不定积分的计算和应用

目录TOC\o"1-2"\h\u6134摘要 121908关键词 1256250前言 150901.不定积分的含义 17729 328468 313706 323260 521655 529249 510593 97424 1191074.4分段求不定积分法 133495.不定积分在企业（经营）管理与经济学中的应用 1428206 1410736 15253645.3国民收入、国民消费和国民储蓄 167155 1619980参考文献: 17浅谈不定积分学生姓名：刘永超学号：20105031111数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：宋新宇职称：教授摘要：本文给出了不定积分的定义，讨论了不定积分的性质，并结合典型例题分析了不同类型不定积分的计算方法．不定积分的应用非常广泛，应用不定积分能很巧妙的解决一些问题，本文就展示了不定积分在企业（经营）管理与经济学中的应用．关键词：不定积分；性质；计算方法；应用IntroductiontoindefiniteintegralAbstract:Thedefinitionofindefiniteintegralisgiveninthisarticle，thenaturesofindefiniteintegralsarediscussed，andthecalculationmethodsofindefiniteintegralofdifferenttypesareanalyzedcombinedwithtypicalexamples．Indefiniteintegralhasaverywiderangeofapplication,theapplicationofindefiniteintegralskillfullycansolvesomeproblems,thispapershowstheindefiniteintegralintheapplicationoftheenterprise(operation)managementandeconomics．Keywords:Indefiniteintegral;properties;calculationmethod;application0前言不定积分的积分技巧性强，需要进行必要的不定积分计算的训练，并通过这些训练熟悉不定积分的基本公式，熟悉包括换元积分法与分部积分法等基本积分方法以及一些基本积分技巧．本文对以上几种方法所应遵循的原则分为几种类型，并作简要的分析说明．此外，本文还介绍了不定积分在企业（经营）管理与经济学中的应用．=1\*Arabic1.不定积分的含义求其导数为已知的函数的方法称为积分法，而所求的函数成为所给的函数的积分或反导数．如果是函数对的积分，则和之间的关系定义为式中左边部分读作“对的积分”．符号为积分号，为被积函数，为特积分，为积分常数，而．注意，如果是对的一个积分，则也是一个这样的一个积分（式中为任意常数），因为任何常数的导数等于零，即．这就是，如果为对的一个积分，因此，一个已知其导数的函数并没有完全被确定，因为它的积分含有一个任意的附加常数．为此，函数被称为的不定积分．可以证明，具有相同导数的两个函数至多相差一个常数．因此，如果是中的一个积分，则的全部积分包含在集合中，式中为任意常数．在许多积分应用中，习题中给出的、常常被称为初始条件或边界条件的某些信息，唯一的确定其积分常数．定义1设函数与在区间上都有定义．若，，则称为在区间上的一个原函数．例如因为=，所以是在上的一个原函数；又==，所以与都是在上的原函数．定理1若函数在区间上连续，则在上存在原函数，即，．定理2设是在区间上的一个原函数，则(i)也是在上的原函数，其中为任意常量函数；(ii)在上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数．证明(i)这是因为==，．(ii)设和是在上的任意两个原函数，则有=-=-=，．根据拉格朗日中值定理的推论，有-，．[[]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2003．][]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2003．定义2函数在上的全体原函数称为在上的不定积分，记作其中称为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量．2.不定积分的性质及几何意义不定积分的性质（1）；；；．（2）=，其中，为常数．不定积分的几何意义若是的一个原函数，则称的图像为的一条积分曲线．于是，的不定积分在几何上表示的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得的一切积分曲线组成的曲线族．显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点出作切线，这些切线相互平行．在求原函数的具体问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件．的原函数，它就是积分曲线族中通过点的那一条积分曲线．例如，指点做匀加速直线运动时==，则==，若已知=，代入上式后确定积分常数，=，于是就有，又因=，所以又有==，若已知=，则=，代入上式得到=．3.