的环流量.而向量函数称为向量场的旋度，记为，即旋度也可以写成如下便于记忆的形式：.四、向量微分算子：例题选讲例1计算曲线积分其中是平面被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.例2计算曲线积分其中是平面截立方体：的表面所得的接痕，从轴的正向看法，取逆时针方向.例3计算式中是此曲线是顺着如下方向前进的:由它所包围在球面上的最小区域保持在左方.例4求矢量场在点处的散度及旋度.例5设求gradu；div(gradu)；rot(gradu).例6设一刚体以等角速度绕定轴旋转，求刚体内任意一点的线速度的旋度.课堂练习1.计算其中是螺线从到的一段曲线.2.物体以一定的角速度依逆时针方向绕Oz轴旋转,求速度和加速度在空间点和已知时刻t的散度和旋度.第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质内容要点一、无穷级数与其部分和数列具有同样的敛散性，；二、收敛级数的性质：（1）级数满足线性运算；（2）在级数中改变、去掉或增加前面有限项，不会改变级数的收敛性.（3）在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数仍收敛于原来的和.（4）级数收敛的必要条件：若级数收敛，则例题选讲例1写出级数的一般项.例2已知级数的前项的部分和求这个级数.例3讨论级数的收敛性.例4证明级数是发散的.例5讨论等比级数(又称为几何级数)的收敛性.例6把一个球从米高下落到地平面上.球每次落下距离碰到地平面再跳起距离，其中是小于1的正数.求这个球上下的总距离.例7把循环小数5.232323…表示成两个整数之比.例8求级数的和.例9设级数收敛,发散,证明:级数发散.例10判别级数是否收敛.例11证明调和级数是发散的.课堂练习1.判别级数的敛散性.2.判别级数的敛散性.第二节正项级数的判别法内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列有界.以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法：比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法.对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断.只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法.至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及级数等.要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式.但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难.下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性.比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合与有公因式且存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合中含有表达式的次幂，且或等于的情形.积分判别法：对于正项级数，如果可看作由一个在上单调减少函数所产生,即有则可用积分判别法来判定正项级数的敛散性.例题选讲例1讨论—级数的收敛性.例2证明级数是发散的.例3判别级数的收敛性.例4设且及均收敛，证明级数收敛.例5设，证明级数收敛.例6判定下列级数的敛散性:(1)(2)例7判别级数的敛散性.例8判别级数的敛散性.例9判别级数的敛散性.例10级数当时收敛,有人说,因为故级数收敛.你认为他的说法对吗?例11判别下列级数的收敛性：(1)；(2).(3)例12判别级数的散敛性.例13判别级数的收敛性.例14判别级数的散敛性.例15判别级数的收敛性：例16判别级数的收敛性.例17试确定级数的敛散性.课堂练习1.设正项级数收敛,能否推得收敛?反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性第三节一般常数项级数内容要点一、交错级数收敛性的判别法；二、绝对收敛：如果收敛，则称为绝对收敛；根据这个结果，我们可以将许多一般常数项级数的收敛性判别问题转化为正项级数的收敛性判别问题；条件收敛：如果发散，但收敛，则称条件收敛.三、了解绝对收敛级数的性质：绝对收敛的级数重排后得到的新级数也绝对收敛，且其和相等；四、级数的乘法运算：按“对角线法”排列所组成的级数称为级数与的柯西乘积.例题选讲例1判断级数的收敛性.例2判断的收敛性.例3判别级数的收敛性.例4判别级数的收敛性.例5判定级数的收敛性.例6判别级数的收敛性.例7判别级数的收敛性.例8证明课堂练习1.判别级数的收敛性.2.设正项数列单调减少,且级数发散,试问级数是否收敛并说明理由?第四节幂级数内容要点一、函数项级数的基本概念；函数项级数在某区域的收敛性问题，是指函数项级数在该区域内任意一点的收敛性问题，而函数项级数在某点的收敛问题，实质上是常数项级数的收敛问题.这样，我们仍可利用常数项级数的收敛性判别法来判断函数项级数的收敛性.二、幂级数及其收敛性；阿贝尔定理；三、收敛半径及其求法:根据幂级数的系数的形式，当幂级数的各项是依幂次连续的时候，可用对其系数应用比值判别法或根值判别法直接求出收敛半径，即有或；如果幂级数有缺项，如缺少奇数次幂的项等，则应将幂级数视为函数项级数并利用比值判别法或根值判别法其收敛域；四、求幂级数收敛域的基本步骤：（1）求出收敛半径R.；（2）判别常数项级数的收敛性；（3）写出幂级数的收敛域.五、幂级数的算术运算：加、减、乘、除；六、幂级数的分析运算：和函数的连续性；逐项求导公式；逐项积分公式；几何级数的和函数是幂级数求和中的一个基本的结果．我们所讨论的许多级数求和的问题都可以利用幂级数的运算性质转化为几何级数的求和问题来解决．例题选讲例1求级数的收敛域.例2确定级数的收敛域