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文档简介
第十九讲计数综合提高上枚举法.
1、简单枚举.
2、分类枚举.
3、特殊的枚举:标数法、树形图.
加法原理——分类如果完成一件事有几类方式,在每一类方式中又有不同的方法,那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数.加法原理的类与类之间会满足下列要求:
(1)只能选择其中的某一类,而不能几类同时选;
(2)类与类之间可以相互替代,只需要选择某一类就可以满足要求.
乘法原理——分步如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数.乘法原理的步与步之间满足下列要求:
(1)每步都只是整件事情的一个部分,必须全部完成才能满足结论;
(2)步骤之前有先后的顺序,先确定好一步,再做下一步,……,直到最后.
排列:从m个不同的元素中取出n个(),并按照一定的顺序排成一列,其方法数叫做从m个不同元素中取出n个的排列数,记作,它的计算方法如下:从从m开始递减地连乘n个数组合:从m个不同元素中取出n个()作为一组(不计顺序),可选择的方法数叫做从m个不同元素中取出n个不同的组合数,记作,它的计算方法如下:
注意:几个常用公式:;;;.
一些好用的计数技巧和方法:捆绑法:对于要求必须站在一起的人,可以采用事先捆绑的方法来处理.插空法:对于不能相邻的情况,先把其他人先排好,再把不能相邻的人插入其他人之间的空隙中.有重复数字的数字排列问题,可以用“数字挑位置”的方法解决.数字0不能作为多位数的首位,在计数时需要特别注意.对挑出的对象有特殊要求的计数问题,一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位置,尽可能地让余下的对象或位置的确定变得简单.当满足要求的情况很多时,可以尝试用排除法计算不满足要求的情况,再从所有可能的情况中排除不满足要求的,也能得到问题的答案.
某人射击8枪,命中4枪,命中的4枪中恰好有3枪连在一起的情况有多少种?
「分析」首先仔细思考一下命中的4枪之间是否有顺序区别?然后确定其中3枪连在一起的位置选择有多少种情况?
练习1、在由1和2组成的六位数中(例如112111、111111等),恰好有3个1连在一起的六位数有多少个?
一种电子表在6时24分30秒的显示为6:24:30,那么从6时到7时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?
「分析」分钟的十位和秒钟的十位可能性比较少,所以,应优先确定.
练习2、现在我们规定一种记日期的方式,把“2012年05月12日”写作“120512”,即只需写出后面六位数,那么在2013年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数字互不相同?
纳达尔和费德勒进行网球比赛,谁先得6分就赢得此局,最后费德勒在第一局6:4获胜,已知在过程中费德勒从未落后过,那么比赛过程一共有多少种不同的可能?
「分析」大家还记得最短路线问题中曾经学习过的标数法吗?
练习3、皇马和巴萨两队进行足球比赛,最后皇马5:3获胜,已知在过程中皇马从未落后过,那么进球过程一共有多少种不同的可能?
小王左口袋里有10张黑卡片,分别写着1到10,右口袋里有10张红卡片,也分别写着1到10.他从两个口袋里各取出一张卡片,然后计算两张卡片上数的乘积,如果乘积恰好是6的倍数,那么共有多少种不同的取法?
「分析」两个数的乘积是6的倍数这两个数需要符合什么要求?
练习4、小高有12个黑球,分别写着1到12,还有10个红球,分别写着1到10.他从两个种球里各取出一个,然后计算两球上数的乘积,如果乘积恰好是10的倍数,那么共有多少种不同的取法?
(注:此题中6不能倒过来当9用,9也不能倒过来当6用)
NBA总决赛在洛杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行,比赛采用7局4胜制,比赛分为主场和客场,第1,第2,第6,第7场均在洛杉矶进行,第3~5场在波士顿进行.最终湖人队在自己的主场获得总冠军,那么比赛中的胜负结果有多少种可能?
「分析」由7局4胜制及主场获胜两个要求你可得出什么?通过分析寻找一下解决这道题目的突破口.
各位数字均不大于5,且能被99整除的六位数共有多少个?
「分析」99的整除特性是什么,在这道题目中任何应用?
年龄“外号”知多少总角:指童年.语出《诗经》,如《诗•卫风•氓》“总角之宴”.垂髫:指童年.古时童子未冠,头发下垂,因而以”垂髫”代指童年.束发:指青少年.
一般指15岁左右,这时应该学会各种技艺.及笄:指女子15岁.语出《礼记•内则》“女子……十有五年而笄”.“笄”,谓结发而用笄贯之,表示已到出嫁的年岁.待年:指女子成年待嫁,又称“待字”.弱冠:指男子20岁.语出《礼记•曲礼上》“二十曰弱,冠”.古代男子20岁行冠礼,表示已经成年.而立:指30岁.语出《论语•为政》“三十而立”.以后称三十岁为“而立”之年.不惑:指40岁.语出《论语•为政》“四十而不惑”.以后用“不惑”作40岁的代称.艾:指50岁.语出《礼记•曲礼上》“五十曰艾”.老年头发苍白如艾.花甲:指60岁.
作业8个同学排成一排照相,其中4个人要站在一起,共有多少种站法?
甲、乙队之间进行篮球比赛,比赛采用7局4胜制,等比到第6场就分出了胜负,甲赢得了比赛,那么有多少种可能?
甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起,4个人看也不看就随便各拿了1本,那么至少有一人拿错有多少种可能?
小明左口袋里有8张红卡片,上
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