一元二次方程求解(公式法求解)

./一元二次方程求解〔公式法求解一．选择题〔共2小题1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是〔A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜32．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是〔A．x1=x2= B．x1=0,x2=﹣2 C．x1=,x2=﹣3 D．x1=﹣,x2=3二．填空题〔共19小题3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．4．已知等腰三角形的一腰为x,周长为20,则方程x2﹣12x+31=0的根为．5．已知代数式7x〔x+5+10与代数式9x﹣9的值互为相反数,则x=．6．若x2+3xy﹣2y2=0,那么=．7．一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0的求根公式是,条件是．8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac=,x1=,x2=．9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为．10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时,对于b2﹣4ac＞0的情况,他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．11．〔1解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；〔2上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．12．已知x=〔b2﹣4c＞0,则x2+bx+c的值为．13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为．14．方程x2﹣3x+1=0的解是．15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1,则b2﹣4ac=．16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是．17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．18．有一个数值转换机,其流程如图所示：若输入a=﹣6,则输出的x的值为．19．已知a＜b＜0,且,则=．20．方程x2﹣5x+3=0的解是．21．若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则=．三．解答题〔共19小题22．解方程：x2﹣3x+1=0．23．解方程：x2﹣5x+2=0．24．解方程：x2﹣3x﹣7=0．25．2x2+3x﹣1=0．26．解下列方程〔1用配方法解方程：2x2+5x+3=0；〔2用公式法解方程：〔x﹣2〔x﹣4=12．27．解下列方程：〔1x2﹣2x=2x+1〔配方法〔22x2﹣2x﹣5=0〔公式法28．解方程：2x2﹣5x+1=0．29．解方程：〔1x2﹣6x﹣6=0〔22x2﹣7x+6=0．30．解方程：2x2+3x﹣1=0．31．解方程：x2+3x+1=0．32．〔1解方程：x2=3〔x+1．〔2用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．33．用公式法解下列方程2x2+6=7x．34．解方程：x2+3x﹣2=0．35．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．36．解方程：3x2﹣6x﹣2=0．37．用公式法解方程：x2+x﹣1=0．38．解方程〔l2x2﹣3x+1=0〔公式法〔23x2﹣6x+4=0〔配方法39．设关于x的二次方程〔k2﹣6k+8x2+〔2k2﹣6k﹣4x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．40．解方程：3x2﹣4x﹣1=0．一元二次方程求解〔公式法求解参考答案与试题解析一．选择题〔共2小题1．〔2014•荆州已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是〔A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜3[分析]先求出方程的解,再求出的围,最后即可得出答案．[解答]解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=,∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根,∴a=,∵2＜＜3,∴3＜1+＜4,∴＜＜2,故选：C．[点评]本题考查了解一元二次方程,估算无理数的大小的应用,题目是一道比较典型的题目,难度适中．2．