第4章数据的概括性度量

第4章数据的概括性度量4.1集中趋势的度量4.2离散程度的度量4.3偏态与峰态的度量学习目标1. 集中趋势各测度值的计算方法2. 集中趋势各测度值的特点及应用场合3. 离散程度各测度值的计算方法4. 离散程度各测度值的特点及应用场合偏态与峰态的测度方法用Excel计算描述统计量并进行分析数据的特征和度量对于描述统计中的测度，主要可以分为三个方面来描述：一是数据的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚焦的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是数据分布的形状，即数据分布的偏态和峰度。4.1集中趋势的度量4.1.1分类数据：众数4.1.2顺序数据：中位数和分位数4.1.3数值型数据：平均数4.1.4众数、中位数和平均数的比较集中趋势

(centraltendency)一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据平均数在统计调查报告和政府权威部门公布的统计数据中，平均数是一种常见的统计数据，如平均增长速度、平均职工工资、平均价格等，用以显示社会和经济发展的一般水平和均衡状态。统计中的平均数包括：众数、中位数、四分位数、均值、几何均值、切尾均值。一、分类数据：众数（一）众数

(mode)一组数据中出现次数最多的变量值适合于数据量较多时使用不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据众数

(不惟一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:65

9855多于一个众数

原始数据:252828

364242（二）确定众数的方法（1）由单项式数列确定众数即一组数据中出现次数最多的变量值。（2）由组距式数列确定众数确定众数组，即次数最多的一组而后运用书中公式计算众数的近似值组距式数列确定众数式中：L：众数所在组的下限；U：众数所在组的上限；△1：众数组次数与下限相邻组次数之差；△2：众数组次数与上限相邻组次数之差；i：众数所在组的组距。公式应用前提假设应用该式时的假设：1.假定数据具有明显的集中趋势。2.假定众数所在组与相邻的上下组次数之差反映了偏态分布陡峭上升而缓慢下降的特点插值的出的。众数体现的统计思想：在一组数据的中心点附近，变量值出现的频率较高，根据众数组及相邻组的频数分布，确定中心点的位置。（三）特点和应用条件1、众数的特点是一种位置平均数不受极端标志值或开口组的影响2、应用条件在分配数列中，当标志值的次数有明显集中趋势的情况下，才能确定众数。众数的应用1、分析列名尺度数据的平均水平时，宜采用众数。列名尺度数据因为不能计算中位数或均值，其中等水平或一般水平只能用众数表示。如商品销售情况的统计中，作为最受欢迎的、最大众化的、最普遍的、销售最大的类型；如民意测验中，作为反映民众倾向的意见。众数的应用2、现象存在明显集中趋势时，宜采用众数。众数的应用常出现在不确定情况下的理性决策中。如办公桌椅的长宽比例、住宅房间的高度、汽车驾驶室的空间、成衣、鞋袜、帽子、自行车等商品的生产和销售，厂家将消费群体定格在社会大多数人身上，依据人体各部位数据的众数来确定。如竞选者会选择在选民最感兴趣话题上做文章。分类数据的众数

(例题分析)不同品牌饮料的频数分布

饮料品牌频数比例百分比(%)果汁矿泉水绿茶其他碳酸饮料610118150.120.200.220.160.301220221630合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值所调查的50人中，购买碳酸饮料的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即

Mo＝碳酸饮料顺序数据的众数

(例题分析)解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意24108934530836311510合计300100.0二、顺序数据：中位数和分位数（一）中位数

(median)1.排序后处于中间位置上的值，永远在最中间，有一半数据大于它，一般数据小于它。Me50%50%2.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即中位数

(median)3.不受极端值的影响，是一个位置代表值。4.主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据5.中位数分组数据公式是以各组数据在组中均匀分布这一假设为条件的。中位数

(位置的确定)1、由未分组数列确定中位数要注意n为奇数和偶数的不同。2、由分组数列确定中位数。确定中位数所在组根据公式确定中位数的近似值中位数

(位置和数值的确定)位置确定数值确定数值型数据的中位数

(9个数据的算例)【例】

9个家庭的人均月收入数据原始数据:

15007507801080850960200012501630排序:

7507808509601080

1250150016302000位置:123456789中位数

1080

数值型数据的中位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

分组数列确定中位数式中：L：中位数所在组的下限；∑f：数列的次数总和；∑f/2：中位数的位次；fm：中位数所在组的次数；Sm－1：中位数所在组之前各组的累计频数；中位数的应用一则媒体报道：台大医院肿瘤医学部主任医师表示：美国食品药物管理局新核准的一种标靶治疗新药，可有效提升局部晚期头颈癌病人的存活率。若使用此药于第一线治疗，可将存活时间中位数由29.3个月提升到49个月。思考：以存活时间来说，均值和中位数，何者会给病人较多的信息？中位数的应用当数据中出现极端值时，宜采用中位数。中位数不受极端值影响，适合反映数量差异悬殊现象的数量特点。因而在反映人民生活水平的一般水平时，应采用中位数来计算，如人均收入、人均住房面积。欧美国家反映居民收入水平也多采用收入中位数，而不是采用均值。中位数的应用世界各国表明人口的平均年龄，一般用年龄中位数。在医学卫生统计中，世界各国在反映婴儿每个月的标准身高、体重和血液中各微量元素的含量均使用的是中位数。顺序数据的中位数