基本积分表(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；；；；；；；.[[][]郝涌，李学志，陶有德，彭玉成编著．数学分析考研精编[M]．信阳师范学院数学学院，2003．不定积分的方法在解不定积分习题的过程中，我们会用各种方法进行求解，以下几种解法为我们常用的几种．并归纳出几种类型的不定积分的解法．(1)引入变数法若，则．其中．(2)分项积分法若，则．(3)代入法假设，式中及其导函数为连续的．则得．分部积分法若和为的可微分函数，则．4.1有理函数的积分法(1)利用积分表求积分例1求解不定积分．解===．例2求解不定积分．解==．例3求解不定积分．解法一：原积分===；法二：原积分=（令）===．(2)适当的变换被积函数，求积分例4求解不定积分．解==（令）===．例5求解不定积分．解===．(3)用分部积分法求积分例6求解不定积分．解=====．例7导出不定积分=（为正整数）的递推公式．解易得=，=．当时，由分部积分公式，我们有======，因此得到递推公式=．(4)利用待定系数法求积分例8求解不定积分．解设，通分后得，．令，则得，令，则．于是==．例9求解不定积分．解设，通分后得，．在这个恒等式中，令得，；令得，．故．则==．(5)利用奥斯特洛拉得斯基方法，计算积分所谓奥式方法，是指关于有理真分式的积分，可以借助代数方法来分离成一个真分式与另一个真分式的积分和．使在新的被积真分式函数中，其分母次数达到最低状态．也即在公式（*）中，如果已知，且分母可以分解成一次与二次类型的实因式：；．且满足，而为相应比更低次数的多项式，一般可用待定系数法求得．[[]费定晖，[]费定晖，周学圣．吉米多维奇数学分析精选精做习题集[M]．山东科技大学出版社出版，2007．例10求解不定积分．解令，，．设，从而．比较等式两端x的同次幂系数，有解得，，，，．于是＝＝．4.2无理函数的积分法(1)化被积函数为有理函数求不定积分例11求解不定积分．解设=，则=，=．代入原式得===．其中，=．例12求解不定积分．解设，则，，，．代入原式得===．(2)利用公式=+，式中，为次多项式，为次多项式及为常数，求不定积分例13求解不定积分．解设=+，两边对求导数，得=++．从而有．比较等式两端的同次幂系数，求得，，，．于是=+=+．4.3可化为有理函数的积分法(1)型令，则===，，==．所以，．例14求解不定积分．解令，则，，．故＝＝＝．例15求解不定积分．解原积分======．故=(2)．例16求解不定积分．解令．则有，，．则＝＝＝＝．(3)型不定积分（时时）．由于，若记，．则此二次三项式必属于以下三种情形之一：，，．因此，上述无理根式的不定积分也就转化为以下三种类型之一：，．当分别令，，后都可化为三角有理式的不定积分．[[][俄]B.A.卓里奇著.数学分析（第一卷）（第四版）[][俄]B.A.卓里奇著.数学分析（第一卷）（第四版）.北京：高等教育出版社出版，2008.例17求解不定积分=．解令．则，，．于是，所求不定积分可直接化为有理函数的不定积分＝＝＝＝＝．一般的二次三项式中，若，则可令．若，还可令，这类变换称为欧拉变换．4.4分段求不定积分法例18设试求．解当时，=；当时，=；当时，=；注意到，具有连续性．因此，．故，令．则．[[]赵显曾，黄安才.数学分析的方法与题解[M].陕西师范大学出版社出版，2005.[]赵显曾，黄安才.数学分析的方法与题解[M].陕西师范大学出版社出版，2005.例19计算不定积分.解设是在上的原函数，且满足.于是，有由，定出；而后，由在上连续，在定出与.得所以，在上有=.5.不定积分在企业（经营）管理与经济学中的应用正如我们学过的微分法讨论中所提到的那样，在经济学中常常用平均变化和边际两种概念讨论一个量对另一个量的变化．完全象通过求函数的微分可以得到函数的边际变化一样，通过求函数的边际变化的积分能够得到该函数（除常数以外）．本节举例说明关于成本函数、收益函数和消费函数的这种积分应用．此外，还举例说明关于资本形成的类似应用．5.1成本如果生产并销售件商品的总成本用如下函数给定，则每件平均成本为，而边际成本为．就是说，边际成本为总成本函数对的导数．因此，总成本是边际成本函数对的积分，即．为了通过求相应边际成本函数的积分而得到一个唯一的总成本函数，必须规定初始条件．通常这种规定是用固定成本（）或初始管理费用（），即当时的成本给出的．例19作为生产的件数的函数的边际成本给定为，若固定成本为，试求总成本函数和平均成本函数．解由题意，得=.若，，因此．而且（总成本）,（平均成本）．5.2收益对于任何需求函数，式中为单价，为件数，总收益（）就是和的乘积，即．关于需求的边际收益是总收益对的导数，即．因此，总收益函数是边际收益对的积分，即．同时，因为.所以，必须规定初始条件，以便通过求相应边际收益函数的积分得到一个唯一的总成本函数．为了求积分常数，可以使用如下的初始条件：如果需求为零，则收益也为零．注意，平均收益或收益就是单价，因此平均收益曲线与需求曲线是相同的．例20如果边际收益函数为，试求收益函数和需求函数．解由题意，得.若，因此．而且（收益函数），（需求函数）．5.3国民收入、国民消费和国民储蓄如果消费函数给定为，式中为国民总消费，为国民总收入（），则边际消费倾向（）为消费函数对的导数．而且假定，式中为储蓄，边际储蓄倾向（）为,国民总消费为边际消费倾向对的积分．为了通过求相应边际消费倾向的积分得到唯一的消费函数，必须规定一个初始条件．例21边际储蓄倾向为．