〔2014•一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是〔A．x1=x2= B．x1=0,x2=﹣2 C．x1=,x2=﹣3 D．x1=﹣,x2=3[分析]找出方程中二次项系数a,一次项系数b及常数项c,再根据x=,将a,b及c的值代入计算,即可求出原方程的解．[解答]解：∵a=1,b=2,c=﹣6∴x====﹣±2,∴x1=,x2=﹣3；故选：C．[点评]此题考查了利用公式法求一元二次方程的解,利用公式法解一元二次方程时,首先将方程化为一般形式,找出二次项系数,一次项系数及常数项,计算出根的判别式,当根的判别式≥0时,将a,b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．二．填空题〔共19小题3．〔2011春•桐城市月考方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．[分析]分x＞0和x＜0两种情况进行讨论,当x＞0时,方程x2﹣x﹣1=0；当x＜0时,方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．[解答]解：当x＞0时,方程x2﹣x﹣1=0；∴x=；当x＜0时,方程x2+x﹣1=0；∴x=,∴x=；故答案为或．[点评]本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法,要特别注意分类讨论思想的运用．4．〔2014•下城区一模已知等腰三角形的一腰为x,周长为20,则方程x2﹣12x+31=0的根为6．[分析]求出方程的解得到x的值,即为腰长,检验即可得到方程的解．[解答]解：方程x2﹣12x+31=0,变形得：x2﹣12x=﹣31,配方得：x2﹣12x+36=5,即〔x﹣62=5,开方得：x﹣6=±,解得：x=6+或x=6﹣,当x=6﹣时,2x=12﹣2＜20﹣12+2,不能构成三角形,舍去,则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．故答案为：6+[点评]此题考查了解一元二次方程﹣公式法,三角形的三边关系,以及等腰三角形的性质,熟练掌握求根公式是解本题的关键．5．〔2015秋•阳县月考已知代数式7x〔x+5+10与代数式9x﹣9的值互为相反数,则x=．[分析]根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值．[解答]解：根据题意得：7x〔x+5+10+9x﹣9=0,整理得：7x2+44x+1=0,这里a=7,b=44,c=1,∵△=442﹣28=1908,∴x==．故答案为：．[点评]此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键．6．〔2012•呼和浩特模拟若x2+3xy﹣2y2=0,那么=．[分析]观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知,方程的两边同时乘以,即可得到关于的方程,然后利用"换元法"、"公式法"解答即可．[解答]解：由原方程,得两边同时乘以得：〔2+3﹣2=0设=t,则上式方程即为：t2+3t﹣2=0,解得,t=,所以=；故答案是：．[点评]本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．7．〔2016秋•新沂市校级月考一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0的求根公式是,条件是b2﹣4ac≥0．[分析]可根据配方法解一元二次方程的一般方法,解一元二次方程ax2+bx+c=0．[解答]解：由一元二次方程ax2+bx+c=0,移项,得ax2+bx=﹣c化系数为1,得x2+x=﹣配方,得x2+x+=﹣+即：〔x+2=当b2﹣4ac≥0时,开方,得x+=解得：x=．故答案为：,b2﹣4ac≥0．[点评]本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．8．〔2011秋•册亨县校级月考用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac=41,x1=,x2=．[分析]根据已知得出a=2,b=﹣7,c=1,代入b2﹣4ac求出即可,再代入公式x=求出即可．[解答]解：2x2﹣7x+1=0,a=2,b=﹣7,c=1,∴b2﹣4ac=〔﹣72﹣4×2×1=41,∴x==,∴x1=,x2=,故答案为：41,,．[点评]本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用,关键是检查学生能否能运用公式求方程的解,本题主要培养了学生的计算能力．9．〔2011•一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为a1=2+,a2=2﹣．[分析]用公式法直接求解即可．[解答]解：a===2±,∴a1=2+,a2=2﹣,故答案为：a1=2+,a2=2﹣．