概率论与数理统计慕课版第章多维随机变量及其分布

xx年xx月xx日多维随机变量及其分布contents目录预备知识多维随机变量随机变量的函数多维随机变量的数字特征多维正态分布马尔科夫链大数定律与中心极限定理01预备知识向量与矩阵向量是一组数的集合，矩阵是一个二维数组。向量可以看作是矩阵的特例，即行数和列数等于1。矩阵的加法、减法、数乘等运算都有相应的规则。特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。对于给定的矩阵A，可以找到一个非零向量x，使得Ax=mx成立，其中m就是A的特征值，x就是对应的特征向量。行空间与列空间矩阵的行空间和列空间是线性代数中的重要概念。行空间是指由矩阵的行向量所张成的空间，列空间是指由矩阵的列向量所张成的空间。线性代数基础导数与微分导数是函数在某一点的切线斜率，微分是函数在某一点的局部近似。导数和微分都是微积分中的基本概念。积分与定积分积分是微分的逆运算，定积分是积分的一种特殊形式。定积分可以用来求解面积、体积、平均值等实际问题。微分方程微分方程是描述动态系统的一类重要方程。在一元微分方程中，我们通常讨论的是一元函数的导数与自变量、时间的关系。多元微分方程则涉及到多个变量的导数与自变量的关系。微积分基础02多维随机变量VS随机变量可以看作是定义在样本空间上的函数，对于每个样本点，它取一个实数值。对于多个随机变量，我们可以将其看作是定义在样本空间上的向量，称为多维随机变量。多元随机变量的性质多维随机变量的取值范围是所有可能取值的集合，通常是一个向量或矩阵。每个分量都是一个随机变量，它们之间可能相互依赖，也可能相互独立。多维随机变量定义与性质联合概率分布描述多维随机变量的取值概率分布情况的公式。联合概率分布可以看作是多维随机变量的特征描述。联合概率分布联合概率分布通常由一个概率密度函数或一个概率质量函数来表示，其中包含一些参数。这些参数通常表示各个随机变量之间的相互关系和依赖关系。联合概率分布的参数在某些情况下，我们只关心一个或几个随机变量的取值情况，而其他随机变量的取值情况可以忽略不计。边缘概率分布就是用来描述这种情况的公式。边缘概率分布当我们已知某些随机变量的取值情况后，其他随机变量的取值情况如何分布？条件概率分布就是用来描述这种情况的公式。条件概率分布边缘概率分布与条件概率分布如果两个随机变量之间没有任何相互影响，即它们的取值互不影响，则称这两个随机变量是独立的。如果两个随机变量是独立的，则它们的联合概率分布等于各自概率分布的乘积，即它们的联合概率分布中的每个元素等于各自概率分布中对应元素的乘积。独立性定义独立性的性质随机变量的独立性03随机变量的函数1单变量随机函数的性质23随机变量是定义在样本空间上的函数，其取值具有不确定性。每个随机变量都有其对应的概率分布，描述了该变量取各个值的概率大小。随机变量的期望值和方差是描述该变量取值平均情况和分散程度的量。多维随机函数是定义在两个或多个随机变量上的函数，描述了多个随机变量之间相互关联的关系。多维随机函数的概率分布可以是一个联合概率分布或者多个边缘概率分布。多维随机函数的期望值和方差是描述该变量取值的平均情况和分散程度的量。多维随机函数的性质常见的多维随机函数多个随机变量之间相互独立且具有相同的概率分布。独立同分布线性组合条件分布最大熵多个随机变量的线性组合仍然是一个随机变量，其概率分布可以使用线性组合的性质进行计算。给定一个或多个随机变量的条件下，其他随机变量的概率分布。在满足一定约束条件下，使得概率分布熵最大的分布，常常用于描述一个未知概率分布的情况。04多维随机变量的数字特征VS多维随机变量的均值是对其分布的中心位置的一种度量，定义为所有可能取值的加权平均值。方差方差是度量多维随机变量取值分散程度的指标，它定义为所有可能取值与均值的差的平方的加权平均值。