大学高数空间解析几何2

空间解析几何1定义：如果曲面一、曲面方程的概念（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程与三元方程满足：（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程.曲面方程：2平分的平面方程.例1设有点A(1,2,3)与B(2,-1,4),求与线段AB垂直所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹所求平面方程设平面上任一点为化简得平面的一般方程二、平面及其方程3特殊平面XOY面YOZ面ZOX面适合下列条件的平面方程有什么特征？1.过原点2.平行于坐标轴平行于3.包含坐标轴包含4.平行于坐标平面平行于XOY面YOZ面ZOX面4例2作的图形．作的图形．5例3建立球心在点半径为R的球面的方程．设是球面上的任一点球面方程三、球面及其方程6令球面一般方程7例4方程表示怎样的球面？球心：(1,-2,0)半径：8上半部9解根据题意有所求方程为例5求与原点O及的距离之比为1:2点的全体所组成的曲面方程．10四、旋转曲面定义

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．播放11曲线CCy

zo绕z轴旋转面的方程12曲线CxCy

zo绕z轴.旋转面的方程13曲线C旋转一周得旋转曲面

SCSMNzPy

zo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z)

旋转面的方程.x

S14曲线C旋转一周得旋转曲面

SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=0

旋转面的方程.y

zo

S15坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为特点：(1)绕轴旋转,中不变(2)用替换中的16坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为特点：(1)绕轴旋转,中不变(2)用替换中的17x0y双叶旋转双曲面绕x轴一周18x0zy.绕x轴一周双叶旋转双曲面19x0zy.双叶旋转双曲面.绕x轴一周20axyo单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周21axyoz.上题双曲线绕y轴一周单叶旋转双曲面22a.xyoz..单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周23旋转锥面两条相交直线绕x轴一周x

yo24.两条相交直线绕x轴一周x

yoz旋转锥面25x

yoz.两条相交直线绕x轴一周得旋转锥面.旋转锥面26yoz旋转抛物面抛物线绕z轴一周27yoxz.抛物线绕z轴一周旋转抛物面28y.oxz生活中见过这个曲面吗？.旋转抛物面抛物线绕z轴一周得旋转抛物面29环面yxorR绕y轴旋转所成曲面30环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.31环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？yxo..32定义五、柱面平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.准线：母线：33xzy0母线F(x,y)=0z

=0准线

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程一般柱面

F(x,y)=034母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面一般柱面

F(y,z)=035柱面举例：抛物柱面平面36abzxyo椭圆柱面母线平行于z轴准线37zxy=0yo双曲柱面母线平行于y轴，准线38zxyo抛物柱面母线平行于z轴准线39指出下列方程在空间直角坐标系所表示的曲面：母线平行于z轴，准线圆柱面练：40定义三元二次方程所表示的曲面称之．讨论二次曲面性状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面六、二次曲面一次曲面平面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．41截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo椭球面42椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.43球面截面上圆的方程方程可写为44xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面椭圆抛物面（二）抛物面45xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面椭圆抛物面.46用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.47与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线48与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得抛物线.同理当时可类似讨论.49特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.50用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（马鞍面）双曲抛物面51截痕法.双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面52截痕法.双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面53

双叶：...yx

zo双叶双曲面54

.单叶双曲面55

单叶：双叶：...yx

zo

在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。

用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：双曲面的渐进锥面56指出下列曲面哪些是旋转曲面？如是，如何产生？(1)(2)球面椭球面(3)旋转单叶双曲面(4)旋转双叶双曲面(5)单叶双曲面57空间曲线C可看作空间两曲面的交线.六、空间曲线的一般方程58定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程空间直线的一般方程59例1方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面表示平面交线为椭圆60例2方程组表示怎样的曲线？解上半球面圆柱面交线如图61消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：空间曲线在坐标面上的投影62类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线63例4求曲线在坐标面上的投影.解(1)消去变量z后得在面上的投影为64所以在面上的投影为线段.(3)同理在面上的投影也为线段.(2)因为曲线在平面上，65截线方程为解交线如图：例5求抛物面与平面的截线在三个坐标面上的投影曲线方程．6667

1.解yxzo得交线L：空间曲线在坐标面上的投影由68z=0.1yxzo解L...得交线L：空间曲线在坐标面上的投影.投影柱面由69思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？70思考题解答平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程71(4)xyz1272(5)xyz73666x+y+z=63x+y=62作图练习x0z

y

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图74666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图作图练习753x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图作图练习763x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图作图练习7742x+y+z=6.x0z

y666

平面y=0,z=