[点评]本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值〔注意符号；②求出b2﹣4ac的值〔若b2﹣4ac＜0,方程无实数根；③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．10．〔2016•丰台区一模小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时,对于b2﹣4ac＞0的情况,他是这样做的：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义．[分析]根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．[解答]解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义．[点评]本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：〔1形如x2+px+q=0型：第一步移项,把常数项移到右边；第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步,直接开方即可．〔2形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方．11．〔2000•区〔1解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；〔2上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．[分析]〔1直接代入公式计算即可．〔2其中方程①③④的一次项系数为偶数2n〔n是整数．然后再利用求根公式代入计算即可．[解答]解：〔1①解方程x2﹣2x﹣2=0①,∵a=1,b=﹣2,c=﹣2,∴x===1,∴x1=1+,x2=1．②解方程2x2+3x﹣l=0,∵a=2,b=3,c=﹣1,∴x==,∴x1=,x2=．〔2分③解方程2x2﹣4x+1=0,∵a=2,b=﹣4,c=1,∴x===,x1=,x2=．〔3分④解方程x2+6x+3=0,∵a=1,b=6,c=3,∴x===﹣3,∴x1=,x2=．〔4分〔2其中方程①③④的一次项系数为偶数2n〔n是整数．〔8分一元二次方程ax2+bx+c=0,其中b2﹣4ac≥0,b=2n,n为整数．∵b2﹣4ac≥0,即〔2n2﹣4ac≥0,∴n2﹣ac≥0,∴x====〔11分∴一元二次方程ax2+2nx+c=0〔n2﹣ac≥0的求根公式为．〔12分[点评]本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式,正确对二次根式进行化简．12．〔2016秋•安陆市期中已知x=〔b2﹣4c＞0,则x2+bx+c的值为0．[分析]把x的值代入代数式,再进行计算即可．[解答]解：∵x=〔b2﹣4c＞0,∴x2+bx+c=〔2+b+c=++c===0．故答案为：0．[点评]本题考查了一元二次方程,实数的运算法则,求代数式的值的应用,能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．13．〔2015秋•校级月考方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为x=．[分析]先计算判别式的值,再利用求根公式法解方程,然后找出负数根即可．[解答]解：△=〔﹣62﹣4×2×〔﹣1=44,x==,所以x1=＞0,x2=＜0．即方程的负数根为x=．故答案为x=．[点评]本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．14．〔2010•方程x2﹣3x+1=0的解是x1=,x2=．[分析]观察原方程,可用公式法求解；首先确定a、b、c的值,在b2﹣4ac≥0的前提条件下,代入求根公式进行计算．[解答]解：a=1,b=﹣3,c=1,b2﹣4ac=9﹣4=5＞0,x=；∴x1=,x2=．故答案为：x1=,x2=．[点评]在一元二次方程的四种解法中,公式法是主要的,公式法可以说是通法,即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程,用直接开平方法简便．因此,在遇到一道题时,应选择适当的方法去解．15．〔2011秋•浠水县校级月考已知一元二次方程2x2﹣3x=1,则b2﹣4ac=17．[分析]先将已知方程转化为一般式方程,然后将a、b、c的数值代入所求的代数式,并求值即可．[解答]解：由原方程,得2x2﹣3x﹣1=0,∴二次项系数a=2,一次项系数b=﹣3,常数项c=﹣1,∴b2﹣4ac=〔﹣32﹣4×2×〔﹣1=9+8=17；故答案是：17．[点评]本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．在求b2﹣4ac的值时,需要熟悉该代数式中的a、b、c所表示的意义．16．〔2013秋•邹平县校级期末方程x2﹣4x﹣7=0的根是x1=2+,x2=2﹣．[分析]先求出b2﹣4ac的值,最后代入公式求出即可．[解答]解：x2﹣4x﹣7=0,b2﹣4ac=〔﹣42﹣4×1×〔﹣7=44,x=,x1=2+,x2=2﹣,故答案为：；[点评]本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生能否正确运用公式解一元二次方程．