均值均值与方差相关系数与协方差用于度量两个多维随机变量之间的线性相关程度，定义为两个随机变量取值之间的协方差除以两个随机变量标准差的乘积。相关系数协方差是度量两个多维随机变量取值同时偏离其均值程度的一种指标，定义为两个随机变量取值差的加权平均值。协方差矩是度量多维随机变量分布偏斜程度的一种指标，定义为所有可能取值的阶乘的加权平均值。高阶矩是度量多维随机变量分布偏斜程度更高阶的指标，定义为所有可能取值的阶乘的加权平均值，包括偏态和峰态等信息。矩高阶矩矩与高阶矩05多维正态分布定义二维正态分布由两个随机变量组成，它们的概率密度函数由均值、方差和协方差等参数决定。表达式对于二维正态分布，其概率密度函数为：f(x,y)=1/(2πσ^2)*exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)-(y-μ)^2/(2σ^2)+ρ*(x-μ)*(y-μ)/σ^2)二维正态分布定义多维正态分布由多个随机变量组成，它们的概率密度函数由均值向量、协方差矩阵等参数决定。表达式对于多维正态分布，其概率密度函数为：f(x_1,x_2,...,x_n)=1/(2π|Σ|^0.5)*exp(-(x-μ)'*Σ^(-1)*(x-μ)/2)多维正态分布正态分布的性质钟形曲线正态分布的曲线呈钟形，中间高、两边低，在均值附近达到最大值。均数、中位数和众数对于正态分布，均数、中位数和众数相等，都等于均值μ。稳定性正态分布的边缘分布仍为正态分布，即一个随机变量的正态分布与另一个随机变量的正态分布的线性组合仍为正态分布。01020306马尔科夫链一维马尔科夫链是一种具有马尔科夫性质的随机过程，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关。一维马尔科夫链定义一维马尔科夫链的状态是离散的，通常用整数表示，例如0,1,2等。状态每个状态转移到另一个状态的概率是固定的，即转移概率不随时间改变。转移概率状态多维马尔科夫链的状态是多个维度的组合，例如(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)等。定义多维马尔科夫链是多个一维马尔科夫链的组合，每个马尔科夫链代表一个维度，各维度之间相互独立。转移概率每个状态转移到另一个状态的概率也是固定的，但不同维度之间的转移概率相互独立。多维马尔科夫链马尔科夫链的应用利用马尔科夫链可以建立语言模型，预测下一个单词或词组。语言模型利用马尔科夫链可以建立天气预报模型，预测未来一段时间内的天气状况。天气预报利用马尔科夫链可以建立人口预测模型，预测未来一段时间内的人口数量。人口预测利用马尔科夫链可以建立股票市场预测模型，预测未来一段时间内的股票价格。股票市场预测07大数定律与中心极限定理大数定律定理1切比雪夫大数定律，当n个随机变量的取值范围不超过d时，它们的算术平均数当n→∞时的极限为它们的数学期望。定理2伯努利大数定律，当试验次数足够多时，事件发生的频率近似于事件发生的概率。定义大数定律是描述在重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定于事件发生的概率的规律。定义中心极限定理是指，当n个相互独立的随机变量之和满足方差齐性时，它们的和的分布近似于正态分布。中心极限定理定理1棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，当n个相互独立的随机变量之和满足方差齐性时，它们的和的标准化变量的分布收敛于标准正态分布。定理2列维-林德伯格中心极限定理，当n个相互独立的随机变量之和满足方差齐性时，它们的和的分布收敛于正态分布。保险精算利用中心极限定理，可以将保险公司的理赔金额近似地看作是正态分布，从而更准确地预测理赔金额的均值和方差。应用举例金融领域中心极限定理被广泛应用于金融领域中的风险管理和投资组合优化。通过将多个资