平面向量的线性运算教学设计

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《平面向量的线性运算》复习教学设计

高中数学北师大版

XX交通大学其次附属中学

刘正伟

§5.1平面向量的线性运算

知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观；

1.把握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义；

2.把握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件；

了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。

重点：理解并把握向量的线性运算及向量共线的充要条件；难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。

多媒体课件

启发引导式；讲练结合（一）．复习导入

问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？学生：速度，加速度，位移，力

力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算

那么我们今天一起回想向量的线性运算——板书课题（二）知识要点1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；加法求两个向量和的运算(2)结合律：(a＋b)＋c减法求两个向量差的运算数乘求实数λ与向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；1

＝a＋(b＋c)a－b＝a＋(－b)(1)λ(μa)＝(λμ)a；积的运算(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向一致；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb2.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．3.

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终→→→——→→

点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋?＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

→1→→

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．

2→→→

3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，点A，B，C共线?λ＋μ＝1.

题型一平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算

→→→→→

例2(1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于()21A.b＋c3321C.b－c33

52B.c－b3312D.b＋c33

→→

(2)(2023·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，若BC＝3CD，则()1→4→→

A.AD＝－AB＋AC

33→4→1→

C.AD＝AB＋AC

33答案(1)A(2)A

2

→1→4→B.AD＝AB－AC

33→4→1→

D.AD＝AB－AC

33

→→→→→→解析(1)∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC→→＝2(AC－AD)，→→→∴3AD＝2AC＋AB，→2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333

→→→→→→

(2)∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，1→4→→→→→

即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.

33题型二

根据向量线性运算求参数

12→→

例2(1)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB

23→

＋λ2AC(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

→→

(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，→→→

D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()10，?A.??2?1

－，0?C.??2?1

答案(1)(2)D

2

→→→1→2→

解析(1)DE＝DB＋BE＝AB＋BC

231→2→→1→2→

＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

632→→

(2)设CO＝yBC，→→→∵AO＝AC＋CO

→→→→→＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)

10，?B.??3?1

－，0?D.??3?

3

→→＝－yAB＋(1＋y)AC.

→→

∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，10，?，∴y∈??3?

→→→∵AO＝xAB＋(1－x)AC，1

－，0?.∴x＝－y，∴x∈??3?

思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行对比求参数的值．

如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两

→2→→1→→→

点，且交对角线AC于点K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为()

52

2222

A.B.C.D.9753答案A

→2→→1→解析∵AE＝AB，AF＝AD，

52→5→→→

∴AB＝AE，AD＝2AF.

2

由向量加法的平行四边形法则可知，→→→AC＝AB＋AD，→→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)5→→AE＋2AF?＝λ??2?

4

5→→＝λAE＋2λAF，2

2

由E，F，K三点共线，可得λ＝，

9应选A.

思想方法感悟提高

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则

与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点〞；

向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量〞；平行四边形法则要素

是“起点重合〞．

→→

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB∥CD且AB与CD不共线，则

→→

AB∥CD；若AB∥BC，则A、B、C三点共线

作业布置练出高分

1.步步高P241-242

2.预习平面向量基本定理及坐标表示