(例题分析)解：中位数的位置为(300+1)/2＝150.5从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中中位数为

Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—（二）四分位数

(quartile)排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响计算公式QLQMQU25%25%25%25%四分位数

(位置的确定)（1）由未分组资料计算四分位数。首先确定四分位数的位次，再找出对应位次的标志值即为四分位数。四分位数的计算是整数，则位次对应的标志值即为相应的四分位数。设样本容量为n，不是整数，则用相邻位次上的标志值的加权算术平均数插值法计算四分位数。顺序数据的四分位数

(例题分析)解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4

=225从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中四分位数为

QL

=不满意

QU

=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—数值型数据的四分位数

(9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:12345

6

789

数值型数据的四分位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

（2）由分组资料计算四分位数——第

四分位数所在组的下限；——第

四分位数所在组的次数；——总次数，即各组次数总和；——小于第

四分位数所在组的各组次数之和；——第

四分位数所在组的组距。式中：第

四分位数的计算公式为：三、数值型数据：平均数（一）均值（平均数）（Mean)全部数据的算术平均，也称算术平均数。平均数

(mean)也称为均值集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响有简单平均数和加权平均数之分根据总体数据计算的，称为平均数，记为

；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为

x

x算术平均数的性质均值是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵销后的结果。简单平均数

(Simplemean)设一组数据为：x1，x2，…，xn(总体数据xN)样本平均数总体平均数加权平均数

(Weightedmean)设各组的组中值为：M1，M2，…，Mk

相应的频数为：f1，f2，…，fk样本加权平均总体加权平均加权平均数

(例题分析)

某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)Mifi

140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合计—12022200均值

(数学性质)1. 各变量值与均值的离差之和等于零2.各变量值与均值的离差平方和最小均值的应用假设有一家新开的减肥中心，学员有5人。一个月后，其中一位“超级大户”学员，从219斤减到了200斤，减了19斤；另外4位不仅没减，还各自重了1斤。减肥中心开始打广告：“全体学员平均一个月减重3斤”。思考：这说明均值的应用有何局限性？（二）几何均值

(geometricmean)1、几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，主要适用于对比率数据的平均。2、是当变量值本身是比率的形式，并且各比率的乘积等于总比率，应采用几何平均法计算平均比率。3、是n个变量值乘积的n次方根，主要用于计算平均增长率，如平均发展速度几何均值

(geometricmean)4、计算公式为5.可看作是均值的一种变形几何平均数

(例题分析)

【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率算术平均：

几何平均：几何平均数

(例题分析)【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率年平均增长率＝114.91%-1=14.91%（三）切尾均值

(trimmedMean)

去掉大小两端的若干数值后计算中间数据的均值在电视大奖赛、体育比赛及需要人们进行综合评价的比赛项目中已得到广泛应用计算公式为n表示观察值的个数；α表示切尾系数，

四、众数、中位数和平均数的比较众数、中位数和平均数的关系左偏分布均值

中位数

众数对称分布

均值=中位数=

众数右偏分布众数

中位数均值众数、中位数、平均数的特点和应用众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用4.2离散程度的度量4.2.1分类数据：异众比率4.2.2顺序数据：四分位差4.2.3数值型数据：方差和标准差4.2.4相对离散程度：离散系数集中趋势的各测度值是对数据一般水平的一个概括性度量，它对于一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性越差；离散程度越小，其代表性越好。离中趋势数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值一、分类数据：异众比率异众比率

(variationratio)1. 对分类数据离散程度的测度2. 非众数组的频数占总频数的比例3. 计算公式为4.用于衡量众数的代表性异众比率

(例题分析)解：

在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“碳酸饮料”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好不同品牌饮料的频数分布

饮料品牌频数比例百分比(%)果汁矿泉水绿茶其他碳酸饮料610118150.120.200.220.160.301220221630合计501100二、顺序数据：四分位差四分位差

(quartiledeviation)对顺序数据离散程度的测度也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差

Qd=QU

–QL反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性四分位差

(例题分析)解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为4,非常满意为5。已知

QL

=不满意=2

QU

=一般=3四分位差为

Qd

=QU

-

QL

=3–2

=1甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般

满意

非常满意2410893453024132225270300合计300—三、数值型数据：方差和标准差极差

(range)一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布R

=max(xi)-min(xi)计算公式为平均差

(meandeviation)各变量值与其平均数离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为未分组数据组距分组数据平均差

(例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合计—120—2040平均差

(例题分析)

含义：每一天的销售量平均数相比，平均相差17台

方差和标准差

(VarianceandStandarddeviation)1. 离散程度的测度值之一2. 最常用的测度值3. 反映了数据的分布方差和标准差是根据全部数据计算的，反映了各变量值与均值的平均差异，能准确反映出数据的离散程度。4681012

x=8.3方差和标准差

(VarianceandStandarddeviation)5、根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差6、总体方差和样本方差计算上的区别：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和；样本方差是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，即样本方差用自由度n-1去除!总体方差和标准差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式样本方差和标准差

(samplevarianceandstandarddeviation)未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!自由度

(degreeoffreedom)自由度是指数据个数与附加给独立的观测值的约束或限制的个数之差从字面涵义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为n-k样本方差

自由度(degreeoffreedom)例