17．〔2012秋•开县校级月考一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．[分析]利用公式法解此一元二次方程的知识,即可求得答案．[解答]解：∵a=3,b=﹣4,c=﹣2,∴△=b2﹣4ac=〔﹣42﹣4×3×〔﹣2=40,∴x===．故答案为：．[点评]此题考查了公式法解一元二次方程的知识．此题难度不大,注意熟记公式是关键．18．〔2012秋•周宁县期中有一个数值转换机,其流程如图所示：若输入a=﹣6,则输出的x的值为无解．[分析]将a=﹣6代入方程x2﹣3x﹣a=0中,利用公式法求出方程的解即可．[解答]解：输入的数a=﹣6＜0,代入得：x2﹣3x+6=0,这里a=1,b=﹣3,c=6,∵△=9﹣24=﹣15＜0,则此方程无解．故答案为：无解[点评]此题考查了解一元二次方程﹣公式法,利用此方法解方程时,找出a,b及c的值,代入求根公式即可求出解．19．〔2012•家港市模拟已知a＜b＜0,且,则=．[分析]根据题意得到a2﹣6ab+b2=0,把它看作为a的一元二次方程,利用求根公式得到a==〔3±2b,由于a＜b＜0,则a=〔3﹣2b,然后把a=〔3﹣2b代入所求的代数式中进行化简即可．[解答]解：法①∵+=6,∴a2﹣6ab+b2=0,∴a==〔3±2b,∵a＜b＜0,∴a=〔3﹣2b,∴====．法②：原式通分得：a2+b2=6ab；则〔a+b2=8ab,〔a﹣b2=4ab又a＜b＜0；故a+b=﹣,a﹣b=所以故答案为．[点评]本题考查了解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0的求根公式为：x=〔b2﹣4ac≥0．也考查了二次根式的混合运算．20．〔2002•达州方程x2﹣5x+3=0的解是．[分析]观察方程,此题用公式法解答比较简单,首先确定a,b,c的值,判断方程是否有解,若有解直接代入公式求解即可．[解答]解：根据求根公式可知：x==．[点评]公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0的解为x=,需要熟练掌握．21．〔2010秋•仪征市校级月考若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则=．[分析]把b看成常数,解关于a的一元二次方程,然后求出的值．[解答]解：a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2．a==b∴=．故答案是：[点评]本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程,把b看成是常数,用求根公式解关于a的一元二次方程,然后求出的值．三．解答题〔共19小题22．〔2015•东西湖区校级模拟解方程：x2﹣3x+1=0．[分析]先观察再确定方法解方程,此题采用公式法求解即可．[解答]解：∵a=1,b=﹣3,c=1∴b2﹣4ac=5∴x=．故,．[点评]此题比较简单,考查了一元二次方程的解法,解题时注意选择适宜的解题方法．23．〔2015•模拟解方程：x2﹣5x+2=0．[分析]找出a,b及c的值,得到根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解．[解答]解：这里a=1,b=﹣5,c=2,∵△=25﹣8=17＞0,∴x=,则x1=,x2=．[点评]此题考查了解一元二次方程﹣公式法,利用公式法解方程时,首先将方程整理为一般形式,找出a,b及c的值,当根的判别式的值大于等于0时,代入求根公式即可求出解．24．〔2015•黄陂区校级模拟解方程：x2﹣3x﹣7=0．[分析]利用求根公式x=来解方程．[解答]解：在方程x2﹣3x﹣7=0中,a=1,b=﹣3,c=﹣7．则x===,解得x1=,x2=．[点评]本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式是解题的关键．25．〔2008•2x2+3x﹣1=0．[分析]此题考查了公式法解一元二次方程,解题时要注意将方程化为一般形式,确定a,b,c的值,然后检验方程是否有解,若有解,代入公式即可求解．[解答]解：∵a=2,b=3,c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1=,x2=．[点评]解此题的关键是熟练应用求根公式,要注意将方程化为一般形式,确定a、b、c的值．26．〔2016春•泰山区期中解下列方程〔1用配方法解方程：2x2+5x+3=0；〔2用公式法解方程：〔x﹣2〔x﹣4=12．[分析]〔1根据配方法的步骤先两边都除以2,移项,配方,开方即可得出两个一元一次方程,再求出方程的解即可；〔2把a=1,b=﹣6,c=﹣4代入求根公式x=计算即可．[解答]解：〔1方程两边同除以2,得：x2+x+=0,移项,得x2+=,配方,得x2+x+〔2=+〔2,〔x+2=,x+=或x+=,x1=﹣l；x2=；〔2原方程可化为：x2﹣6x﹣4=0,∵a=1,b=﹣6,c=﹣4；∴x===,∴x=3±,x1=3+,x2=3﹣；[点评]本题考查了配方法和公式法解一元二次方程,关键是能正确配方,配方法的一般步骤：〔1把常数项移到等号的右边；〔2把二次项的系数化为1；〔3等式两边同时加上一次项系数一半的平方．