高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳及单元检测题

数列知识点总结数列的定义：（1）按一定次序排成的一列数(2)数列可以看作是项数n的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。二、数列的分类：1、按项数分类：有穷数列无穷数列2、按增减性分类：递增数列——对于任何nN+，具有>递减数列——对于任何nN+，具有<摆动数列常数数列3、按是否有界分类：有界数列——MN+，使M无界数列——MN+，总有M三、数列的表示法1、解析法（公式法）通项公式或递推公式2、列表法：3、图象法:数列可用一群孤立的点表示四、通项公式五、数列的前n项和六、递推公式七、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义-=d=q(q0)通项公式=+（n-1）d=(q0)递推公式=+d,=+(n-m)d=q=中项A=推广：A=（n,kN+;n>k>0）。推广：G=（n,kN+;n>k>0）。任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个前n项和=（+）=n+d==性质（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）（6）d=(mn)(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为八、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1、数列是不是等差数列有以下三种方法：=1\*GB3①=2\*GB3②2()=3\*GB3③(为常数). 2、数列是不是等比数列有以下四种方法：=1\*GB3①=2\*GB3②(，)=1\*GB3①=3\*GB3③(为非零常数).=4\*GB3④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.九、求数列通项公式的方法1、给出数列的前几项，求数列的一个通项公式——观察法。例1、分别写出下面数列{}的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数。（１）１，３，５，７，…，(２)１,２,１,２,…,(３)２,２２,２２２,２２２２,…,2、通项公式法3、涉及前ｎ项和Sn求通项公式，利用an与Sn的基本关系式来求。即例２、在数列｛an｝中，Sn表示其前ｎ项和，且Sn=n2,求通项an.ａｎ＝２ｎ－１(ｎ≥１).例３、在数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ表示其前ｎ项和，且Ｓｎ＝２－３ａｎ,求通项ａｎ.4、已知递推公式（初始条件与递推关系），求通项公式。（１）待定系数法。若题目特征符合递推关系式ａ１＝Ａ,ａｎ＋１＝Ｂａｎ＋Ｃ(Ａ,Ｂ,Ｃ均为常数，Ｂ≠１,Ｃ≠０)时，可用待定系数法构造等比数列求其通项公式。例４、已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝４,ａｎ＝３ａｎ－１－２,求通项ａｎ.（２）逐差相加法。若题目特征符合递推关系式ａ１＝Ａ(Ａ为常数)，an+1=an+f(n)时，可用逐差相加法求数列的通项公式。例５、在数列{an}中，a1=3,an+1=an+2n,求通项an.（3）逐比连乘法。若题目特征符合递推关系式a1=A（A为常数）,an+1=f(n)·an时，可用逐比连乘法求数列的通项公式。例6、在数列{an}中，a1=3,an+1=an·2n,求通项an.（4）倒数法。若题目特征符合递推关系式a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0(A,B,C,D均为常数)时，可用倒数法求数列的通项公式。例7、在数列{an}中，已知a1=1,an+1=,求数列的通项an.（5）归纳法。这是一种通过计算、观察、归纳规律，进而猜想、验证（证明）的思维方法，是一种普遍适用的方法。在前面所有的问题中，只要转化为递推公式，就可以由初始条件逐次代入递推关系，观察计算结果，直到看出规律为止。例9、在数列{an}中，a1=3,an+1=an2,求数列的通项公式an.十、求数列的前n项和的方法1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.等差数列求和公式：等比数列求和公式：[例1]已知，求的前n项和.[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.2、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中、分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：………①[例4]求数列前n项的和.3、倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.[例5]求的值4、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n项和：，…[例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.5、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9]求数列的前n项和.[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.[例11]求证：6、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.[例13]数列{an}：，求S2002.[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值.7、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求之和.[例16]已知数列{an}：的值.十一、在等差数列｛｝中,有关Sn的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用十二、等比数列的前项和公式的常见应用题：=1\*GB2⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为.其中第年产量为，且过年后总产量为：=2\*GB2⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元.因此，第二年年初可存款：=.=3\*GB2⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.1.已知等差数列的前n项和为Sn，若等于

（D）A．18

B．36

C．54

D．722.已知为等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，则（B）A．B．C．

D．或3.在等差数列{a}中，3（a+a）+2（a+a+a）=24，则此数列的前13项之和为

(

D)

A．156

B．13

C．12

D．264.已知正项等比数列数列{an}，bn=logaan,则数列{bn}是

（A

）A、等比数列

B、等差数列

C、既是等差数列又是等比数列

D、以上都不对5.数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于

（B）A.

B.

C.

D.

6.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是

（

B）A.42

B.45

C.48

D.517.一懂n层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k应取

（D）Ａ．ｎＢ．（ｎ—１）

Ｃ．（ｎ＋１）Ｄ．ｎ为奇数时，ｋ＝（ｎ—１）或ｋ＝（ｎ＋１），ｎ为偶数时ｋ＝ｎ8.设数列是等差数列，，Sn是数列的前n项和，则（B

）A.S4＜S5

B.S4＝S5

C.S6＜S5

D.S6＝S59.等比数列的首项,前项和为若，则公比等于

(

B)

C.2

D.－210.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S6=36，Sn=324，Sn－6=144（n＞6），则n等于（

D）A．15

B．16

C．17

D．1811.已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（C）A.

B.

C.

D.12.已知：，若称使乘积为整数的数n为劣数，则在区间（1，2002）内所有的劣数的和为

（

A）A．2026

B．2046

C．1024

D．102213.在等差数列中，已知a1+a3+a5=18，an-4+an-2+an=108，Sn=420，则n=

___20___.14.在等差数列中，公差，且，则（k∈N+，k≤60）的值为

________7________.15.已知则通项公式____________

.16.已知，则;

17.若数列前n项和可表示为，则是否可能成为等比数列？若可能，求出a值；若不可能，说明理由．因的前n

项和，故=,，an=2n+a－2n－1－a=2n－1()．要使适合时通项公式，则必有，此时，

，故当a=－1时，数列成等比数列，首项为1，公比为2，时，不是等比数列

18.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.【解】

∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a4=2a3,b2·b4=b32,已知a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,

得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3=,a3=.由a1=1,a3=，知{an}的公差d=－,∴S10=10a1+d=－.由b1=1,b3=,知{bn}的公比q=或q=－,

19.已知数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列求证：a2,a8,a5也成等差数列【解】（1）S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,而a1≠0，所以S3，S9，S6不可能成等差数列……2分所