导数的性质（教）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——导数的性质（教）1．(2023·南通期末)曲线C：y＝xlnx在点M(e，e)处的切线方程为__________________．

解析：由于y′＝lnx＋1，故点M(e，e)处的切线的斜率为2，所求切线方程为y＝2x－e.答案：★y＝2x－e

2．(2023·苏州质检)过坐标原点作函数y＝lnx图像的切线，则切线斜率为________．

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解析：设切点为(x0，y0)，由于y′＝，所以切线方程为y－y0＝(x－x0)．由于切线过

xx0

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原点，故y0＝1.又y0＝lnx0，得x0＝e，所以所求斜率为.答案：★ee

3．(2023·镇江统考)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．

解析：由于y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f′(2)＝2，f(2)＝3.g(2)＝22＋f(2)＝7，即点(2，g(2))为(2,7)，由g(x)＝x2＋f(x)得g′(x)＝2x＋f′(x)，所以g′(2)＝4＋f′(2)＝6，所以g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.答案：★6x－y－5＝0

4．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在其次象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．

解析：由题知，k＝f′(x)＝3x2－10＝2(x0时为增函数；f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)0，

由f′(x)>0得x>3.所以函数f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)；由f′(x)0，所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调增函数．由于f′(x)＝3(m－3)x2＋9≥0在区间(－∞，＋∞)上恒成立，所以m≥3.故实数m的取值范围是[3，＋∞)．[类题通法]

已知函数单调性，求参数范围的两个方法

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．

(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0〞来求解．

提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

[课堂练通考点]

1．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．

解析：∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，

由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)

m

2．(2023·扬州期末)已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝

x________.

解析：由于f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f(1)≥4，f(e)≥4，解得m≤x＋m

－3e.又f′(x)＝2，且x∈[1，e]，所以f′(x)0，故单调增区间是(0，＋∞)．

x答案：(0，＋∞)

2．函数