27．〔2015春•沂源县期末解下列方程：〔1x2﹣2x=2x+1〔配方法〔22x2﹣2x﹣5=0〔公式法[分析]〔1方程利用配方法求出解即可；〔2方程利用公式法求出解即可．[解答]解：〔1方程整理得：x2﹣4x=1,配方得：x2﹣4x+4=5,即〔x﹣22=5,开方得：x﹣2=±,解得：x1=2+,x2=2﹣；〔2这里a=2,b=﹣2,c=﹣5,∵△=8+40=48,∴x==．[点评]此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法,熟练掌握各种解法是解本题的关键．28．〔2015秋•渝北区期末解方程：2x2﹣5x+1=0．[分析]先观察再确定方法解方程,此题采用公式法比较简单．[解答]解：∵a=2,b=﹣5,c=1,∴b2﹣4ac=17,∴x=,∴x1=,x2=．[点评]本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法,采用公式法解一元二次方程时,要注意公式的熟练应用．29．〔2015秋•大石桥市期末解方程：〔1x2﹣6x﹣6=0〔22x2﹣7x+6=0．[分析]〔1求出b2﹣4ac的值,代入公式求出即可；〔2先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可．[解答]解：〔1x2﹣6x﹣6=0,b2﹣4ac=〔﹣62﹣4×1×〔﹣6=60,x=,x1=3+,x2=3﹣；〔22x2﹣7x+6=0,〔2x﹣3〔x﹣2=0,2x﹣3=0,x﹣2=0,x1=,x2=2．[点评]本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程,难度适中．30．〔2015秋•期末解方程：2x2+3x﹣1=0．[分析]找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解．[解答]解：这里a=2,b=3,c=﹣1,∵△=9+8=17,∴x=．[点评]此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键．31．〔2011•解方程：x2+3x+1=0．[分析]根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．[解答]解：a=1,b=3,c=1∴x==．∴x1=,x2=．[点评]本题考查了解一元二次方程的方法,此法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0〔a≠0,且a,b,c都是常数,若b2﹣4ac≥0,则方程的解为x=．32．〔2016春•期末〔1解方程：x2=3〔x+1．〔2用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．[分析]〔1整理后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可；〔2移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可．[解答]解：〔1整理得：x2﹣3x﹣3=0,∵b2﹣4ac=〔﹣32﹣4×1×〔﹣3=21,x=,∴x1=,x2=；〔2x2﹣2x﹣24=0,x2﹣2x=24x2﹣2x+1=24+1,〔x﹣12=25,x﹣1=±5,x1=6,x2=﹣4．[点评]本题考查了解一元二次方程的应用,能选择适当的方法解方程是解此题的关键．33．〔2015秋•校级期末用公式法解下列方程2x2+6=7x．[分析]方程整理为一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解．[解答]解：方程整理得：2x2﹣7x+6=0,这里a=2,b=﹣7,c=6,∵△=49﹣48=1,∴x=,解得：x1=2,x2=．[点评]此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键．34．〔2014•集美区一模解方程：x2+3x﹣2=0．[分析]求出b2﹣4ac的值,代入公式求出即可．[解答]解：∵a=1,b=3,c=﹣2,∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×〔﹣2=17,∴x=,∴x1=,x2=．[点评]本题考查解一元二次方程的应用,主要考查学生的计算能力．35．〔2012•模拟解方程：2x2﹣3x﹣1=0．[分析]利用公式法解方程即可求解．[解答]解：2x2﹣3x﹣1=0,a=2,b=﹣3,c=﹣1,∴△=9+8=17,∴x=,x1=,x2=．[点评]此题这样考查了利用公式法解一元二次方程,解题的关键是熟练掌握求根公式即可解决问题．36．〔2014秋•开县期末解方程：3x2﹣6x﹣2=0．[分析]先根确定a=3,b=﹣6,c=﹣2,算出b2﹣4ac=36+24=60＞0,确定有解,最后代入求根公式计算就可以了．[解答]解：∵a=3,b=﹣6,c=﹣2,∴b2﹣4ac